高中数学数列通项与求和

通项公式

—：%+1与明

类型I：整体性-一与等差(比)数列对比

如果/(»+1)=是常数)

贝|J｛/(“)｝是以了⑴为首项，公差为△的等差数列。

如果/(n+l)=f(n)-q(neN*,g是非零常数)

则"5)｝是以了⑴为首项，公比为q的等比数列。

[范例1]已知数列伍“｝满足：〃3=%+1,%=1,%>0;则a“=__

解：设a=力(如果能理解整体性可不设)

则2m=2+1=>数列他,｝是等差数列，且4=1,公差d=1

bn=4+(〃-l)d=〃。a：=??<=>an=&(;an>0)

K练习

1.(1)....-----Fl,q=1；则—___(2)(〃+l)a〃+]—+l,q—1；则an-__

“i%

(3)an-all+l=2a“4+|,q=1；则a“=一

(4)。川+S“XS“T=0,q=1；则S“=(此题高要求)

2.(1)也=迎辿，出=3；则a“=_

ann+1

(2)a｝=l,an>0,(〃+l)a；+|-•a；+an-an+i=0(〃eN)；则an=_(此题高要求)

类型II:形如%+i=/(〃)(〃eN")形如也=/(〃)(〃eN*)

a”

叠加(乘)法(注意项数)

a”+i-a“=/(〃)(〃eN*)得-=/(〃)(〃eN*)得

/-卬=/⑴

%-电=/⑵aa

a=fl]x%x%x—Ax•••x—n—

«4-a=/(3)

36«2%«„-i

=</1X/(1)X/(2)X.--X/(H-1)

-a,,,

将上面1个等式相加：an-ai=/(l)+/(2)+---/(n-l)

K练习23

1.（1）ci\=1,an+i=an+2n；则a“=_（2）ax=2,a,l+1=an+2"+1；则a“=—

2.（1）a,=l,«n+l-Tan；则a“=一（2）=2（〃+j）,.=3；则%=一

%〃+1

类型III：提示构造--根据题目提示，构造等差（比）数列

[范例2]已知数列｛4｝满足：a,=2,an+l=2a„-l；

求使｛a“+c｝成等比数列的常数；并求数列｛a,,｝的通项公式

C—1

解：«„+）=2/-1oan+l+c=2an-l+c=2（a„+—）

当^y^=c（c=_l）时，an+l-1=2（an-1）

设a=a“-l（如果能理解整体性可不设）得："用=22n数列色｝是等比数列

既存在c=—1使数列｛&“-1｝是等比数列

-1

bn=仇x2"-'=2"i0a"一1=2"T=an=2"+1

K练习331.已知数列｛a,J满足:q=l,a“+i=2a“+2"；

（1）求证：数列｛墨｝是等差数列（2）求明

2.已知数列｛4｝满足：a,=2,a„+1=2a„+2"-1；

（1）是否存在常数c使数列/『｝是等差数列（2）求明

3.数列｛%｝满足：a,=l,an+i=-5„Sn+1；（1）求证：｛」-｝是等差数列；（2）求S,及明

4.已知数列｛。“｝满足：q=1,私=3,a“+2=3a“+]-2%（此题高要求）

（1）求证：数列｛。的一%｝是等比数列；（2）求a,

类型IV：构造法

1：形如a,#]=pa“+q（aw0,1,夕工0）令x=px+q（解出x）

相减：an+l-x=p（an-x）得：数列x｝是等比数列。

【范例3】数列a｝满足‘=S』)’求明

解：«j=—an+1<^>an+,-2=—(a-2)(注：由x=,x+l解出x=2)

〃十12〃〃十।2'〃'2

得：数列伍“一2｝是以q-2=-1为首项，公比为:的等比数列

4-2=-1、W严0%=2-(，1

3—a

K练习43设数列伍“｝的首项4=1,。,用=二万上；求仅“｝的通项公式；

nn+n

2：形如a.=pan+cq(aH0,1,qH1)构造an+l-kq'=p(an-kq)

[范例I4]数列｛a“｝满足q=1,《川=2an+3",求an

分析.构造a”+「kx=2(a〃-Zx3")=>an+i=2a“-Ax3"

=>一4=]o攵=-1

nn+1

解：an+l=2an+3=a„+1-3=2(a„-3")

得：数列｛。"一3"｝是以4-3=-2为首项，公比为2的等比数列

3"-T

K练习53设数列｛%｝的首项4=1，4用=；a,,+3x2"\求｛《,｝的通项公式;

—­S“与a“

S、.........n=1

类型1：4=

［范例5］已知数列［“｝的前n项和S,,=2"+2〃—1；求数列5.｝的通项公式。

解：(1)当〃=1时，，a1=S[=3

(2)当“22时，a,,=S“-S“_]=(2"+2〃—1)一[2"一|+2(〃-1)-1]=2"T+2

6=3也满足上式：%=2"T+2

K练习6》1.已知数列｛七｝的前n项和S„=2"；求数列伍“｝的通项公式

2.已知数列伍，J满足：O]+2a2+3a,H—+〃a“=〃(〃+1)(〃+2)；求a

提示：设d

1-7

3.设数列｛4｝满足4+3%+32%+-+314,=§；求知

类型II：S“与%的等式关系

①%fS,,a.=S“-S,i(〃N2)

［范例6］己知数列｛4｝满足：卬=1,。用=(1+-)5,,

n

(1)求证：数列｛口｝是等比数列；(2)求证：Sn+2=4an

n

证明：(1)。，用=(1+2)5,,=S,M—S”=TS“。辿=2x8

nn〃+ln

得数列｛二H是首项为包=1,公比为2的等比数列

n1

S

(2)由(1)得：x2〃"=S〃=〃x2'ins,.=5+l)x2〃

n

a,,=—S„_,=(n+1)x2"-2(3n>2),q=l也满足上式：%=(〃+1)义2"々

n-1

得：S,,+2=4%

K练习7U已知数列｛%｝满足：an+l+2S„xSn+i=0,a,=1；求许

②S.->4S„-Sn_,=an(n>2)

..2

【范例7】已知数列｛%｝满足：S〃=l+；a〃；求数列｛〃〃｝的通项公式。

2

解：(1)当〃=1时，S.=1H—。］<=>々］=3

3

2222

(2)5„=1+-«„=>S„+1=l+-an+l两式相减得：an+l=~an+i~~a„

既a“M=—2a“n数列｛4｝是等比数列=>4=qx(-2)"'=3x(-2)z

K练习8》（知数列｛4｝满足:S“=l+2a“+1,a,=3；求数列｛凡｝的通项公式。

数列求和

方法一:分项求和将项中不同特点的部分分别求和

数列｛4｝是等差数列；则s“=a券+若2d

naxn=\

数列伍“｝是等比数列；则S“=尔1-/）、°

,i-q

【范例1］已知｛%｝的通项公式为勺=2"-4〃+2；求S.

解：Sn=q+c（2+生+,•，+%=（2+2~+2+,,,+2”）-4（1+2+3+•,,+/?）+2n

=嗡%><吟吟…一"一2

K练习11o5-1—+2—+3—H---\-(n+)—

"2482"

2.求数列：2,22,222,…的前〃项和

3.求数列：1,1+2,1+2+2?,…的前〃项和

4.数列1,2+3,4+5+6+7,…，（第安项有2"「数的和）前〃项和（注意项数）

5.数列1,3+5,7+9+11,…，（第〃项有〃个奇数的和）的前〃项和（注意项数）

方法二:分类求和—将类型相同项合并求和

类型I（奇偶性）

_6〃-5（〃为奇数）

【范例2］已知数列｛4｝的通项4=《；求其前〃项和S,,.

12"（〃为偶数）

解：（1）当“是正偶数时

S"=（«,+a2+a3---1-a„_|）+（a2+tz4+a64---1-an）

n

n(42-l)

4+—J।2（注意项数及公比）

224-1

l+6(n-l)-5n42"+29£-15n-8

x-+-(2"-1)+

2236

(1)当〃是正奇数时

2'川9(〃—1)2-15(〃—1)一8,《"w

S,,=+a=——+-----------------+(6〃-5)(〃>3))

n3O

2"+i9rt2+3//-14

='十+。〃1，〃=1时，4=1也满足上式

36

’2"+29〃2—15〃—8/斗丁/田加、

——+------------(〃为正偶数)

S=，36

"I2"+'9/?2+3H-14以丁大蛤、

+-------------(Z〃为正奇数)

K练习221。已知数列｛%｝满足：q=La“+%+i=2"；求其前〃项和S,,

2.己知数列伍“｝的通项公式为=(—1)X(2〃—1)；求①§2。与邑小②S„

3.求S“=/-2?+32—4?+…+(—I)"-。/

类型II(正负)

［范例3］已知数列仅“｝中，％=|2n-19|；求其前n项和S„

解：设包=2〃-19及其前〃项和为T,；则7；="2x〃=〃2—18〃

〃〃=2〃-1920=〃<9,bn=2n-19<0<x>n>10

(1)当〃W9时，S“=一(4+9+…+b“)=_7；=18〃-〃2

—

(2)当“210时，Sn—(6f1+ci-,+…+%)+(Go+ci\।+•••+a“)

=Tn-2Tg=--18/1+162

JISn-n2(«<9)

得：5„=<.

n2-18«+162(w>10)

K练习321.已知数列｛4｝中，a“=|2"-10。；求其前〃项和S,

2.已知数列｛q｝,也』的通项公式为=5",2=2〃+20,

数列｛，,｝满足：q,=1?；求数列匕,｝前〃项和S“(此题高要求)

一(%<")

方法三:错位相减法

求｛%•qn｝型（｛%｝为等差数列，qH0,1）数列和的方法；

2.3

S“=a}q+a-,q~+a3qd—+anq①

n+l

qS.=a闻2+生/+…++anq②

—+i

①-②得(1q)S〃=axq+d(q~+q/H---Fq")—anq"

1+3+3+...+〃+1

【范例4】求S,

22232"

,345〃+1

解:1+r+F+■+----(1)

2223F"2"

234nn+1

2S1------1--------F■+—+(2)

2223F"2"2“+1

,,1111、〃+1

(1)-(2)得：-S1+(-7—rH—r+…H---)-----7-

212223242"2"+,

=»（昌）〃+13〃+3

（注意项数）

2n+l22,,+1

…竽

习431.求S“=l+3a+5a~+,1,+(2z?—l)a"1

1.数列｛《』的通项公式为％,=〃（一）"，4+。2+。3+~+4<“对任意”€"均成立；

求正整数M的最大值;

方法四：裂项相消法

若仅“｝是公差为d（d#0）的等差数列；则—=1（-——-）

a“a,mdanan+l