2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省泰安市肥城市2024届高三上学期9月月考数学试题一､选择题1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，因为，所以，因为，，所以，所以，故选：C.2.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，.故选：B.3.已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为向量与共线，所以存在唯一实数，使，即，所以，因为向量是平面内的一组基底，所以，解得，，故选：D.4.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：，解得：，即或，根据二次函数及复合函数的性质可知，的单调递增区间为：.故选：C.5.已知椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得离心率为，又，所以，故选：A.6.已知圆与圆相交于两点，其中点是坐标原点，点分别是圆与圆的圆心，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示：过点,作,因为，则为线段的中点，联立，两式相减得，故直线的方程为，又化为，故,,则点到直线的距离为，则,则中，故选：7.设数列前项和为，设甲：是等差数列；乙：对于所有的正整数，都有.则（）A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件〖答案〗A〖解析〗若是等差数列，则，且，两式相加可得，即，所以，故充分性满足；若数列的前项和为，且，当时，，整理可得，则，两式相减可得，化简可得，所以是等差数列，故必要性满足；所以是等差数列是对于所有的正整数，都有的充要条件.故选：A.8.锐角满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗又是锐角，，而在单调递增，故，因此.故选：B.二､多选题9.一组样本数据由个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则（）A.两组样本数据的样本极差不同B.两组样本数据的样本方差相同C.两组样本数据的样本中位数相同D.两组样本数据的样本平均数可能相同〖答案〗ACD〖解析〗AC选项，设个互不相同的数分别为，且，这10个数据的极差为，去掉后，新样本数据的极差为，因为，所以，A正确；这10个数据的中位数为，去掉后，新的数据从小到大为，这8个数据的中位数为，两组样本数据的样本中位数相同，C正确.BD选项，设这10个数为，平均数为，方差为，去掉后，的平均数为，方差为，两组样本数据的样本平均数相同，D正确，两组样本数据的样本方差不同，B错误；故选：ACD.10.在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（）A.天狼星的星等大约是南极星星等的倍B.太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是C.天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是D.天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是〖答案〗AC〖解析〗设太阳的星等与亮度为、，天狼星的星等与亮度为、，南极星的星等与亮度为、，由题意可知，，，对于A，，则A选项正确；对于B，由得，，所以，即太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是，则B选项错误；对于C，由得，，所以，即天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是，则C选项正确；对于D，由得，，所以，即天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是，则D选项错误；故选：AC.11.已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（）A.的最小值是，最大值是 B.的周期为C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由于，所以图象关于直线对称，由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称，所以是周期为的周期函数，B选项正确.当时，，当时，，所以，当时，的开口向上，对称轴为，所以，根据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，A选项正确.，C选项错误.，，所以，D选项正确.故选：ABD.12.下列几何体中，可完全放入一个半径为的球体内的是（）A.棱长为的正方体B.底面半径为，高为的圆锥C.棱长为的正四面体D.底面边长为，高为的正四棱锥〖答案〗ABD〖解析〗对A，棱长为2的正方体，其外接球的直径等于体对角线长，即，，所以棱长为2的正方体可以完全放入半径为2的球内，故A正确；对B，如图，可得，解得，，所以底面半径为1，高为的圆锥可以完全放入半径为2的球内，故B正确；对C，将正四面体补形成正方体，即正四面体的外接球就是所在正方体的外接球，设正方体的棱长为，则，即，所以外接球的直径，即，所以棱长为的正四面体不可以完全放入半径为2的球内，故C错误；对D，如图，设正四棱锥外接球半径为，则有，解得，所以底面边长为2，高为的正四棱锥可以完全放入半径为2的球内，故D正确；故选：ABD.三､填空题13.现有名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这人中安排人参加，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有___________种.〖答案〗〖解析〗根据分步计数乘法法则，第一天：，第二天：，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有：种，故〖答案〗为：180.14.将半径是，圆心角是的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗设该圆锥的底面圆的半径为，高为，则，解得，所以，所以该圆锥的体积为.故〖答案〗为：15.已知函数在区间上单调递增，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则___________.〖答案〗〖解析〗因为直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，所以，可得，所以，因为函数在区间上单调递增，所以，因为，所以时，则，所以.故〖答案〗为：.16.已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗设，，则，由题意得，，，则，两边平方得，整理得，又，所以，变形得到，即上式在上有解，其中，令，则，，要想使得在上有解，只需要开口向上，即，即，所以，，解得故离心率的取值范围是.故〖答案〗为：.四､解答题17.的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若是上一点，，求的面积.解：（1）在中，由余弦定理得，所以.由正弦定理，得.（2）因为，所以，C为锐角，由，得.在中，，得，因为，所以.18.如图，四棱柱中，平面，.（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：在四棱柱中，，平面，平面，平面.平面，平面，平面.又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；（2）解：由平面，可得两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.与平面所成角为，..又，.设平面的法向量，，，所以，令，得，可得.设平面的法向量，，所以，令，得，可得.因为，所以平面与平面夹角余弦值为.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（1）解：函数的定义域是，可得.当时，可知，所以在上单调递增；当时，由得，可得时，有，时，有，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当时，上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：当时，要证成立，只需证成立，只需证即可.因为，由（1）知，.令，则，可得时，有；时，有，所以在上单调递减，在上单调递增，可知，则有，所以有，所以当时，成立.20.记为数列的前项和，已知，.（1）求通项公式；（2）令，证明：.（1）解：由题意得：，所以，即.又，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以，两式相减得，即，所以，因此的通项公式为.（2）证明：由（1）可得：，.因为.则，所以.21.甲､乙两个不透明的袋子中都有大小､形状､质地相同的个红球和个黑球.从两个袋中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲袋中黑球个数为，甲袋中恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为.（1）求的分布列；（2）求的通项公式；（3）求的数学期望.解：（1）由题意可知，的可能取值为，所以，，，所以的分布列为：（2）由全概率公式可知：，所以，即，可得，又因为，可得，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即.（3）由全概率公式得：，所以，又因为，则，所以，又因为，则，所以，即，所以.22.在直角坐标系中，动圆过定点，且与定直线相切，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知正方形有三个顶点在上，求正方形面积的最小值.解：（1）设点坐标为，则由题意得：，整理得：，即的方程为.（2）如图，不妨设三个顶点中有两个在轴右侧（包括轴），且设､､三点的坐标分别为､､，的斜率为，则有，.又､､三点在抛物线上，所以，，，代入上面两式得：，.由于，即，所以，，所以，，所以，，且有.所以正方形边长为.当且仅当时，即点为原点时等号成立.所以正方形面积的最小值为.山东省泰安市肥城市2024届高三上学期9月月考数学试题一､选择题1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，因为，所以，因为，，所以，所以，故选：C.2.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，.故选：B.3.已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为向量与共线，所以存在唯一实数，使，即，所以，因为向量是平面内的一组基底，所以，解得，，故选：D.4.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：，解得：，即或，根据二次函数及复合函数的性质可知，的单调递增区间为：.故选：C.5.已知椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得离心率为，又，所以，故选：A.6.已知圆与圆相交于两点，其中点是坐标原点，点分别是圆与圆的圆心，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示：过点,作,因为，则为线段的中点，联立，两式相减得，故直线的方程为，又化为，故,,则点到直线的距离为，则,则中，故选：7.设数列前项和为，设甲：是等差数列；乙：对于所有的正整数，都有.则（）A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的必要条件但不是充分条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件〖答案〗A〖解析〗若是等差数列，则，且，两式相加可得，即，所以，故充分性满足；若数列的前项和为，且，当时，，整理可得，则，两式相减可得，化简可得，所以是等差数列，故必要性满足；所以是等差数列是对于所有的正整数，都有的充要条件.故选：A.8.锐角满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗又是锐角，，而在单调递增，故，因此.故选：B.二､多选题9.一组样本数据由个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则（）A.两组样本数据的样本极差不同B.两组样本数据的样本方差相同C.两组样本数据的样本中位数相同D.两组样本数据的样本平均数可能相同〖答案〗ACD〖解析〗AC选项，设个互不相同的数分别为，且，这10个数据的极差为，去掉后，新样本数据的极差为，因为，所以，A正确；这10个数据的中位数为，去掉后，新的数据从小到大为，这8个数据的中位数为，两组样本数据的样本中位数相同，C正确.BD选项，设这10个数为，平均数为，方差为，去掉后，的平均数为，方差为，两组样本数据的样本平均数相同，D正确，两组样本数据的样本方差不同，B错误；故选：ACD.10.在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（）A.天狼星的星等大约是南极星星等的倍B.太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是C.天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是D.天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是〖答案〗AC〖解析〗设太阳的星等与亮度为、，天狼星的星等与亮度为、，南极星的星等与亮度为、，由题意可知，，，对于A，，则A选项正确；对于B，由得，，所以，即太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是，则B选项错误；对于C，由得，，所以，即天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是，则C选项正确；对于D，由得，，所以，即天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是，则D选项错误；故选：AC.11.已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（）A.的最小值是，最大值是 B.的周期为C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由于，所以图象关于直线对称，由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称，所以是周期为的周期函数，B选项正确.当时，，当时，，所以，当时，的开口向上，对称轴为，所以，根据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，A选项正确.，C选项错误.，，所以，D选项正确.故选：ABD.12.下列几何体中，可完全放入一个半径为的球体内的是（）A.棱长为的正方体B.底面半径为，高为的圆锥C.棱长为的正四面体D.底面边长为，高为的正四棱锥〖答案〗ABD〖解析〗对A，棱长为2的正方体，其外接球的直径等于体对角线长，即，，所以棱长为2的正方体可以完全放入半径为2的球内，故A正确；对B，如图，可得，解得，，所以底面半径为1，高为的圆锥可以完全放入半径为2的球内，故B正确；对C，将正四面体补形成正方体，即正四面体的外接球就是所在正方体的外接球，设正方体的棱长为，则，即，所以外接球的直径，即，所以棱长为的正四面体不可以完全放入半径为2的球内，故C错误；对D，如图，设正四棱锥外接球半径为，则有，解得，所以底面边长为2，高为的正四棱锥可以完全放入半径为2的球内，故D正确；故选：ABD.三､填空题13.现有名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这人中安排人参加，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有___________种.〖答案〗〖解析〗根据分步计数乘法法则，第一天：，第二天：，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有：种，故〖答案〗为：180.14.将半径是，圆心角是的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗设该圆锥的底面圆的半径为，高为，则，解得，所以，所以该圆锥的体积为.故〖答案〗为：15.已知函数在区间上单调递增，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则___________.〖答案〗〖解析〗因为直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，所以，可得，所以，因为函数在区间上单调递增，所以，因为，所以时，则，所以.故〖答案〗为：.16.已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗设，，则，由题意得，，，则，两边平方得，整理得，又，所以，变形得到，即上式在上有解，其中，令，则，，要想使得在上有解，只需要开口向上，即，即，所以，，解得故离心率的取值范围是.故〖答案〗为：.四､解答题17.的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若是上一点，，求的面积.解：（1）在中，由余弦定理得，所以.由正弦定理，得.（2）因为，所以，C为锐角，由，得.在中，，得，因为，所以.18.如图，四棱柱中，平面，.（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：在四棱柱中，，平面，平面，平面.平面，平面，平面.又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；（2）解：由平面，可得两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.与平面所成角为，..又，.设平面的法向量，，，所以，令，得，可得.设平面的法向量，，所以，令，得，可得.因为，所以平面与平面夹角余弦值为.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（1）解：函数的定义域是，可得.当时，可知，