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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.12 B. C. D.102.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴3.已知复数满足,则的共轭复数是()A. B. C. D.4.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点,则的值为()A. B. C. D.5.在正方体中,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为()A. B. C. D.6.已知全集,函数的定义域为,集合,则下列结论正确的是A. B.C. D.7.已知函数的最大值为,若存在实数,使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D.8.设曲线在点处的切线方程为,则()A.1 B.2 C.3 D.49.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为4的正三角形,俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,则该几何体的体积为()A. B. C. D.10.已知函数是上的偶函数,是的奇函数,且,则的值为()A. B. C. D.11.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是()A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析最差12.已知集合,将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列,则()A.1194 B.1695 C.311 D.1095二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数,对任意,有,且,则______.14.已知,在方向上的投影为,则与的夹角为_________.15.已知函数,则曲线在处的切线斜率为________.16.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从中任意摸取3个小球,每个小球被取出的可能性相等,则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,函数的最小值为1.(1)证明:.(2)若恒成立,求实数的最大值.18.(12分)椭圆:()的离心率为,它的四个顶点构成的四边形面积为.(1)求椭圆的方程;(2)设是直线上任意一点,过点作圆的两条切线,切点分别为,,求证:直线恒过一个定点.19.(12分)已知的图象在处的切线方程为.(1)求常数的值;(2)若方程在区间上有两个不同的实根,求实数的值.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.21.(12分)已知(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.22.(10分)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,,直线过点,且与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)求的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

取B1C1的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱,此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圆半径,然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】如图,取B1C1的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱,所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上,的外接圆直径为,球O的半径R满足,所以球O的表面积S=4πR2=,故选:C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系,及球的表面积公式,解题时要注意审题,注意空间思维能力的培养,属于中档题.2、A【解析】

根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.3、B【解析】

根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由,得,所以.故选:B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则,考查了复数的共轭复数的定义,属于基础题.4、B【解析】

根据三角函数定义得到,故,再利用和差公式得到答案.【详解】∵角的终边过点,∴,.∴.故选:.【点睛】本题考查了三角函数定义,和差公式,意在考查学生的计算能力.5、D【解析】

连接,,因为,所以为异面直线与所成的角(或补角),不妨设正方体的棱长为2,取的中点为,连接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【详解】连接,,因为,所以为异面直线与所成的角(或补角),不妨设正方体的棱长为2,则,,在等腰中,取的中点为,连接,则,,所以,即:,所以异面直线,所成角的余弦值为.故选:D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值,利用了正方体的性质和二倍角公式,还考查空间思维和计算能力.6、A【解析】

求函数定义域得集合M,N后,再判断.【详解】由题意,,∴.故选A.【点睛】本题考查集合的运算,解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式,集合是函数的定义域,还是函数的值域,是不等式的解集还是曲线上的点集,都由代表元决定.7、B【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到,进而可以得到函数的最值,区间(m,n)长度要大于等于半个周期,最终得到结果.【详解】函数则函数的最大值为2,存在实数,使得对任意实数总有成立,则区间(m,n)长度要大于等于半个周期,即故答案为:B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用,以及三角函数的图像的性质的应用,题目比较综合.8、D【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率,列出a的方程即可求解【详解】因为,且在点处的切线的斜率为3,所以,即.故选:D【点睛】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力,是基础题9、A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体,前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥,体积为故答案为A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.10、B【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于与关系,转换成关于的关系式,通过变形求解出的周期,进而算出.【详解】为上的奇函数,,而函数是上的偶函数,,,故为周期函数,且周期为故选:B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,函数的周期性的应用,属于基础题.11、C【解析】

根据题目所给图像,填写好表格,由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据:数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题,考查数据处理能力和应用意识.12、D【解析】

确定中前35项里两个数列中的项数,数列中第35项为70,这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得,然后可求和.【详解】时,,所以数列的前35项和中,有三项3,9,27,有32项,所以.故选:D.【点睛】本题考查数列分组求和,掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础.解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的,又有多少项是中的.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-1【解析】

由二项式定理及展开式系数的求法得,又,所以,令得:,所以,得解.【详解】由,且,则,又,所以,令得:,所以,故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理及展开式系数的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、【解析】

由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值,从而得角的大小.【详解】在方向上的投影为,即夹角为.故答案为:.【点睛】本题考查求向量的夹角,掌握向量投影的定义是解题关键.15、【解析】

求导后代入可构造方程求得,即为所求斜率.【详解】,,解得:,即在处的切线斜率为.故答案为:.【点睛】本题考查切线斜率的求解问题,考查导数的几何意义,属于基础题.16、【解析】

由题,得满足题目要求的情况有,①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选和②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,由此即可得到本题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类:①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选,一共有种情况;②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,一共有种情况,又从中任意摸取3个小球,有种情况,所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.故答案为:【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题,考查学生分析问题和解决问题的能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)2;(2)【解析】分析:(1)将转化为分段函数,求函数的最小值(2)分离参数,利用基本不等式证明即可.详解:(Ⅰ)证明:,显然在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,即.(Ⅱ)因为恒成立,所以恒成立,当且仅当时,取得最小值,所以,即实数的最大值为.点睛:本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用,第二问恒成立问题分离参数,利用基本不等式求解很关键,属于中档题.18、(1);(2)证明见解析.【解析】

(1)根据椭圆的基本性质列出方程组,即可得出椭圆方程;(2)设点,,,由,,结合斜率公式化简得出,,即,满足,由的任意性,得出直线恒过一个定点.【详解】(1)依题意得,解得即椭圆:;(2)设点,,其中,由,得,即,注意到,于是,因此,满足由的任意性知,,,即直线恒过一个定点.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程,直线过定点问题,属于中档题.19、(1);(2)或.【解析】

(1)求出,由,建立方程求解,即可求出结论;(2)根据函数的单调区间,极值,做出函数在的图象,即可求解.【详解】(1),由题意知,解得(舍去)或.(2)当时,故方程有根,根为或,+0-0+极大值极小值由表可见,当时,有极小值0.由上表可知的减函数区间为,递增区间为,.因为,.由数形结合可得或.【点睛】本题考查导数的几何意义,应用函数的图象是解题的关键,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)直接代入再由诱导公式计算可得;(Ⅱ)先得到,再根据利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因为所以,由得,又因为,故,所以,所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用,属于中档题.21、(1)(2)函数有两个零点和【解析】试题分析:(1)求导后根据函数在区间单调递增,导函数大于或等于0(2)先判断为一个零点,然后再求导,根据,化简求得另一个零点。解析:(1)当时,,因为函数在上单调递增,所以当时,恒成立.[来源:学&科&网Z&X&X&K]函数的对称轴为.①,即时,,即,解之得,解集为空集;②,即时,即,解之得,所以③,即时,即,解之得,所以综上所述,当函数在区间上单调递增.(2)∵有两个极值点,∴是方程的两个根,且函数在区间和上单调递增,在上单调递减.∵∴函数也是在区间和上单调递增,在上单调递减∵,∴是函数的一个零点.由题意知:∵,∴,∴∴,∴又=∵是方程的两个根,∴,,∴∵函数图像连续,且在区间上单调递增,在上单调递减,在上单调递增∴当时,,当时,当时,∴函数有两个零点和.22、(1),;(2)1.【解析】

(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,可得p值,即可求抛物线C的方程从而可得解;(2)设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【详解】(1)∵点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P(2,y0)是抛物线上一点,|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x,∵点P(2,n)(n>0)在抛物线C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是

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