元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用

一、教材分析

上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的

速度和加速度，求曲线的切线的斜率，也可以判断函数的单调性和极值、最值等，

但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研

究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理

量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研

究多元函数的微分学。

多元函数微分学是一元函数的微分学基础上的进一步的研究，多元函数微分

学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，但在内容体系

上是与一元函数微分学是对应的，因此，在教与学中都要注意运用类比和比较的

方法。

二、教学重与难点

重点：1、偏导数的求法；全微分的求法；

2、多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则；

难点：1、多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、

全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；

2、多元复合函数的求导法则，抽象函数的高阶导数；

3、由方程组确定的隐函数的求导法则；

4、梯度的模及方向的意义；

5、条件极值的求法。

三、教学内容及其课时的划分

§8-1多元函数的基本概念2课时

§8-2偏导数2课时

§8-3全微分2课时

§8—4多元复合函数的求导法则2课时

§8-5隐函数的求导公式2课时

§8-6多元函数微分学的几何应用2课时

§8-7方向导数与梯度2课时

§8-8多元函数的极值及其求法2课时

习题课2课时

总计18课时

四、本章知识结构图

变化域、多元函数、图形

距离、邻域、内点、边界点、开/闭集、区域、有界闭区域

极限

H

本

概连续

念

极限与累次极限的关系

多

元

函连续性、偏导数与全微分之间的关系

数

微

分

法闭区域上连续函数的性质

及

其

应

用

微分法

泰勒公式

空间曲线的切平面与法线

第一节多元函数的基本概念

教学要求：

1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；

2、理解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性

质；

教学重点、难点：

重点：二元函数的极限与连续性的概念，

难点：多元函数极限的存在性、多元函数的连续性；

教学课时：2

教学过程：

一、区域

1、邻域

设，0。0，>0)是my平面上的一个点，5是某一正数。与点。0(%,打)距离小

于S的点p(x,y)的全体，称为点鸟的S邻域，记为U(综》),即

U(4》)={叫P闱<b},

也就是

U(痣,b)={(x,y)IQ(X-XO)2+(y—<S}。

在几何上，就是xoy平面上以点外(%,打)为中心、5>0为半径的

圆内部的点P(x,y)的全体。

2、区域

设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域

U(P)uE,则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。

如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，集合品-{(x,y)|l<x2+y2<4}

中每个点都是用的内点，因此片为开集。

如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点(点P本身可以

属于E,也可以不属于E),财尔P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的

边界。例如上例中，石的边界是圆周/+y2=］和f+y2=4。

设。是点集。如果对于。内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上

的点都属于。，则称点集。是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。例如，｛(%,y)|x+y>0｝及

｛(x,y)|l<x2+y2<4｝都是区域。

开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如

｛(x,y)|x+y>0)及｛(x,y)|l<x2+y2<4｝

都是闭区域。

对于平面点集E,如果存在某一正数广，使得

EuU(0,r),

其中0是原点坐标，则称E为有界点集，否则称为无界点集。例如，

｛(x,y)|l<x2+/44｝是有界闭区域，｛(x,y)|x+y>0｝是无界开区域。

二、多元函数概念

在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例

如下：

【例1】圆柱体的体积V和它的底半径小高力之间具有关系

2

V=7irho

这里，当八。在集合｛&,/?)卜>0,〃〉0｝内取定一对值S〃)时，V的对应值就随

之确定。

【例2】一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

RT

P=----,

V

其中R为常数。这里，当V、T在集合｛(V,T)|V〉0,T>"｝内取定一对值(V,T)时,

〃的对应值就随之确定。

定义1设。是平面上的一个点集。称映射R为定义在。上的二元函

数，通常记为

Z=/(x,y),(x,y)eD(或z=/(P)，PwD)。

其中点集。称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。数集

{z|z=/(x,y),(x,y)e。}

称为该函数的值域。

z是x、y的函数也可记为z=z(x,y),z=p(x,y)等等。

类似地可以定义三元函数”=/(x,y,z)以及三元以上的函数。一般的，把定

义1中的平面点集。换成〃维空间内的点集O,则可类似地可以定义〃元函数

“=/区,％2,…,X”)。〃元函数也可简记为"=/(P)，这里点P(X1,X2,…,X")€。。

当〃=1时，"元函数就是一元函数。当〃22时，〃元函数就统称为多元函数。

关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论

用算式表达的多元函数"=/(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成

的点集为这个多元函数的自然定义域。例如，函数z=ln(x+y)的定义域

{(x+y)|x+y>0}

(图8-1),就是一个无界开区域。又如，函数z=arcsin(x2+/)的定义域为

{(x+y)|x2+y2<1}

(图8-2),这是一个有界闭区域。

设函数Z=/(x,y)的定义域为。。对于任意取定的点P(x,y)eO,对应的函

数值为z=/(x,y)。这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z=/(x,y)为竖坐标在

空间就确定一点M(x,y,z)。当(x,y)遍取。上的一切点时，得到一个空间点集

{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)eD},

这个点集称为二元函数z=/(x,y)的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张

曲面。

三、多元函数的极限

定义2设二元函数/(x,y)的定义域为。，鸟(人,孔)是。的聚点。如果存在

常数A,对于任意给定的正数£，总存在正数5,使得当点P(x,y)eOn/(4@)

时，都有|/(x,y)—A|<£成立，则称常数A为函数/(x,y)当(x,y)f(/,%)时的

极限，记作

lim/(x,y)=Ay

(x,y)->(Ao,>'o)

或A((x,y)f(%,%))。

为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。

我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P(x,y)以任何方式趋于4(%,%)时,

函数都无限接近于A。因此，如果P(x,y)以某一种特殊方式，例如沿着一条直

线或定曲线趋于《(%,y0)时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此

断定函数的极限存在。但是反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于时,

函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这

种情形。

考察函数

孙x2+y20,

=，%2+,2

0,/+y2=0,

显然，当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，hmf(x,y)=lim/(x,0)=0；

(x,y)->(0,0)x->0

y->0

又当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时，lim/(x,y)=lim/(0,y)=0。

(x,y)->(0,0)yfO

.v->0

虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限

存在并且相等，但是lim/(x,y)并不存在。这是因为当点P(x,y)沿着直线

(x,y)->(0,0)

二=义趋于点(0,0)

时，有

xykx2k

一，J：———=-----------,

lim2=hm—

(x,y)^(0,0)-+yx-+k-x~\+k-

y=kxxJ

显然它是随着女的值的不同而改变的。

【例3】求lim皿也。

(x,y)->(0,2)x

解这里/(x,y)=S0n的定义域为£>={*,y)|xHO,ye/?},4(0,2)为。

的聚点。由极限运算法则得

..sin(xy)sin(xy).

lim..........-=lim-------limy=1-o2=n2«

2

(x,y)f(0.2)xx),T。Xy)'-*

四、多元函数的连续性

定义3设函数/(x,y)在开区域(闭区域)0内有定义，耳。0，打)是。聚点，

且与如果

limf(x,y)=f(x0,y0),

(x,y)->(xo，y())

则称函数/(x,y)在点与(%,%)连续。

如果函数/(x,y)在开区域(或闭区域)。内的每一点连续，那么就称函数

/(x,y)在。内连续，或者称/(x,y)是。内的连续函数。

若函数/(x,y)在点打(%,打)不连续，则称耳为函数/(x,y)的间断点。这里

顺便指出：如果在开区域(或闭区域)。内某些孤立点，或者沿。内某些曲线,

函数/(x,y)没有定义，但在。内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲

线上的点，都是函数/(x,y)的不连续点，即间断点。

前面已经讨论过的函数

x2+y2^0,

/(x,y)=Jx+y

0,x1+y2-0,

当(x,y)f(0,0)时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点。二元函数

的间断点可以形成一条曲线，例如函数

在圆周/+/=1上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。

与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有

如下性质。

性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域O上的多元连续函数，在。上

一定有最大值和最小值。这就是说，在。上至少有一点片及一点尸2,使得了(8)

为最大值而/(22)为最小值，即对于一切Pe。，有

性质2(介值定理)在有界闭区域。上的多元连续函数，必取得介于最大值

和最小值之间的任何值。

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义

域内的区域或闭区域。

由多元初等函数的连续性，如果要求它在点々处的极限，而该点又在此函数

的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即

lim/(P)=/(^).

【例4】求lim五工

解函数=是初等函数，它的定义域为0={(x,y)k/0,yw0}。

xy

因。不是连通的，故。不是区域。但2={(x,y)|x〉0»〉0}是区域，且£)1<=£),

所以。是函数/(x,y)的一个定义区域。因痣(1,2)62,故

[.x+y3

hm----=j(1,2)=—o

(x,),)->(1.2)xy2

如果这里不引进区域R,也可用下述方法判定函数f(x,y)在点凡(1,2)处是

连续的：因吊是/(x,y)的定义域。的内点，故存在外的某一邻域U(6)uO,

而任何邻域都是区域，所以U(玲)是/(x,y)的一个定义区域，又由于/(x,y)是初

等函数，因此/(x,y)在点耳处连续。

一般地，求lim/(P),如果/(P)是初等函数，且凡是/(P)的定义域的内点,

则/(P)在点外处连续，于是lim/(P)=/(综)。

【例5】求lim遮壬1。

(x,y)->(0.0)xy

钮Jx)'+1T..xy+l-l..11

解lim--------=lim----厂---=lim——=—«

■Af(o,o)q(x„y)^(o,o)xy^xy+1+1)",‘2(°’°)Jxy+1+12

四、小结：

本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函

数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多

元函数则可以类推。

作业：

五、作业

P62-63,2,5(2)(4)(6),6(2)(4)(6)

第二节偏导数

教学要求:

1.理解多元函数偏导数的概念及几何意义

2.掌握简单的多元函数偏导及高阶偏导的求法；

教学重点、难点：

重点：偏导数的求法

难点：偏导数的概念

教学课时：2

教学过程：

一、导数的定义及其计算法

以二元函数z=/（x,y）为例，如果只有自变量x变化，而自变量y固定（即

看作常量），这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z对

于x的偏导数，即有如下定义：

定义设函数z=/（x,y）在点（项），%）的某一邻域内有定义，当y固定在打而

x在Xo处有增量Av时，相应地函数有增量

/(x0+Ax,y0)-f(x0,y0),

如果

lim/(Xo+Ax,%)一"%,%)

心->0AJC

存在，则称此极限为函数z=/（x,y）在点a。,〉。）处对x的偏导数，记作

dz_,更［小学或工（/，%）

dxX=XodxEoy=yo

y=yo尸为

例如，极限（1）可以表示为

lim/（%+以，）'。）一/5。，）'。）

£（Xo，%）=⑵

AnoAX

类似地，函数Z=/（x,y）在点（犬0，%）处对y的偏导数定义为

八(%,%)=lim/"°')‘°+4')二八/5,)⑶

山-»0Ay

ZJ*=Xo或人.(%，%)

x=x0dyx=Xo>'=>0

尸光y=yo

如果函数z=/(x,y)在区域。内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这

个偏导数就是X、y的函数，它就称为函数z=/(x,y)对自变量y的偏导数，记

作

.■'z―，y)

类似地，可以定义函数z=/(x,y)对自变量)，的偏导数，记作

V2一或

偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数〃=/(x,y,z)在

点(x,y,z)处对x的偏导数定义为

/(Xo+Ar,y,z)-/(x,y,z)

£(x,y,z)=lim

Ar

其中(x,y,z)是函数〃=/(x,y,z)的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数

的微分法问题。

【例1】求z=》2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数。

解把y看作常量，得

dz

2x+3y

dx

把x看作常量，得

包=3x+2y

Sy

将(1,2)代入上面的结果，就得

dz

x=l2.1+3-2=8,

dx'y=2

dz

34+2・2=7。

［例2］求z=sin2y的偏导数。

X2

解生匕；=2xsin2），，—\^2=2Xcos2yo

dxl力u

【例3】设z=x'（x>0,xwl）,求证：

xdz1&

-----1-------=2z

ydxInxdy

v

证因为电=yx，7,—=xInx9

dxdy

匚二.Xdz1dzX_j1八yc

所以p---H-------=—yxyyH----xyInx=x+第=2z。

ydx\nxdyyInx

【例4】求厂=，_?+>2+22的偏导数。

解把y和z都看作常量，得

dr_x_x

&G+J+z?r

由于所给函数关于自变量的对称性，所以

dr_ydr_z

—，——o

dyrdzr

二元函数z=/（x,y）在点（x°,y°）的偏导数有下述几何意义。

设Mo（Xo，yo，/（Xo，M）））为曲面z=/（x,y）上的一点，过M（）作平面y=y（）,截

此曲面得一曲线，此曲线在平面y=y°上的方程为z=/（x,y0），则导数

色/。,打）1,二，即偏导数人（%,打），就是这曲线在点“0处的切线MX对工

dx

轴的斜率。同样，偏导数%（飞,打）的几何意义是曲面被平面x=x0所截得的曲

线在点处的切线加0/对>轴的斜率。

我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对

于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这

是因为各偏导数存在只能保证点尸沿着平行于坐标轴的方向趋于综时，函数值

/（尸）趋于/（弓），但不能保证点尸按任何方式趋于I时，函数值/（P）都趋于

f(p0)＞例如,函数

xyx2+y20,

z=/(x,y)=<x2+y2

0,x2+y20,

在点(0,0)对x的偏导数为

A。,。i­©°)=0

X加TOM

同样有

＜00)=13©吐包*叽。

△)TOAy

但是我们在第一节中已经知道这函数在点(0,0)并不连续。

二、高阶偏导数

设函数z=/(x,y)在区域。内具有偏导数

号=fr(x,y)，■|^=fv(x,y)，

oxdy

那么在。内//(x,y)、03)，)都是》、y的函数。如果这两个函数的偏导数也存

在，则称它们是函数z=/(x,y)的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下

列四个二阶偏导数：

dx\dx)oxoy\dx)dxdy

8d2z,,、d(dzyd2z.、

京W|=五女=＜式孤》)，羡=E5=7f”(x，y)

dx^dyJdydxdy^dyJdy

其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及”阶偏导数。

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

【例5】设z=x3/—3孙3—xy+l,求B、江、二、春及

dx2dydxdxdydy2dx3

解—-3x2y2-3y3-y,­=2x3y-9xy2-x；

dxdy

2=6盯2,

6x2y-9y2-l；

dx2dydx

分2

6ry—9y~—1,——=2丁—1Sxy；

dxdy办

我们看到例5中两个二阶混合偏导数相等，即这不是偶然的。

dydxdxdy

事实上，我们有下述定理。

贮土及宜土在区域。内

定理如果函数z=/(x,y)的两个二阶混合偏导数

dydxdxdy

连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

【例6】验证函数z=ln刊d+)/满足方程

d2zd2z

dx2+dy20。

证因为z=InJx?+,=ljn(x2+y2),

所以生-2xdzy

dxxdyx2+y2

d2z_(x2+y2)-x-2x_y2-x2

dx2(x2+y2)2(x2+y2)2

222

dZ_(J+y2)y.2y_X-y

dy2(x2+y2)2(%2+/)2

2,22,2

……,..x-y

因此----1----=--y----x----1-------——二0。

dx2dy2(x2+y2)2(x2+y2)2

【例7】证明函数〃=2，满足方程

r

d2ud2ud2u

/+歹+声0,

其中r=/2+y2+z2。

、丁du1dr1xx

证------•---=---亍・——-----r>

dxr~dxr~rr

d2u13xdr13x2

----..—+—•—_——+---一

dx2r3r4dxryr5

由于函数关于自变量的对称性，所以

d2u_13y2d2u_13z2

后=一丁尸’百=一尸至。

d2ud2ud2u_33(x2+y2+z2)_33r

2

dx+办2+&2/+r5尸3+r5

例6和例7中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中

一种很重要的方程。

三、小结：

本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数(以二元函数为重点)偏导

数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础。

四、作业：

P69,1(1)(3)(5)(7),3,8

第三节全微分

教学要求:

1.理解全微分的概念

2.了解全微分存在的必要条件和充分条件

3.掌握全微分的计算公式并会求全微分

4.了解全微分形式的不变形，了解全微分在近似计算中的应用；

教学重点、难点：

1.重点：全微分的求法，全微分的存在性、偏导数与连续性之间的关系

2.难点：全微分的存在性、偏导数与连续性之间的关系的证明；

教学课时：2

教学过程：

一、全微分的定义

我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定

时，因变量相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系，

可得

f(x+Ax,y)—f(x,y)«fx(x,y)Ax,

f(.x,y+Aj)-/(x,y)yfy(x,y)Ay«

上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函

数对x和对y的偏微分。

设函数z=/(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内有定义，并设P'(x+Ax,y+Ay)为

这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差/(》+©,)，+缈)-/(尤,)，)为函数

在点P对应于自变量增量Ax、Ay的全增量，记作Az,即

△z=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)(1)

一般说来，计算全增量Az比较复杂。与一元函数的情形一样，我们希望用

自变量的增量Ar、Ay的线性函数来近似的代替函数的全增量加，从而引入如

下定义

定义如果函数z=/(x,y)在点P(x,y)的全增量

M=于(x+Ar,y+Ay)-f(x,y)

可表示为

△z=AAx+BAy+。(P)，(2)

其中A、8不依△),赖于Ax、Ay而仅与x、y有关，p=J(Ax)2+(△»,则称函

数z=/(x,y)在点P(x,y)可微分，而AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)

的全微分，记作dz,即dz=A^x+B\y.

在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证

函数在该点连续。但是，由上述定义可知，如果函数z=/(尤,y)在点P(x,y)可微

分，那么函数在该点必定连续。事实上，这时由(2)式可得

limAz=0,

p->0

从而

lim(x+Ax,y+Ay)=lim[(x,y)+Az]=f(xy)。

ArfOAp—O9

Ay->0

因此函数％=/(x,y)在点P(x,y)处连续。

二、函数z=/(x,y)在点P(x,y)可微分的条件

定理1(必要条件)如果函数z=/(x,y)在点尸(x,y)可微分，则该函数在点

P(x,y)的偏导数当、当■必定存在,且函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全微分为

oxdy

.&&/吸、

dz=——Ax+—Ayo(3)

dxdy

证设函数z=/(x,y)在点尸(尤,y)可微分。于是，对于点尸的某个邻域的任

意一点P'(x+Av,》+△),)，(2)式总成立。特别当八丁二。时(2)式也应成立，这

时夕=l&d,所以(2)式成为

f(x+Ax,y)—f(x,y)=A•Ax+o(lAxI)。

上式两边各除以Ax,再令Ax-»0而取极限，就得

lim/(x+Ax,y)-/(x,y)=A>

心Ar

从而偏导数包存在，且等于4。同样可证包=8。所以(3)式成立。证毕。

dxdy

我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于

多元函数来说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出

苧Ar+苧△》，但它与Az之差并不一定是较「高阶的无穷小，因此它不一定是

oxdy

函数的全微分。换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充

分条件。例如，函数

.…x2+y20,

Z=f(x,y)=<y]x2+y2

0,x2+y2=0

在点尸(0,0)处有人(0,0)=0及｛(0,0)=0，所以

Ax-Ay

Az-[/(0,0)-Ax+/(0,0)-Ay]

rv7(Ax)2+(Ay)2

如果考虑点P'(x+Ax,y+Ay)沿着直线y=x趋于P(0,0),则

Ax-Ay

7(Ax)2+(Ay)2_Ax-Ay_Ax-Ax_1

~~p―(Ax)2+(Ay)2—(Ax)2+(Ax)2-2

它不能随「一>0而趋于0,这表示0->0时,

Az-[/v(0,0)-A,v+/v(0,0)-Ay]

并不是较"高阶的无穷小，因此函数在点PQ0)处的全微分并不存在，即函数在

点P(0,0)处是不可微分的。

由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。

但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下

面定理。

定理2(充分条件)如果函数z=/(x,y)的偏导数理、色在点P(x,y)连续,

oxdy

则函数在该点可微分。

证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也如此),

所以假定偏导数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在

的意思(以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解)。设点P'(x+-,y+Ay)

为这邻域内任意一点，考察函数的全增量

△z=/(x+Ar,y+Ay)-f(x,y)

=[f(x+Ax,y+A>')-/(x,y+Ay)]+[f(x,y+△)>)-f(x,y)]。

在第一个方括号内的表达式，由于y+Ay不变，因而可以看作是x的一元函数

/(x,y+Ay)的增量。于是，应用拉格郎日中值定理，得到

Az=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y+Ay)Ax

=A(x+6iAx,y+Ay)(0<^<1)

又假设，<(x,y)在点P(x,y)连续，所以上式可写为

/(x+Ar,y+Ay)-/(x,y+Ay)=/v(x,y)Ax+^Ax,(4)

其中£]为Ax、Ay的函数，且当Ax->0,△)•->()时，另一>0。

同理可证第二个方括号内的表达式可写为

f(x,y+Ay)-f(x,y)=fy(x,y)Ay+邑Ay,(5)

其中4为Av的函数，且当Ayf0时，£2->0o

由(4)、(5)式可见，在偏导数连续的假定下，全增量々可以表示为

Az=£(x,y)Ax+fy(x,y)Ay+与Ax+s2\y.(6)

容易看出

p

它是随着Arf0,Ay—>0即夕-0而趋于零。

这就证明了Z=/(x,y)在点P(x,y)是可微分的。

以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类

似的推广到三元和三元以上的多元函数。

习惯上，我们将自变量的增量分别记作dx、dy,并分别称为自变

量x、y的微分。这样，函数z=/(x,y)的全微分就可以写为

—小⑺

dxdy

如果三元函数〃=0(x,y,z)可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微

分之和，即

,du.du,du.

du——dxH--------dyH---------dzo

dxdydz

【例1】计算函数z=*'在点(2,1)处的全微分。

解因为导W—=X*

2及

=e)—=2/

dx%=2dyx=2

y=l>'=1

22

所以dz=edx+2edyo

【例2】计算函数〃=x+sin»+e”的全微分。

2

解因陪小du1y边du

=—cos—+ze-ye*

dy22及

所以dw=dx+(gcosy+zeyz)dy+yeyzdz.

三、小结:

本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数(以二元函数为重点)全微

分的定义及存在条件和求法，也可以简单介绍全微分在近似计算中的应用。

四、作业：

P75-76,1,3

第四节多元复合函数的求导法则

教学要求：

掌握多元复合函数偏导数的求法；

教学重点、难点：

1.重点：多元复合函数的求导法则

2.难点：多元复合函数的求导法则，抽象函数的高阶导数；

教学课时：2

教学过程：

一、一元函数与多元函数复合的情形

定理如果函数“=。")及丫=”。)都在点f可导，函数z=在对应点

(〃0)具有连续偏导数,则复合函数z=⑺］在点f可导，且其导数可用下

列公式计算：

dz&dudzdv,,.

-=-----1-----O(1)

dtdudtdvdt

证设/获得增量△/，这时"="(/)、v="⑺的对应增量为△〃、Av,由此，

函数Z：=/(w,v)对应地获得增量Az，根据假定,函数z=在点(〃,丫)具有连

续偏导数，于是由第三节公式(6)有

.&.dz.1.

=—AwHAv+£*|Aw+£2△口，

dudv

这里，当△〃-»(),Ay-。时，7—0,->0o

将上式两边各除以Af,得

Azdz△〃dzAvAwAv

--=-----1-----F---F--o

ZduArdvArAr-Ar

因为当加-0时，△〃.()，Av^O,-,所以

△tdtArdt

Azdzdudzdv

lim——=-----H----------

Ardudtdvdt

这就证明了复合函数z=/SQ)，H，)］在点f可导，且其导数可用公式(1)计

算。证毕。

用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。例如,

设z=/（",也卬）,，，=。（，）、v=,卬=。0）复合而得复合函数

名=/松）"（。,以。］，

则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点/可导，且其导数可用下列公

式计算

dzdzdudzdvdzda>t.

dtdudtdvdtdcodt

在公式（1）及（2）中的导数包称为全导数。

dt

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。

二、多元函数与多元函数复合的情形

设％=/（〃#）,〃=0（x,y）,y=〃（x,y）复合而得复合函数

z=（3）

如果"=0（%,y）及u=y/（x,y）都在点（x,y）具有对x及对y的偏导数，函数

z=/（〃,v）在对应点（〃一）具有连续偏导数，则复合函数（3）在点（x,y）的两个偏

导数存在，且可用下列公式计算：

dzdzdudzdv,、

dxdudxdvdx

dz&dudzdv

——=-------+-------o（（5A）

dydudydvdy

三、其他情形

设〃=0（x,y）、v=w（x,y）及w=奴x,y）都在点（x,y）具有对x及对y的偏导数，

函数z=/（〃,匕卬）在对应点（〃,匕w）具有连续偏导数，则复合函数

z=fw（x,y）Mx,y）⑷（X,y）］,

在点*,y）的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：

&&dudzdvdzdw,,、

dxdudxdvdxdwdx

&dzdudzdvdzdw（_.

dydudydvdydvvdy

如果z=/（〃,匕w）具有连续偏导数，而u=0（x,y）具有偏导数,则复合函数

z=f[</>(x,y),x,y],(8)

可看作上述情形中当v=x,w=y的特殊情形，因此

Sv.dw_

—=1,—=0,

dxdx

dv„dw

—=0,—=1t,

Sydy

从而复合函数(8)具有对自变量x及y的偏导数，且由公式(6)及(7)得

dz_dfdudf

dxdudxdx

包=红生+笠

dydudydy

注意这里包与更是不同的，包是把复合函数(8)中的)，看作不变而对x的

dxdxdx

偏导数，,是把中的〃及y看作不变而对x的偏导数。包与或也有类

dxdydy

似的区别。

【例1】设z=e"siny而〃=盯，u=x+y。求生和包。

dxdy

白刀&dzdudzdv

dxdudxdvdx

=e"sinp•y+eucosv1

=sin(x+y)+cos(x+y)]，

dz8zdu&dv

——------------1-----------

dydudydvdy

=e"sinu•尤+eucosv1

=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]。

【例2】