高中数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点

0

第一章集合与函数概念K1.1X集合

1.1.1］集合的含义与表示【）集合的概念1（集合中的

元素具有确定性、互异性和无序性.）常用数集及其记法（2

NNZQRN表示有理数集，表示自然数集，表示正整数集,

或表示整数集，表

示实数集.(3)集合与元素间的关系a与集合MMaM.a,

两者必居其一，或者的关系是对象

(4)集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集

合.③描述XXX为集合的代表元素.具有的性质｝法：｛,

其中|

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

(5)集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集

合叫做无限集.③不含有(任何元素的集合叫做空集).

[1.1.2]集合间的基本关系)子集、真子集、集合相等

6(性质示意图记号名称意义BA

(1)AA(或A(2)中的任一元素都AA(B)子集BA

B属于ABABCC,则且⑶若A)B或ABA

BAB,则且若(4)ABA为非空子集)(A)(1

BA中至，且B少有一元素不属于真子集BAB(或)

AABBCACA,则(2)若且中的任一元素

都A(1)AB集合

A(B)BA中的任B属于B,相等(2)BAA

一元素都属于

nnnA1221D（n1）2个）已知集合（7个子集，它有

有个元素，则它有个真子集，它有

n22.非空子集，它有非空真子集

1集合的基本运算［1.1.3

)交集、并集、补集8(性质意义记号名称示意图

1

AAA)(1{x|XA,且AAB(2)交集AB

AAB)(3xB}ABBAAA)(1{x|xA,

或AABA(2)B并集AABA)(3xB)

ABB

1(eA)AuXA}且{X|XU,B)A)(?^(AB)

(uuueA补集U(AB)(疹(？B)A)2A(eA)Uuuu

u

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

不等式解集

x|a(a0){x|axa}

x|xaa(a0)x|x|a}或

bax

|x|a,把成，化看成一个整体

|axb|c,|axb|c(c0)

|x|a(a0)型不等式来求解

(2)一元二次不等式的解法判别式

2b4ac000

二次函数

2axbxc(a0)y

O

的图象

2b4acb一元二次方程x1222a

xxbc0(a0)axbx无实根21

2axx)(其中的根

21

2axbxc0(a0)b{x|xxR}xx{x|x}或21

2a的解集

2axbxc0(a0)}{x|xxx21的解集

K1.23函数及其表示

2

【1.2.1］函数的概念

ABAfx中任何一个数，对于集合是两个非空的数集,

①设、如果按照某种对应法则,

Bf(x)BA和它对应，那么这样的对应(包括集合在集合

中都有唯一确定的数以及,

ABABf:AfB的一个函数，记作的对应法则到)叫做

集合到.

②函数的三要素：定义域、值域和对应法则.

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

(2)区间的概念及表示法

xxbaa,ba

[a,b]b,满足是两个实数，且①设；记做的集合叫做闭区

间，的实数

xbaxb(a,b)aaxbx的集合叫做开区间，记

做的实数满足；满足，或

x[a,b)(a,b]做记,分别半开半闭区间做

的实数的集合叫；满足，

xbx的集合分别记做数的实[a,,b),b],(,ax,

b),(),(a,xa,x.

abxb}(a,b){x|a,而后者必须可以大于或等于,

前者与区间对于集合注意：

ba,（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）.（3）

求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

f（x）是整式时，定义域是全体实数.①

f（X）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.②

f（X）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数

的集合.③

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时,

底数须大于零且不等

于1.

y

tanxxk（kZ）中，⑤.

2⑥零（负）指数幕的底数不能为零.

f（x）是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，

则其定义域一般是各⑦若

基本初等函数的定义域的交集.

f(x)[a,b],其复合函⑧对于求复合函数定义域问题，

般步骤是：若已知的定义域为

f[g(x)]ag(x)b的定义域应由不等式数解出•

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需

对字母参数进行分类讨论.

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符

合问题的实际意义.

(4)求函数的值域或最值

3

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事

实上，如果在函数的值

♦北♦一

域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值.因

此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不

同.求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到

值域或最值.

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,

然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.

yxf（x）y可以化成一个系数含有③判别式法：若函数的二

次方程的关于

2c(y)0a(y)xb(y)xx,ya(y)0,则在为实数，故

必须有时，由于

2b(y)4a(y)c(y)0,从而确定函数的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角

代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关

系确定函数的值域或最值.

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.

⑧函数的单调性法.

【1.2.2］函数的表示法

(5)函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解

析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就

是列出表格来表示两

个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间

的对应关系.

(6)映射的概念

ABAf,对于集合①设是两个集合，如果按照某种对应法

则、中任何一个元素，在

BABAB中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对

应（包括集合集合的，到以及

ABf:AfB的映射，记作对应法则）叫做集合到.

ABabBaA,b.如果元素②给定一个集合到集合

的映射，且对应，那么和元素

bbaa的原象.我们把元素叫做元素叫做元素

的象，元素

K1.33函数的基本性质

1单调性与最大（小）值11.3.1

）函数的单调性（1

①定义及判定方法

函数的图象判定方法定义

性质

4

I内（1）利用定义如果对于属于定义域

yy=f(X)(2)利用已知函数某个区间上的任意两个)f(x

的单调性<x,当x自变量的值X、2112..(3)

利用函数图象，X时，都有f(x)<f(x)

122)f(X.............1(在某个区间图在这个区f(X)那

么就说0象上升为增)X21.增函数间上是X

X...函数的(4)利用复合函数单调性I内(1)

利用定义如果对于属于定义域

yy=f(X)(2)利用已知函数某个区间上的任意两个

<x自变量的值x、x,当的单调性I2i)f(x...(3)

利用函数图象，)X时，都有f(X)>f(X212

,f(x).........(在某个区间图

在这个区f(x)那么就说X0象下降为减)XX.减函数间

上是.

(4)利用复合函数...

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和

是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增

函数为减函数.

Vf[g(x)]ug(x)yf(u)ug(x)为增，则，

若③对于复合函数为增，，令

yf[g(x)]yf(u)uf[g(x)]g(x)yyf(u)为增;

若为增；若为减，则为减，

g(x)yf[g(x)]yf(u)ug(x)u为减，为

减；若为增，为增，则为减，则

y

f[g(x)]为减.

()a(0))打“v”函数(2af的图象与性质vxxX

f(x)(a][)a,,上为增函数,分别在、分别在

[a,0)(0,a]、上为减函数.

(3)最大(小)值定义oxMIf(x)y

满足：，如果存在实数设函数①一般地，的定义域为

x

Mf(x)

I)对于任意的(1；,都有

f(x)MMlx)存在，使得(2是.那么，我

们称00

f(X)Mf(X).函数的最大值，记作maxim

xf(x)Iy)对于任意的的定义域为，如果存在实数满足:

(1,设函数②一般地，

f(x)mmIxmf(x)f(x).那么，我们

称；()存在2,使得的是函数都有00

f(X)rn.最小值，记作max

5

[1.3.2]奇偶性

(4)函数的奇偶性①定义及判定方法

函数的图象定义判定方法性质

(1)利用定义(要定义如果对于函数f(x)

,都有X先判断定义域是否域内任意一个

f(-X)=-f(x),那么函数关于原点对称).........(2)

利用图象(图.f(x)叫做奇函数

...象关于原点对称)

函数的

(1)利用定义(要定义奇偶性如果对于函数f(x)

,都有X先判断定义域是否域内任意一个

f(-x)=f(x)，那么函数关于原点对

称)........(2)利用图象(图.偶函数f(x)叫

做…

象关于y轴对称)

f(x)x0f(0)0.为奇函数，且在处有定

义，则②若函数

yy轴两侧相对称的区间增减性轴两侧相对称的区间增

减性相同，偶函数在③奇函数在

相反.

④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是

偶函数(或奇函数)，

(或商)一个偶函数与一个奇函数的积(或奇函数)的积(或

商)是偶函数，两个偶函数

是奇函数.K补充知识X函数的图象

)作图(1

利用描点法作图：

①确定函数的定义域；②化解函数解析式；；③讨论函数的性

质(奇偶性、单调性)④画出函数的图象.利用基本函数图象

的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对

数函数、基函数、三角函

数等各种基本初等函数的图象.

①平移变换

左移个单hho,yf(xh)y

yf(X)个单位位右移|h|ho,

上移个单k0,kf(x)y

f(x)k

个单位位下移|k0,k|

②伸缩变换伸i,oyf(x)

f(x)y缩

1,缩OAI,yAf(x)

yf(x)伸A1,③对称变换

6

轴轴xyf(x)yyf(x)yf(x)yf(x)y直线

原点X1f(x)yyf(x)f(x)yyf(x)

y轴左边图去掉f(x)y

象yf(Ix|)

yf(x)

y轴右边图象，并作其关保留轴对称图象于v(2)识图

轴上方图象保留x|f(X)|y

x轴下方图象翻折上去将

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化

趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，

注意图象与函数解析式中参数的关系.

(3)用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供

了“形”的直观性，它是

探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题

的思想方法.

)(I第二章基本初等函数

2指数函数K2.1

【2.1.1)指数与指数塞的运算

)根式的概念(1

n①如果naxaxnNnaRxRn

1,„，且，那么叫做的次方根.当是奇

nannanaa是偶数时，正数表示；当次方根用

符号的数时，的正的次方根用符号n

nnanna次方根是o的表示；次方根用符号次方

根.没有o表示，负的；负数

nnanaa②式子为任叫做被开方数.当叫做根

式，这里叫做根指数，为奇数时，

naO为偶数时，意实数；当.

nnnnanari(a)

a，为式的性质：奇数；当③时根为偶数时；当，

3L\a|a(aO).nn

O)(aa

(2)分数指数黑的概念

m(,0„n1)的正分.且o

①正数的正分数指数累的意义是：mnnNamnaa

数指数累等于0.

1mm1m(a0,m,n)N,a((且:

义指数累的意是②的正数负分数)nnnaa

n1)的负分数指数幕没有意义.0.注意口诀：底数取倒

数，指数取相反数.

)分数指数基的运算性质3(

r①(0„)

(a)aaasra(a0,r,sR)aR

-r

>

r(()0,0,®rrRbababa

【2.1.2］指数函数及其性质

(4)指数函数

函数名称指数函数

x(a0aya1)且函数叫做指数函数定义

a10a1

xxyya

a

yy

图象

yly1(o,i)

(0,1)OXOX

R定义域

(0,)值域

(0,1)xOy1时，，即当.图象过定点过定点

非奇非偶奇偶性

RR上是减函数在在上是增函数单调性

xxaa11(x0)(x0)

xxaa(x0)11(x0)函数值的

变化情况

xxaa

1(x0)1(x0)

aaa越大图象越低.越大图象越高；在第二象限内，变化对图

象的影响在第一象限内，

2.2U对数函数K

【2.2.1］对数与对数运算

(1)对数的定义

xNx且a1)xaaN(a0,logNa的对数,

记作叫做以，则为底①若叫，其中a

N叫做真数.做底数，

②负数和零没有对数.

xN(a0,aa1,NxlogNO)③对数式与指数式的互

化：.a

(2)几个重要的对数恒等式

ba1log0loglalogb,,・aaa

8

(3)常用对数与自然对数

logNelogNInNIgN2.71828（其中常

用对数：，即，即；自然对数：).，e10

aOO,N1,M0,a如果，那么)对数的运算性质(4

logMlogNlog(MN)logMlogNlogM②减

法：①加法：aaaaaa

N

logNnaMrilogMlogaN(nR)③数乘：④

aa

nlog(0,)log⑤bMMn⑥换底公式：ba

nRab

logNblogNO,且b1)(ba

alogb

【2.2.2］对数函数及其性质

(5)对数函数函数对数函数名称

logx(aOya1)且函数叫做对数函数定义a

Oa1a1

1x1x

ylogxylogxyyaa

图象(1,0)

O(1,0)Xox

(0,)定义域

R值域

(1,0)x1yO时，，即当.过定点图象过定点

非奇非偶奇偶性

(0,)(0,)上是减函数在在上是增函数单调性

logxlogx01)(x1)0(xaa

函数值的loglogXx1)0(x1)(x0aa变化情况

logxxlogx1)0(0(00x1)aa

aaa越大图象越靠高.图象的影响越大图象越靠低；在第四

象限内，变化对在第一象限内，

9

(6)反函数的概念

ACxf(x)y

f(x)y

中解出，值域为的定义域为，从式子设函数，得式子

yCxA(y)xx(y)中的任何一个值，通过式子在.如

果对于中都有唯一确，在

xyxx(y)(y)叫做函数定的值和它对应，那么式子的函

数，函数表示是

nxf(y)yf(x)y

(x)f,习惯上改写成的反函数，记作.

(7)反函数的求法

Xif(x)y

中反解出即原函数的值域；②从原函数式①确定反函数的定义

域,；(y)f

11yf(y)x

(x)f改写成③将，并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质

iy(x)yfXf(x)y

的图象关于直线①原函数与反函数对称.

4y

(x)f(x)y

的值域、定义域.②函数的定义域、值域分别是其反函数

'yP(b,a)P(a,b)y

f(x)的图象上，则③若在反函数在原函数

1(x)f的图象上.

y

f(x)要有反函数则它必须为单调函数.④一般地，函数

K2.33募函数

(1)幕函数的定义

xxy

为自变量，一般地，函数叫做基函数，其中是常数.

(2)易函数的图象

10

（3）募函数的性质

①图象分布：基函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无

图象.幕函数是偶函数时，

y轴对称）（图象关于；是奇函数时，图象分布在第一、三象

限（图图象分布在第一、二象限

；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限）象关于原点对

称.

)(1,1)(0,.都有定义，并且图象都通过点②过定点：所有的基

函数在

0[0,)0,并且在，则幕函数的图象过原点，上为增函数.如

果如果③单调性：

xy)(0,轴.轴与上为减函数，在第一象限内，图象无限

接近则基函数的图象在

q当为偶数时，塞函数为偶函数.当为奇数时，幕函数为

奇函数，当④奇偶性：(其

P

qpqppqp,qpxyqZ为

为奇数是奇函数，若则)，若中为奇数时，互质，为奇数和

qqppqpxxyy是非奇非偶函数.是偶函数,

若为奇数时，则为偶数偶数时，则

y(0,)x,xyx011x下⑤图象特征：，当幕函数时，若，

其图象在直线

xxyy1x10x1上上方，当，其图象在直线方，若时，若,

其图象在直线

xy1x下方.，其图象在直线方，若

K补充知识X二次函数(1)二次函数解析式的三种

形式

22f(x)a(xh)

c(a0)axk(a0)bxf(x)②顶点式：③两根式：①一

般式:

x)(xx)(aO)f(x)a(X2o求二次函数解析式的方法

21

①已知三个点坐标时，宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关

时，常使用顶点式.

Xf(X)轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方

③若已知抛物线与

便.

(3)二次函数图象的性质b2,ax顶点O)bxc(af

(x)x的图象是一条抛物线，对称轴方程为①二次函数

2a

2b4acb(坐标是)，.

2a4ab][b,上递减，在)a,0(上递增，当②当

时，抛物线开口向上，函数在

2a2a

b2]上递f4acb0a(,(x)bx时，时，抛物线开口向

下，函数在；当min

2a2a4a

11

a

24acbbbx)［，上递减，当增，在.(x)f时，

max4a2a2a

22O)axxbxc(af(x)b04ac当轴有两个交点时，图象

与③二次函数

M(x,0),Mx|(x,0),|MM||x.112121221al

20(acaxbx0))一元二次方程(4根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在

初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏

重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运

用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程

实根的分布.

22bxcaxaxf(x)0)bxc0(axxx,x,

设一元二次方程.令的两实根为，且

2211ba①开口方向：③判别式：从以下四个方面来分析

此类问题：X②对称轴位置：

④端点函数值符号.

2a①k<xWx21

yybxOaf(k)02a

kOO

kxxxx2xx112bf(k)0a0x

2a

②xWx<k2iyy

bf(k)0x0a2a

kOOX2kXxxxx112

Obf(k)a0*

2a

③x<k<xaf(k)<021

12

yy

Oa

Of(k)

koOxxXkXx11x220f(k)Oa

Wx<k<(4)kX2112yba0yx2a)Of(k)

Of(k21

kxx12k2X0x2kxxk01120)f(kb1Of(k)2x0a

2a

)=O)f(k)<kf(k)0,并同时考虑f(k(或⑤有且仅有一个根x

X)满足k<X(或X112211221这两种情况是否也符合或f(k)=02

yyoa

))Of(kf(kO11

kkx2OxOxiXXkkx1122)f(kO2)Of(ka

02

p<<x<kWp<x⑥k2ni22

此结论可直接由⑤推出.

2f(x)axc(a0)bx[p,q]上