高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (16)(含解析)

第八章第4节《空间点'直线'平面之间的位置关系》解答题(16)

1.如图，多面体PQ42CD中，四边形ABCD是菱形,P4_L平面ABCDMB=PA=2,AABC=60°,

QC=QD=2VLPQ=a(a>0).

(1)设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a,四边形尸。州为平面四边形;

(2)当a=E时，求直线PQ与平面PBC所成角的正弦值.

2.已知ABC。一月iBiGDi是棱长为。的正方体，E为441的中点，F为CC1上一点,

(1)求三棱锥4一0逃产的体积；

(2)当尸为CCi中点时，求当到平面BEF的距离.

3.如图，平面P4B工平面A8CD四边形A8CD是边长为4的正方形，乙4PB=90。，M是C£＞的

中点.

(1)在图中作出并指明平面PAM和平面PBC的交线/；

(2)求证：AP1BC；

(3)当ZP=2时，求PC与平面A8CD所成角的正切值.

4.图1是由正方形ABC。，Rt4ABE,Rt△€?)/组成的一个等腰梯形，其中AB=2,将AABE、&CDF

分别沿AB,C。折起使得E与尸重合，如图2.

(1)设平面ABED平面CDE=，，证明：1//CD-,

(2)若二面角A—BE—。的余弦值为，，求AE长.

图2

5.如图，四棱锥P—A8CD中，底面A8CD是直角梯形，AB//CD,乙DAB=60°,AB=AD=2CD,

侧面PAD，底面ABCD,且小P4D为等腰直角三角形，乙4PD=90°.

AB

(1)求证：AD1PB；

(2)求平面PAO与平面P8C所成锐二面角的余弦值.

6.如图，在三棱柱ABC—中，点E,P分别是3C,BiG的中点.

(1)证明：平面〃平面&CF；

(2)平面将三棱柱力BC—4B1C］分为两部分，记体积较小一部分的体积为匕，体积较大一

部分的体积为彩，求物值.

7.图1是由正方形ABC。，Rt4ABE,Rt△CDF组成的一个等腰梯形，其中4B=2,将AABE、

△COF分别沿AB,CD折起使得E与F重合，如图2.

(1)设平面ABED平面COE=Z,证明：I//CD；

(2)若二面角A—BE—0的余弦值为?，求4E长.

8.如图，在梯形48CQ中，AB//CD,AD=DC=CB,^.ABC=60°,四边形ACE尸是矩形.

(I)求证：AC1EB；

(11)若。七=8(：,且。七_18。，求EB与平面FB。所成角的正弦值.

9.如图，在四棱锥P—ABCO中，PA1底面ABCD,AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,

点E为棱PC的中点.

(1)证明：BELDC；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值:

(3)若尸为棱PC上一点，满足BF14C,求二面角F-AB-P的余弦值.

10.如图，四边形A8CD是边长为2的正方形，力P=PD,将三角形PAD沿AO折起使平面P4C，平

面ABCD.

(1)若M为PC上一点,且满足BM1PD,求证：PD1AMt

(2)若二面角PC-D的余弦值为一千，求AP的长.

11.如图，已知正方体力BCD—4B1GD1的棱长为6,E,尸分别是棱8C,CG上的点，且CE=CF=2.

(1)证明：A、E、F、/点共面；

(2)求几何体CEF-的体积V.

12.如图，在底面是平行四边形的四枝锥S-ABCD中，。为AC,2。的

交点，P、Q分别为△S4。，△SBC的重心，求证：S,P,O,Q四点

共面。

13.如图，过圆柱01。2的轴的截面ABC。为正方形，E,尸分别为圆柱上、下底面圆上的点，EF经

过。1。2的中点O,且EF1AD.

E

(1)证明：AE=DE.

(2)求直线AF与平面。环所成角的正弦值.

14.在三棱锥A-BCD中，E,，分别是线段AB,A£＞的中点，F,G分别是线段CB,CD上的点,

且％泮沏正:

(1)四边形EFG”是梯形;

(2)4C,EF,G”三条直线相交于同一点.

15.如图，四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是菱形，^BAD=或M是棱P8上的点，。是AD中点,

且P01底面ABC。，OP=V30A-

AB

(1)求证：BC10M；

(2)若PM=|PB,求二面角B-OM-C的余弦值.

16.在正方体AC1中，E,F分别为。传1，BiG的中点，ACf}BD=P,A^QEF=Q,如图.

(1)若&C交平面于点R,证明：P,Q,R三点共线;

(2)线段AC上是否存在点使得平面&D1M〃平面EFBD,若存在，确定M的位置；若不存

在，请说明理由.

17.已知在三棱锥P—4BQ中，D,C,E,尸分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，尸。与EQ交于点G,

PC与FQ交于点H,连接GH.

(1)求证：EF“平面PDC

(2)求证：AB//GH；

(3)求多面体ADGE-BCHF的体积与三棱锥P-4BQ的体积之比.

18.如图，在直三棱柱力BC-ABC中，E,尸分别为4/1，BQ的中点.求

证：平面ACCMi与平面BEF相交.

19.三个平面a、0、y,如果a〃夕，yfla=a,yPI/?=b,且直线cu0,c//b.

(1)判断c与夕的位置关系，并说明理由.

(2)判断C与4的位置关系，并说明理由.

20.在正方体4BCD-&B1C1D1中，M,N分别为棱。也，QC的中点,则

(1)用图中己知线段(除正方体棱长外)直接写出“当的异面直线。

(2)若正方体内有一正四棱锥，该正四棱锥顶点在面为B1GO1的对角线交点处，底面为ABC。，其中

正方体的棱长为a,试求该正四棱锥的表面积。

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：设。在平面内的射影为E,由QC=Q。可得EC=ED,

所以点E在CO的垂直平分线上，

由A8CD是菱形，且NA3L,削，故直线AE与C£＞的交点即为CD的中点凡

因为PA1平面ABC。，QEL平面ABC。，所以PA〃QE,

从而PA,QE共面，因此P。，E4共面，所以PQFA为平面四边形，即P、Q、F、4共面;

(2)解：分别以A3、AF.AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(l,V3,0),F(0,V3,0),P(0,0,2)

V

B

当。=旧时，由PF=«,QF=V7可得PF2+QF2=PQ2,

所以Q的坐标为(0,2+百,遮)，

可求平面PBC的一个法向量为记=(V3,1,V3)，

设直线尸。与平面PBC所成角为。,

则sin9=|cos<n,PQ>|=*二巴

从而直线PQ与平面PBC所成角的正弦值为延出.

解析：考查平面的基本性质及应用，直线与平面所成角，是中档题.

(1)先证明PQ,E4共面，进一步的四边形PQFA为平面四边形；

(2)由向量法求直线PQ与平面P8C所成角的正弦值.

2.答案：(1)

解：依题意，Vkj-DjEF=^F-AiD1E<

1„1111o

^F-A^E=3^1D1F-a=-x-xa--a-a=—a\

所以匕1-D1EF=专浸.

(2)由题可得此图，

连接8道交E尸于点0,连接AC、BD,

因为正方形ABCD,

所以4c1BD,

因为正方体ABC。一48也15，

所以BBi1¥®ABCD,

因为ACu平面A8CC,

所以BBiJ.4C,

又因为4clBD,BBrB£＞平面B81DD1，BB1C\BD=B,

所以AC1平面BB1DD1，

因为E、尸分别是441、eq的中点，

所以AC〃EF,

所以EF1平面B&DDi，

因为殳0u平面BBiODi，

所以EF1B、D,

又因为品。18。式正方体对角线相互垂直)，

BDi，EFu平面EBP。1，EF为平面EBFD1内两条相交的直线，

所以当0，平面EBFDi,

所以当。为名到平面2EF的距离.

B]。=卯山，BD=y/AB2+AD2=s/a2+a2=V2a2,

B]D=JBBJ2+BD2=Ja2+(V2a2)=6a，

所以B[0=

故“到平面8EF的距离为立a.

2

解析：本题考查了求空间几何体的体积，点到平面的距离，考查了学生的基础知识和空间想象能力，

属于中档题.

(1)由%LAEF=%-AD|E，依据三棱锥体积计算公式直接计算即可.

(2)观察图像，连接当。交EF于点0,需要先证明当。_L平面EBFDi求当，将到平面8EF的距离转

化为求当0的长度，求解即可，学生也可选择建系法求解点到平面距离.

3.答案：解：(1)如图，延长AM与8c交于点Q,连接尸。，

证明：(2)因为四边形ABC。是正方形，所以AB_LBC.

又平面P4B，平面ABCD,

平面PABn平面ABCO=48,BCu平面ABC。，

所以BC1平面PAB,

乂APu平面PA8,所以4PJ.BC.

解：(3)如图，过点、P作PH1AB于点H,连接C4,

因为平面P4B1•平面ABCD,

平面P4Bn平面4BCD=4B,PH1AB,

PHu平面PAB,所以PHJL平面ABCD.

所以4PCH即为PC与平面ABC。所成的角，

在△APB中，44PB=90。，AP=2,AB=4,所以PB=2百，/-PAB=60°,

从而PH=V3，BH=3,

在RtABCH中，CH=5,

所以tan/PCH=—=—.

CH5

所以PC与平面ABCD所成角的正切值为，.

解析：本题考查线面垂直的判定与性质，线面角的求法，属于中档题.

(1)延长AM与BC交于点0,连接P。，即可得解：

(2)由正方形的性质可得4B1BC,由面面垂直的性质可得，BC1平面PA8,即可得证；

(3)过点P作PH14B于点H,连接CH,由面面垂直的性质可得PH_L平面4BCD.则"CH即为PC与

平面A8CD所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.

4.答案：(1)证明：因为CO〃4B,48u平面ABE,CD案平面ABE,

所以CD〃平面48E,

又CDu平面ECD,平面ABEn平面EC。=I,所以〃/CO,

(2)解：因为4B〃CD,CD1DE,所以AB_LDE,

又4B14E,AEQDE=E,4Eu平面A£＞E,DEu平面AQE,

所以48I5?®ADE,

因为SBu平面ABCD,所以平面ABC。1平面AED,

过E作E014D于点O,则。是AO的中点，

因为平面力BCDn平面4ED=AD,EOu平面ADE,

所以E。1平面ABC。，

以。为原点，与AB平行的直线为x轴，。。所在直线为y轴，OE所在直线为z轴

建立空间直角坐标系。-xyz,

设EO=/i,则力(0,—1,0),0(0,1,0),5(2,-1,0),E(0,0,h),

AB=(2,0,0),AE=(0,1.h),

设平面48E的法向量为方={x,y,z),

则慎言二:叫冷;=0,取…”小则z=-i

所以平面ABE的一个法向量4=(0,/z,-1)

同理可求得平面8QE的一个法向量为芯=(M，1),

所以18s＜河，石＞1=鼎=而繇布=g解得仁2或争

检验发现h=立时二面角A-BE-。的平面角为钝角，

3

所以h=2,此时4E=V5.

解析：本题考查线面平行的判定定理与性质定理，考查利用空间向量解决二面角问题，属于中档题.

(1)利用线面垂直的判定定理得出CD〃平面ABE,再由线面平行的性质定理得出证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，由二面角4-BE-D的余弦值为?求出AE的长即可.

5.答案：(1)证明：如图所示：

取AO的中点G,连结PG、GB、BD.

vPA=PD,：•PG1AD

■：AB=AD,且4ZX4B=60°,

.•.△4BD是正三角形，BG1AD,

又PGC\BG=G,PGnBGu平面PGB,

AD1平面PGB.

AAD1PB

（2）解：•••侧面PAD_L底面ABCD,

又•••PG1AD,PGu平面PAD,

：.PG_L底面4BCD.BGu平面4BCD；•PG1BG.

直线GA、GB、GP两两互相垂直，

故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴建立

如图所示的空间直角坐标系G—xyz.

设PG=a,则可求得P（0,0,a）,A（a,O,0）,B（0,商,0）,。（一a,0,0）,C（-|a,^a,0）.

.•.前=（一|a,一与a,0）=（0,V3a,-a）.

设元=（&,yo，Zo）是平面PBC的一个法向量，

则元•正=0且元•丽=0.

f3V3nfV3

..._”Xo—3物=0,解得^o=-Tyo,

V3ay0-az0=0.（z0=V3y0-

取yo=遮，则元=（—1,代,3）.

又・・・平面PAD的一个法向量汨=GB=（0,百见0）,

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为仇

则COS®=Id=/3a_=—,

Vl+3+9-^a13

所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为叵.

13

解析：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，

注意向量法的合理运用，属中档题，

(1)取AO的中点G,连结尸G、GB、BD,推导出PG140,△4B0是正三角形，BG1AD,由此能

证明AD1PB.

(2)由题意可以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、)，轴和z轴建立空间直角坐标系G-xyz.

利用向量法能求出平面抬。与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

6.答案：(1)证明：因为点E,尸分别是8C,BiG的中点，

所以B/〃CE且当尸=CE,四边形CFBiE是平行四边形，

所以81E〃CF,同理可证4E〃4F.

因为BiEnAE=E,CFCXA^=F,

BiE.AEu平面AEB,,CFCAFU平面CF.Ai,

所以平面ABiE〃平面4CF；

(2)设三棱柱A8C-4BiG棱柱高为人体积为匕则

匕=Vg-4BE=,九=£Xj^AABC'=

*33NO

所以%=W，

6

喷，

解析：本题考查棱柱、棱锥的体积，空间中直线与直线的位置关系，面面平行的判定，属于中档题.

(1)由面面平行的判定定理可得平面4&E〃平面&CF；

(2)设棱柱高为/?,体积为匕则匕=/一砥=汉说咦=拉汉谢,九=)，进而得出找的值.

133NbV2

7.答案：(1)证明：因为C。〃/IB,4Bu平面ABE,「。笈平面ABE,

所以CD〃平面ABE,

又CDu平面ECD,平面ABEn平面ECO=I,所以〃/CD,

(2)解：因为AB〃C。，CDIDE,所以ABIDE,

又4B1AE,AEC\DE=E,4Eu平面4£>E,DEu平面AOE,

所以AB1平面AOE,

因为ABu平面ABCD,所以平面ABCDJ_平面AED,

过E作E014D于点0,则。是AO的中点，

因为平面ABCD介平面AED=AD,EOu平面ADE,

所以EO1平面ABCD,

以O为原点，与AB平行的直线为x轴，。。所在直线为y轴，OE所在直线为z轴

建立空间直角坐标系。-xyz,

设E0=h,则4(0,-1,0),0(0,1,0),B(2,—1,0)，E(0,0,h),

AB=(2,0，0),AE=(01，h),

设平面ABE的法向量为汨=(x,y,z),

则像黄刖群取…"伍则z=T

所以平面A8E的一个法向量4=(0"-1)

同理可求得平面8。七的一个法向量为五=(%h，1),

所以18s＜不荻＞|=酷=而繇有=冬解得仁2或圣

检验发现/I=3时二面角力-BE-。的平面角为钝角，

3

所以h=2,此时4E=V5-

解析：本题考查线面平行的判定定理与性质定理，考查利用空间向量解决二面角问题，属于中档题.

(1)利用线面垂直的判定定理得出CD〃平面ABE,再由线面平行的性质定理得出证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，由二面角4-BE-。的余弦值为?求出AE的长即可.

8.答案：解：(/)在等腰梯形ABCQ中，AD=DC,

•••Z.DAC=Z.DCA,

又4DCA=/.CAB,Z.DAB=乙ABC=60°,

•••乙CAB=30°,

/.BCA=90\即4clBC.

•••四边形ACEF是矩形，.-.ACLEC.

又ECCBC=C,ECQ平面BCC平面EC3,

AC，平面ECB,EBu平面ECB,

•••ACA.EB.

(U)由条件可知CA,CB,CE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

设CE=BC=2,则B(0,2,0),。(遮，一1,0),F(2g,0,2),E(0,0,2),

BD=(V3,-3,0)>~BF=(273,-2,2).

设平面FBZ)的法向量为元=(x,y,x),则有0餐=O,n沱厂3y=0,

令y=l,得％=遍，z=—2,••・平面尸8。的一个法向量为记=(遍,1,—2),

又说=(0,2，-2)，・•.cos〈丽，五>=嬴2।=京

・・・EB与平面拉所成角的正弦值为不

4

解析：本题主要考查异面直线垂直关系的证明、空间向量法求解空间中直线与平面所成角的问题.考

查线面垂直的判定定理，属于中档题.

(/)利用线面垂直的判定定理得出力C，平面ECB,进而得出AC1EB；

(〃)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面夹角的正弦值.

9.答案：解：(1)依题意，以点A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图,

可得8(1,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2).

由E为棱PC的中点，得E(l,l,1).

丽=(0」，1).DC=(2,0,0),

故而・沆：=0，所以BEICC.

(2)前=(一1,2,0),丽=(1,0,-2).

设E=(xty,z)为平面PBD的一个法向量,

则伊•前=0即[-x+2y=0,

(元•丽=0(x-2z=0.

不妨令y=l,可得元=(2,1,1).

|力函2_逛

于是有|cos<忆B总>|=

m画।>/6xy/2―V

所以直线BE与平面9所成角的正弦值峙

(3)近=(1,2,0),CP=(-2,-2,2).AC=(2,2,0),AB=(1,0,0).

由点尸在棱PC上，设而=4而，0<A<1,

故乔=或+B=配+2而=(1-2尢2-24,24).

由BF_LZC,WBF-AC=0.

因此，2(1—24)+2(2-24)=。，解得;I=[,

即丽=(一/3.

设五1=(%,y,z)为平面FAB的一个法向量,

%=0

则即-7+1+*°'

不妨令z=1,可得％=(0,-34).

取平面4BP的法向量记2=(0/，0)，

同•病|_|一3|_3Vzm

则1.7?2)|=

同I圈x110

易知，二面角F—AB-P是锐角,

所以其余弦值为2.

10

解析：本题考查利用空间向量解决判定空间直线的垂直，求线面，面面角的问题和立体几何中的探

索性问题，属于中档题.

(1)以点A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为零证

明BE1DC;

(2)求得平面PB。的一个法向量，进而计算直线BE的方向向量与平面P8。的法向量所成角的余弦

的绝对值，即得线面所成角的正弦值；

(3)由点尸在棱PC上，设谓=4斤，04441,求得BF的方向向量而的坐标，由BFLAC,利用

空间向量的数量积为零求得4的值，得到向量乔的坐标，进而求得平面E4B的一个法向量，求得平

面ABP和平面E4B的法向量的夹角的余弦的绝对值，由图观察得出二面角尸-4B-P是锐角，进而

求出二面角F-AB-P的余弦值.

10.答案：解：(1)证明：因为平面PAD1平面4BCD,平面PADn平面力BCD=4D,

ABu平面月BCD,ABLAD,所以SB_L平面PAD,

又PDu平面PAD,所以PD1AB,

又PD1.BM,ABCiBM=B,所以PD_L平面

4Mu平面所以P0J.4M；

(2)取AD中点O,以O为坐标原点，分别以耐，荏，声方向为x,y,z轴正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系，

设。P=a,则有B(l,2,0),C(-l,2,0),。(-1,0,0),P(0,0,a),

可得面=(2,0,0)，丽=(0,—2,0)，CP=(l,-2fa^

设沆=01，%,Z1)为平面P8C的一个法向量，

则曙嚼二"管二；+令…则沅=(。皿2)，

设元=(%2，及*2)为平面PC。的一个法向量，

则有巧,史=°,即匚2y2：°令*2=%则元=(a,0,—1),

x

(n-CP=0(2-2y2+az2=0

因为粤=?，可得=包,

|m||n|5Va2+4Va2+l5

解得a=1,所以4P=V1+1=A/2.

解析：本题主要考查面面垂直的性质，空间中直线与直线垂直的判定，以及利用空间向量求二面角

的余弦值，属于中档题.

(1)由面面垂直可得PO14B,结合PDJ.BM,可证明PO_L平面ABM,进而可得PO_L4M.

(2)以近，四，声方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，设OP=a,求出平面PBC和平面

PCC的法向量，根据二面角的余弦值为-早建立等式求出a的值，即可求出AP的长.

11.答案：解：(1)连接BQ,易知四边形4BG5为平行四边形，

所以他〃BC「

又因为CE=CF=2,所以EF//BC],

所以ADi//EF,

故4、E、尸、点共面.

(2)连接QE,DrE,

所求几何体可分成一个三棱锥E-40/和一个四棱锥E-CDDyF,

所求几何体的体积为

7=lxlx6x6x6+ixlx(2+6)x6x2=52.

解析：本题考查了平面的基本性质及应用、棱锥体积的运算，属于基础题.

(1)证得4Di〃EF,即可得A、E、F、5点共面；

(2)由连接OE,DiE,所求几何体的体积分成一个三棱锥E-ADDi和一个四棱锥E-CDQF,可得

答案.

12.答案：证明：如图示，连接SP,S。并延长，分别交A。，BC于点M,N,连接MM

­.1P,。分别为△SAD,ZkSBC的重心，

M,N分别为A。，8c的中点，故OWMN,

由棱锥的性质，知点S,M,N不共线，故确定一个平面SMN,

故MNu平面SMN,0C平面SMN,

又P6SM,QGSN,SMu平面SMN,SNu平面

SMN,

故P€平面SMN,QC平面SMN,

故S,P,O,。四点共面.

解析：本题考查了线面关系，点线关系以及四点共面问题，考查数形结合思想，属于中档题.

连接SP,S。并延长，分别交AQ,BC于点、M,N,连接MN,结合线面，点线关系证明即可.

13.答案：(1)证明：如图，连接EOi，延长EOi交圆01于点G,连接G旦

因为。为£尸的中点，。1为EG的中点，

所以。01〃FG.

由圆柱的性质可知，AD1则401FG.

因为E尸1AD,且EFCFG=F,EF,EGu平面EFG,

所以AD，平面EFG,且EOiu平面EFG,

则4D1EOi，又因为AO】=0避,

所以AE=DE.

(2)解：由(1)可知BF=CF,且F为圆。2上的点,

所以ABCF为等腰直角三角形，BFLCF,所以FG，圆。2所在的平面.

所以以F为坐标原点，FC,FB，府的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系

Fxyz,

设BF=1,则尸(0,0,0),4(0,1,V2),0(1,0,段),£(1,1,伪,DE=(0,1,0)，FD=(1,0,72)，

评=(0,1,我).

设平面OE/7的一个法向量为元=(x,y,z),

由仔.匹=0,得厂*

(n-FD=0,1%+V2z=0,

令z=-l,则方=(企,0,-1),

所以cos〈君同〉=需篇

73x73

所以直线AF与平面OEF所成角的正弦值为号.

解析：本题主要考查等腰三角形三线合一以及直线与平面所成角，属于较难题.

(1)先构建辅助线，通过证明4。，平面EFG来得到A。1Et\并4。1为EG的中点，进而得到4E=DE.

(2)构建空间直角坐标系，求出平面OEf1的一个法向量，进而求出直线AF与平面DEF所成角的正

弦值.

14.答案:证明：⑴：E,H分别是边48,AD的中点,

EH/1BD,且EH=gBD,

又.."=丝=工

CBCD3'

FGI/BD,且FG=：BD,

因此E”〃尸G且EHHFG,

故四边形EFGH是梯形.

(2)由(1)知，EF,HG相交，

设EFnHG=K,

vKeEF,EFu平面ABC,

•••Ke平面ABC,

同理Ke平面ACD,

又平面ABCn平面acn=AC,Ke力c,

故£尸和GH的交点在直线AC上.

所以AC,EF,GH三条直线相交于同一点.

K

解析：本题重点考查空间中线线位置关系和平面的基本性质及应用，属于一般题.

(1)通过求证E”〃FG月为HHFG,即可求证四边形EFGH是梯形；

(2)由(1)知，EF,4G相交，设EFC"G=K,通过求证K€4C,即可求证AC,EF,GH三条直线

相交于同一点.

15.答案：证明：在菱形ABC。中，Z-BAD=l，

为等边三角形.

又•••。为A。的中点，

•••OBLAD.

■■■AD//BC,

OB1BC.

•••PO，底面ABCD,BCu平面ABCD,

OP1BC.

■■■OPCOB=0,OP,OBu平面POB,

BCJL平面POB.

•••M是棱P8上的点，

•••OMu平面POB.

，BC1OM.

(2)解：vPOUKffiABCDtOBLAD,

二建立如图所示空间直角坐标系。-xyz,设。4=1,则。2=。8=V3.

0(0,0,0),4(1,0,0),B(0,V3,0),C(-2,遮,0),P(0,0,V3)，

0C=(-2,V3,0).

由PM=|PB,

得OM=OP+|PB=(0,9，d>

设％(X>z)是平面OMC的法向量,

-m=0徂/3y+2z=0,

<m=0'(2x-V3y=0,

令y=2,则x-y/3,z——3,则理(旧,2,-3).

又♦.•平面POB的法向量为记=(1,0,0),

/—一、\mn\y/3y/3

：•cos>=——；=「，=—.

<ZTH,n|m||n|,3+4+94

由题知，二面角B-OM-C为锐二面角,

所以二面角B-OM-C的余弦值为心.

4

解析：本题考查线线垂直的证明及空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、

运算求解能力及方程思想，属于中档题.

(1)由底面ABC。是菱形,4氏4。=；,可得AABO为等边三角形，再加上点。是AO中点可证。B14D,

进而可得。B1BC,再由P。！底面A8CD,可得OP1BC,结合线面垂直的判定定理及性质定理，

即可求证所求证；

(2)由题意及(1)可以，以点。为原点，。408,02所在的直线分别为％%2轴，建立空间直角坐标系，

再利用向量法即可求解.

16.答案：解：(1)证明：

ACnBD=P,nEF=Q,

•••PQ是平面BDEF和平面441GC的交线，

•••AiC交平面EFB。于点R,

R是平面BDEF和平面4&GC的一个公共点，

•••两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，

••.P,Q,R三点共线.

(2)存在点M为AP中点，使平面当。1"〃平面EFBD.

证明如下：取AO中点G,AB中点H,连接GH,交AC于点〃，连接％G,BrH,如图:

由题意得，GH//EF,因为GHu平面GHBWi，EFC平面GHB/i，

所以EF〃平面GHB1。

因为同理可证，DE〃平面GHBiA，

又因为EFCDE=E,EF,DEu平面BDEF,

由面面平行的判定定理可得，

••・平面〃平面BDEF,

.••线段AC上存在点使得平面当。1"〃平面