高中数学之幂函数的图像

募函数的图像

一、募函数的模型与奇偶性

tn_m

幕函数的模型为y=X"和y=%",其中m£Z+,n£Z+.

所以巴有四种可能的情况，即假、假、童、童。

n偶奇奇偶

翼____________

/(X)=X1=旧=0(_%)偶=/(_x)

偶

/(X)=X商=WF=Q?=/(-x)

由上可知，在巴中，分子m为偶，幕函数必为偶函数。

n

奇____

/(X)=%奇=A/X¥

吏___________

/(-X)=(-X尸=^xf=一/二一/⑴

由上可知，在巴中，分子m和分母n都为奇，幕函数必为奇函数。

n

童__

/(%)=%偶=取至其中，％奇>0nx>0。

由上可知，在里中，分子m为奇，分母n为偶，/(X)只允许X>0

n

所以/(X)只在x轴正半轴一侧，第一象限有图像，这种函数为非奇非偶

函o

综上所述，我们得出一个幕函数图像奇偶性的口诀：分子为偶必为

偶函数；分子分母都为奇，才为奇函数；分子为奇分母为偶，才为非奇

m

非偶函数。因为和,有相同的奇偶性，所以y=%"和

/(%)

_m

y=x”遵循相同的奇偶性规律。

二、幕函数的图像类型

m_m

在幕函数y二1"和y=X",m£Z+,n£Z+中。我们可知‘〉0,

n

YYI

——<0o我们由多次画图经验可知：

n

tn

（-）当一〉o时，y=%"在第一象现为抛物线形增函数。

n

m

①当m＜n时，即0＜生＜1时，丫=%”在第一象限的图像唯x轴,

n

如下图所示：

②当m=n时，即一二1时，丫=%"在第一象限的图像为x轴正半轴

n

与y轴正半轴的角平分线。如下图所示：

所示:

m

（二）当一一<0,y-x”在第一现象为曲线形减函数。

我们把m看作是y=%"在第一象限的图像离y轴正半轴的距离,

tn

把n看作是y-Xn在第一象限的图像离X轴正半轴的距离。

其实并不是图像离坐标轴的距离，只是为了方便记忆。

①当n<m时，即一1<—生<0时，所以y=%〃在第一象限的图像

n

离y轴较远，离x轴较近。如下图所示：

m

②当n=m时，即一'二—1时，所以丫=%”在第一象限的图像离x

n

轴正半轴与y轴正半轴的距离相同。如下图所示：

③当n>m时，即一一<—1时，所以丫=%"在第一象限的图像离y

n

轴较近，离X轴较远。如下如所示：

三、画幕函数的草图

44

y=x]y=x=

y八y八

------------------------------------------------------------------------>------------------------------------------------------------------------->

XX

412

y=x"y=x%

y八y八

------------------------------------------------------------------------>------------------------------------------------------------------------>

XX

6_14

y=x8

39

175

117

44

mf/i

所以在画哥函数的草图时：①判断一〉0为抛物线形，判断——<0为曲线形;