数学（必修3）练习活页作业11直线与平面垂直

活页作业(十一)直线与平面垂直一、选择题1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③ B．②C．②④ D．①②④解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面．对于②④图形中的两边不一定是相交直线，故该直线与它们所在的平面不一定垂直．答案：A2．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3C．2 D．1解析：∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥面ABC,BC⊂面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC))⇒BC⊥面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，故选A．答案：A3．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①② B．②③C．①④ D．③④解析：对于①，由基本性质4“平行于同一直线的两条直线互相平行”可知，①正确；对于②，如长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，此时AB平行于CD，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a，b都平行于平面γ，显然此时直线a，b可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④答案：C4．已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的()A．外心 B．内心C．垂心 D．重心解析：∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC．又BC⊥PH，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，AH⊂平面PAH，∴BC⊥AH.同理AB⊥CH，AC⊥BH.∴点H为△ABC的垂心．答案：C二、填空题5.如图所示：直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．则直线SD与平面ABC的位置关系为________．解析：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC．连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC．答案：垂直6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．解析：PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC．∴ABCD为菱形．答案：菱形三、解答题7．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC．解析：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC．∵AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD．又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC．8．如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1解：连接A1B、CD1，则AB1⊥A1B，所以AB1⊥平面A1BCD1.又D1E⊂平面A1BCD1，所以D1E⊥AB1.于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF连接DE，又D1D⊥AF，D1E∩D1D＝D1，所以AF⊥平面EDD1，所以DE⊥AF.因为四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，所以，当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F一、选择题1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是()A．n∥α B．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行 D．n⊂α解析：∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.答案：A2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点．现沿AE，AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B，C，D三点重合于点G，则下列结论中成立的是()A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF解析：∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.答案：A二、填空题3．设α表示平面，a，b表示直线．①a⊥α，a∥b⇒b⊥α；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a⊥α，b⊥α⇒a∥b.上述说法中正确的序号是________．解析：①正确；②中b与α可能平行，也可能在α内，故不正确；③易知正确．答案：①③4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1∴MN⊥C1M∴∠C1MN＝90°．答案：90°三、解答题5．如图，在多面体中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，EF⊥FB，BF＝FC，H为BC的中点．求证：AC⊥平面EDB．证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，则GH∥AB，GH＝eq\f(1,2)AB．∵AB＝2EF，EF∥AB，∴GH∥EF，∴四边形EFHG为平行四边形，则EG∥FH.由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．∵EF∥AB，∴EF⊥BC．∵EF⊥FB，且FB∩BC＝B，∴EF⊥平面BFC．又FH⊂平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.∵BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．∵AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD．∵AC⊂平面ABCD，∴FH⊥AC，∴EG⊥AC．又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥平面BDE.6.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由．解：假设存在点Q，使得PQ⊥QD．连接AQ.由已知PA⊥平面ABCD，且DQ⊂平面ABCD，∴PA⊥DQ.又∵PQ⊥DQ，且PQ∩PA＝P，PQ，PA⊂平面PAQ，∴DQ⊥平面PAQ.∵AQ⊂平面PAQ，∴AQ⊥DQ.设BQ＝x，则CQ＝a－x，AQ2＝x2＋1，DQ2＝(a－x)2＋1.∵AQ2＋DQ2＝AD2，∴x2＋1＋(a－x)2＋1＝a2，即x2－ax＋1＝0(*)．方程(*)的判别式Δ＝a2－4.∵a＞0，∴当Δ＜0，即0＜a＜2时，方程(*)无实根；当Δ＝0，即a＝2时，方程(*)有唯一实根，此时x＝1；当Δ＞0，