2018-01-23高中数学必修二期末考试

第=page1414页，共=sectionpages1515页第=page11页，共=sectionpages1515页2018-01-23高中数学必修二期末考试考试时间2小时满分150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）F1、F2是椭圆x2a2+y2bA.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是(  )

A.162+16π B.162+8π已知直线a与直线b垂直，a平行于平面α，则b与α的位置关系是(

)A.b//α B.bα C.b与α相交 D.体积为32π3的球有一个内接正三棱锥P-ABC，PQ是球的直径，∠APQA.2734 B.934 C.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是(  )

A.4

B.43

C.83

D.2

一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为(  )A.12π

B.15π

C.24π

D.36π过原点作直线与圆(x-1)2+y2=1相交于A.y=±x B.y=±2

直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是(  )A.

B.

或

C.

D.

若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①l//α，l//β，则α//β；

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个若直线ax+by-1=0与圆x2+A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  )

A.

B.

C.

D.

已知点M(4，5)是⊙O：x2+y2A.25 B.217 C.223二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知一个三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为1的直角三角形，则该三棱锥的表面积为______．

一个棱长为36的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为______．表面红色的正方体木块，棱长为5个长度单位，现将其分割为若干个棱长一个长度单位的正方体小木块，其中两面红色的个数为

；下列条件中，能判断两个平面平行的是

(1)一个平面内的一条直线平行于另一个平面(2)一个平面内的两条直线平行于另一个平面(3)一个平面内有无数条直线平行于另一个平面(4)一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）如图，在直三棱柱ABC-A1  B1C1中，M为AB1的中点，△CMB1为等边三角形．

(Ⅰ)证明：AC⊥平面

已知圆O：x2+y2=4和点M(1，a)．

(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；

(2)若a=2，求过点M的最短弦AC与最长弦BD所在的直线方程.并求此时的(本小题满分14分)

如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.点E是(1)证明：PE(2)求二面角P-AD(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

(本题满分10分)在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：(1)求点到直线的距离；(2)求边的高所在直线的方程．

​

如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点。

(Ⅰ)证明：//平面;

(Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。

如图，四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点。求证：

(1)//平面；(2)平面平面；

答案和解析【答案】1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C

8.B 9.C 10.A 11.D 12.C 13.4+314.5

15.36

16.(4)

17.(Ⅰ)证明：由直三棱柱ABC-A1  B1C1的性质知AC⊥C1C，

∵M为AB1的中点，△CMB1为等边三角形，

∴MA=MB1=MC，

∴AC⊥CB1，

又∵CB1∩C1C=C，18.解：(1)由条件知点M在圆O上，

∴1+a2=4

∴a=±3

当a=3时，点M为(1，3)，kOM=3，

此时切线方程为：y-3=-33(x-1)

即：x+3y-4=0；

当a=-3时，点M为(1，-3)，kOM=-3，

19.(1)证明见解析；(2);(3)．

20.解.(1)AB

的方程为

即

C到直线AB的距离

………(5分)(2)

AB高的斜率为

AB高的方程：

……(10分)

21.(1)见解析(2)

22.

【解析】1.解：如图所示，延长F1M，与F2MQ的延长线交于B点，连接MO，

∵MQ是∠F1QB的平分线，且QM⊥BF1

∴△F1QB中，|QF1|=|BQ|且Q为BF1的中点

由三角形中位线定理，得|OM|=12|BF2|=12(|BQ|+|QF2|)

∵由椭圆的定义，得|QF1|+|QF2|=22.解：由三视图知：几何体是半圆锥，

其中底面半径为2，高为42.∴母线长为6．

∴几何体的表面积S=12π×23.a与b垂直，a与b的关系可以平行、相交、异面，a与α平行，所以b与α的位置可以平行、相交、或在α内，这三种位置关系都有可能．4.解：由题意可得球O的半径为2，如图，

因为PQ是球的直径，所以∠PAQ=90∘，∠APQ=60∘，可得AP=2，

△ABC所在小圆圆心为O'，可由射影定理AP2=PO'⋅PQ，所以PO'=1，AO'=3，

因为O'为△ABC的中心，所以可求出△5.解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为12×2×22=22，高为2；

所以，该棱锥的体积为V=13S底面积6.解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5，

底面圆的面积S1=π×(62)2=9π．

侧面积S2=π×3×5=15π7.解：由题意∠AOB=π3，∴圆心到直线的距离为32，

设直线方程为kx-y=0，则|k|k2+1=32，

∴k=±3，

∴直线AB的方程为8.本题主要考查直线与圆的位置关系的综合性问题．故选：B．9.解：①平行于同一条直线的两个平面不一定平行，可能相交，∴①错误．

②垂直于同一个平面的两个平面不一定垂直，可能平行，∴②错误．

③若l//α，l⊥β，则α⊥β成立，∴③正确．

④若α⊥β，l//α，则l⊥β成立，∴④10.解：∵直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相切，

∴圆心(0，0)到直线ax+by-1=0的距离：

d=|-1|a2+b2=1a2+b2=r=1，

∴a2+b211.如图，由已知条件可知，截去部分是以△ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a，则截去部分的体积为a3，剩余部分的体积为.它们的体积之比为.故选

评析：

本题主要考查几何体的三视图和体积的计算，考查空间想象能力．12.解：圆的方程为x2+y2-6x-8y=0化为(x-3)2+(y-4)2=25．

∴圆心O(3，4)，半径为5，

∴OM=213.解：由题意可得：三棱锥P-ABC满足：PC⊥底面ABC，PC=1，

取AB的中点D，连接CD，PD．

CD⊥AB，∴AB⊥PD．

PD=PC2+CD2=2．

∴该三棱锥的表面积S=34×22+214.解：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，

∵正方体的棱长是36，

∴三棱锥的体积V1=13×12×36×36×315.本题考查正方体的结构特征。由于正方体的棱长等于5，那么

位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，

其它的小正方体有2面涂有红色，总共有3×16.解：对于(1)，一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，不能判断两个平面平行；对于(2)，根据平面与平面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，才能判断两个平面平行；对于(3)，当两个平面相交时，存在一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，故不能判断两个平面平行；对于(4)，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则两个平面没有公共点，能判断两个平面平行，故答案为(4)．17.(Ⅰ)通过直三棱柱ABC-A1  B1C1的性质知AC⊥C1C，结合M为AB118.(1)要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．

(2)当a=2时，M(1，2)在圆x2+y2=4内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦，此时DB=4，圆心(0，0)到直线AC的距离d=3，从而可得，AC=2，即可求出此时的SABCD．

本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用.(求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上，则该点为切点，若点19.(1)证明：因为PD=PC，点E为DC所以PE⊥又因为平面PDC⊥平面ABCD，交线为DC所以PE⊥平面ABCD又FG⊆平面ABCD，所以PE(2)由(1)可知，PE⊥因为四边形ABCD为长方形，所以AD⊥又因为PE∩DC=E，所以而PD⊂平面PDC，所以AD由二面角的平面角的定义，可知∠PDC为二面角P在Rt△PDE中，PE==所以tan∠PDC==​从而二面角P-AD-(3)连结AC.因为，所以FG//易求得AC=，PA==5．所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角，即∠PAC在△PAC中，cos∠所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为．20.解析.(1)根据直线的斜截式方程求得AB

的方程为

即

再根据点到直线的距离公式求得

C到直线AB的距离

(2)

根据AB与AB的高垂直，得出AB高的斜率为

又因为AB高过点C，根据直线的点斜式公式求得：AB高的方程：

21.【解析】(1)证法一：连结，由已知

AB=AC，三棱柱为直三棱柱，所以M为中点，

又因为N为的中点，所以//．

又，，因此//

证法二：取中点P，连结MP，NP，而M，N分别为的中点，所以MP//，PN//