《离散型随机变量及其分布列》-教学实录及点评

《离散型随机变量及其分布列》教学实录及点评《离散型随机变量及其分布列》教学实录及点评执教：山东省滨州实验中学苏洪普（256600）点评：山东省滨州市教研室王文清（256600）摘要：“问题驱动”教学模式是打造高效课堂教学的有效手段之一，该“离散型随机变量及其分布列”的教学设计从学生熟悉的、简单的“随机试验”的展开。从学生的“最近发展区”开始，以隐含的“函数关系”为主线，设置了一系列具有简洁性、针对性、探究性、开放性、思维价值高的“问题串”。引领学生自主构建“离散型随机变量”、“离散型随机变量的分布列”的概念，建立“两点分布”模型。激发学生学习兴趣的同时，提升了学生的数学思维品质，取得了很好的课堂教学效果。关键词：离散型随机变量；随机变量;分布列；两点分布1教学目标与重点、难点1.1教学目标：（1）通过对具体实例的分析、归纳，会将随机试验的结果“数量化”，体会引入随机变量的必要性.（2）经历随机变量的概念和离散型随机变量的分布列的构建过程，通过归纳、抽象、类比，感受映射与函数在生活中的应用，并从函数角度理解离散型随机变量及其分布列的概念，培养学生的归纳概括能力、抽象思维能力和创新意识.（3）通过“两点分布”的建模过程，体会类比、函数和转化等思想，提高学生的数学素养，培养其辩证唯物主义世界观.1.2教学重点、难点重点：随机变量及离散型随机变量的分布列的概念.难点：从映射的角度理解随机变量的概念，从函数角度理解离散型随机变量的分布列.2教学过程实录2.1设计问题，创设情境师：在《数学》（必修三）中我们已经学习了概率的一些基础知识，请大家看下面的问题：问题1请说出下列每个随机试验可能出现的结果.（1）掷一枚质地均匀的硬币；（2）某篮球运动员罚球1次；（3）从含有4件次品，6件合格品的10件产品中随机抽出1件产品.生1：（1）正面向上，反面向上；（2）罚进，没有罚进；（2）取出正品，取出次品.教师把学生回答结果多媒体展示（图1）师：这些随机试验有什么共同特征？生：每个随机试验都有两个试验结果.师：你还能列举一些生活中类似的随机试验吗？生2：买彩票，是否中奖；从四选一的选择题中随机选一个选项，是否正确；……师：很好！是的，我们生活中大量存在“是与非”、“对与错”、“成功与失败”的随机试验.是不是可以建立一个统一的概率模型来刻画这些随机事件呢？这就需要我们学习一些新的概率知识，也就是“第二章”（板书）.在本章中，我们将在已学过的概率知识的基础上，继续探究、分析、描述某些随机现象，并构建概率模型，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决问题的能力.点评：立足学生思维的起点，注重在学生的“最近发展区”内设置问题.便于学生发现规律，提出问题.而且，（2）的设计便于学生将试验结果“数量化”.这里的“低起点”为本节课学生的高参与度奠定了基础.同时，也为后面深刻探究、理解随机变量的概念节省出时间和空间.将试验结果用图示法直观表示，为后面深刻探究试验结果与随机变量的对应关系埋下了伏笔.问题2如何将这些随机试验的共同特征从数学角度来描述呢？生3：对于“罚球一次”这个随机试验，可以用“0”和“1”这两个数字刻画这些随机试验的结果.师：很好！把随机试验的结果数量化，为用数学工具研究随机现象奠定基础.那么其它两个随机试验呢？生4：规定“正面向上”用1表示，“反面向上”用0表示；“取出正品”用1表示，“取出次品”用0表示.教师多媒体展示试验结果与两个数字之间的对应关系（图2）.问题3写出下列每个随机试验可能出现的结果，将结果用相应的数字表示，并用图示法表达出来.（1）掷一枚质地均匀的骰子；（2）从含有4件次品，6件合格品的10件产品中随机抽出3件产品.2.2信息交流，揭示规律展示生5的解答（图3）.师：这位同学的解答是否正确？你的解答也是这样吗？生6：对于（2）我的解答是这样的.（图4）师：两位同学的解答中，随机试验的结果和数字都是一样的，但是为什么有不同的表示呢？生7：上面的两种表示中，虽然都用的相同的数字，但是这些数字的实际含义不同.前者表示“3件产品中的次品数”，后者表示“3件产品中的正品数”.师：很好！我们一旦确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示。在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化。像这种随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…等表示.（板书）师：请大家将刚才的解答完善一下吧！展示学生完善的情况，并予以纠正（图5）.点评：在课堂教学中，合理地运用学生出现的不完善的解法，甚至错误解法，通过展示，让学生辨析、交流、讨论，实质上是抓住了概念构建中的一个非常重要的“生长点”.使得学生对随机变量的概念有了一个主动辨别、探究、构建的过程，把本节课的重点、难点“抛”给了学生，通过有效的信息交流，使学生对随机变量有了深刻的认识，真正把课堂“还”给了学生.这就要求我们教师在平时的课堂教学中，有意识的去发现、去创造这种机会——让学生出现“美丽的错误”.问题4设集合A={随机试验的结果}，集合B={随机变量的取值}.那么，集合A与集合B之间有什么关系呢？生（众）：映射.师：既然它们之间的关系是映射关系，那么随机变量的取值由哪些因素确定呢？生（众）：随机试验结果和对应关系.师：在这些问题中，对应关系是谁呢？生（众）：随机变量在具体问题中的含义.师：随机变量的取值集合类似于函数中的什么？生：值域.问题5如果在问题3的第（2）题中，我们关心正品数与次品数的差，你能给出这个随机变量的所有可能的取值吗？生8：用ξ表示取出的3件产品中正品数与次品数的差，则ξ的所有可能取值为3，1，-1，-3.师：很好！那么在本题中ξ=1表示什么事件（含义）呢？生：ξ=1表示事件“2件正品，1件次品”.师：引入随机变量后，我们可以将事件“2件正品，1件次品”用{ξ=1}简洁的表示.那么“{ξ<0}”在本题中表示什么事件（含义）呢？生9：表示{ξ=-1}∪{ξ=-2}；或者说，表示“正品数小于次品数”.点评：发现了映射关系，并将随机变量取值问题有效的迁移，体现了类比在教学中的重要作用.以问题驱动学生的思维，进一步加深学生对随机变量概念的理解.另外，也为今后学生在实际操作中，如何快速、准确的确定随机变量的取值，求解分布列指明了方法，那就是分析试验结果（集合A）与随机变量的对应关系及其对应的概率.2.3运用规律，解决问题问题6下列随机试验的结果能否用随机变量来表示？若能，请写出各随机变量的所有可能的取值.（1）某篮球运动员罚球2次的得分X；（2）一袋中有大小相同的4个小球，分别标有1，2，3，4，现从中随机取一球，记下号码后放回，连续取两次.两球的得分之和Y；（3）某射手向目标连续射击，直到击中目标时的射击次数ξ（4）随机抽取一只电灯泡，这只电灯泡的寿命η.生10：（1）X的可能取值为0，1，2；（2）Y的可能取值为2，3，4，5，6，7，8.（3）ξ的可能取值为1，2，3，…，n，…；（4）η的取值为任意正实数.师：像前三个题中描述的能够一一列举的随机变量我们称之为离散型随机变量；最后一个问题中的随机变量我们称之为连续型随机变量.师：对于（4）中的灯泡的寿命问题，我们关注η取某个确定值的情形吗？生：不！应该关注η在某个范围内的取值情况.问题7如果规定：寿命不小于1500小时的灯泡为一等品；寿命不小于1000小时，且小于1500小时的灯泡为二等品；寿命在1000小时以下的为不合格品．如果我们关心灯泡的等次，如何定义随机变量呢？如果我们关心灯泡是否为合格品如何定义随机变量呢？生10：用Y表示灯泡的等次，则有用Z表示灯泡的是否为合格品.则点评：通过练习，在巩固随机变量的概念的同时，又创设出新的问题情境（如问题6（3）），培养学生发现问题、提出问题的意识.这样设计又使得整个教学环节紧紧相扣，提高了课堂效率.通过变式训练（问题7）沟通了“连续”与“离散”，体现了数学的转化思想，同时培养了学生辩证唯物主义世界观.2.4变练演编，深化提高师：现在随机试验的结果能用离散型随机变量来表示了，对于随机事件我们最关心的是它发生的可能性有多大——即概率。请看下面的问题：问题8抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示正面向上的点数．那么，X的所有可能取值有哪些？当X值确定时，对应事件的概率值确定吗？为什么？生11：X的所有可能的取值为1，2，3