2023-2024学年江西省上进联盟高二（下）联考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省上进联盟高二（下）联考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“对任意n∈N∗，f(x)=3x2nA.存在n∈N∗，使f(x)=3x2n不是偶函数

B.对任意n∈N∗，f(x)=3x2n不是偶函数

C.存在n∈N∗2.已知{an}为等差数列，若a3+aA.13 B.−13 C.13.已知f(x)=sin3x，则f′(π4)=A.22 B.−22 4.已知变量x，y线性相关，利用样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)求得的回归直线方程为y=−1A.1 B.−1 C.13 D.5.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x3+ax2+b，若f(x)的图象在x=−1处的切线方程为A.4 B.−4 C.2 D.−26.已知p：双曲线x24−y2m=1(m>0)的渐近线与圆(x−2)2+y2=1没有公共点，q：数列A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件 D.充要条件7.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，A.32−2032×3100 B.98.已知f(x)=−xlnx，g(x)=1−2−x，若存在x1，x2，使得A.最小值为12 B.最大值为12 C.最小值为3e2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则(

)A.a=3000

B.小王第3个月与第7个月工资之和等于第2个月与第8个月工资之和

C.小王入职后前15个月的工资之和是第8个月工资的15倍

D.小王入职后第20个月的工资为4550元10.若数列{an}满足，对任意正整数n，恒有an≥aA.an=n2−403n 11.根据f(x)=xexA.3<3.1e0.1 B.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若A={−2,0,1,3}，B={x|x=23n,n∈Z}，则A∩B=13.已知{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是公比为正数的等比数列，若a1=b114.若函数y=eaxe−1−lnxx−1ex−x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

据统计，目前中国各省市博物馆藏品数量最多的前5个省市及藏品数量(单位：万件)依次为：北京(632.2)、四川(470.9)、上海(342.1)、陕西(329.2)、广东(262.7)，从这5个省市中任意选取2个省市，记选取到的博物馆藏品数量超过400万件的省市个数为X．

(1)求X的分布列与期望；

(2)在X≠0的条件下，求广东省没有被选取到的概率．16.(本小题15分)

已知四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，四边形ABCD是边长为4的菱形，点E，F分别为CD，PD的中点，AE⊥CD．

(1)证明：平面PAB⊥平面AEF；

(2)求平面PBC与平面AEF的夹角的余弦值．17.(本小题15分)

已知数列{an}满足nan+1=n+1an+4n2+4n，n∈N∗．

(1)证明：数列{18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且a，b的等比中项为2．

(1)求C的方程；

(2)若直线y=kx(k≠0)与C交于点A，B两点，直线y=k1x+2过点A且与C交于另外一点A′，直线y=k2x+2过点B，且与C交于另外一点B′．

(ⅰ)设A(x1,y119.(本小题17分)

已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的导函数为f″(x)，对于区间A，若f(x)与f′(x)在区间A上都单调递增或都单调递减，则称f(x)为区间A上的自律函数．

(1)若f(x)=(x2+x+a)e2x是R上的自律函数．

(ⅰ)求a的取值范围；

(ⅱ)若a取得最小值时，f″(x)=t只有一个实根，求实数t的取值范围；

(2)已知函数g(x)=23x4−b2x2+cx(b>0)，判断是否存在b，c及x0∈(12参考答案1.A

2.D

3.D

4.B

5.D

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.ACD

11.BC

12.{−2,0}

13.−214.(−115.解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，

则P(X=0)=C32C52=310，X012P331则E(X)=0×310+1×35+2×110=45；

(2)设事件A表示“X≠0”，事件B表示“广东省没有被选取到”，

则16.解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，且AE⊥CD，

所以AE⊥AB，

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以PA⊥AE，

因为PA∩AB=A，AB，PA⊂平面PAB

所以AE⊥平面PAB，

因为AE⊂平面AEF，

所以平面PAB⊥平面AEF．

(2)由(1)可得AB，AE，AP两两垂直，

因为AD=4，DE=2，AE⊥CD，

所以AE=23，

以点A为坐标原点，AB，AE，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(2,23,0),D(−2,23,0)，E(0,23,0)，P(0,0,2)，F(−1,3,1)，

所以PB=(4,0,−2)，BC=(−2,23,0)，AE=(0,23,0)，EF=(−1,−3,1)，

设平面PBC的法向量n1=(x1,y1,z1)，

则{n1→⋅PB→=0n1→⋅BC→=0，即4x1−2z1=0−2x1+23y1=0，

取y1=117.解：(1)因为nan+1=n+1an+4n2+4n，

所以nan+1=n+1an+4n(n+1)，

两边同时除以n(n+1)得：1(n+1)an+1=1nan+4，

即1(n+1)an+1−1nan18.解：(1)因为C的离心率为32，所以a2−b2a2=34，

整理得a2=4b2，所以a=2b，

因为a，b的等比中项为2，所以ab=4，

即2b2=4，b2=2，a2=8，

所以C的方程为x28+y22=1．

证明：(2)(ⅰ)y=k1x+2与x28+y22=1联立得(4k12+1)x2+16k1x+8=0，

则Δ=(16k1)2−32(4k12+1)=32(2k1−1)(2k1+1)>0，则k1<−12或k1>12，

所以x1x2=8419.解：(1)(ⅰ)因为f(x)=(x2+x+a)e2x，

所以f′(x)=(2x2+4x+2a+1)e2x，f″(x)=(4x2+12x+4a+6)e2x，

因为f(x)是R上的自律函数，

所以2x2+4x+2a+1≥0恒成立，4x2+12x+4a+6≥0恒成立，

所以16−8(2a+1)≤0,144−16(4a+6)≤0,

解得a≥34，所以a的取值范围是[34,+∞)．

(ⅱ)当a=34时，f″(x)=(4x2+12x+9)e2x=(2x+3)2e2x，

设ℎ(x)=f″(x)，则ℎ′(x)=(8x2+32x+30)e2x=8(x+52)(x+32)e2x，