高中数学试题：第39讲 圆的方程

第39讲圆的方程

项目一知识概要

1.圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.

2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.

3.圆的标准方程

(九一a)2+(y—匕)2=产(y>0),其中(小为圆心,为半径.

4.圆的一般方程

了2+)2+6+»，+尸=0表示圆的充要条件是。2+£2—4Q0,其中圆心为(一夕

半径，=5+?4F

5.确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a,Ar或3、E、尸的方程组；

(3)解出a、b、r或。、E、F代入标准方程或一般方程.

6.点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种.

圆的标准方程(x—a)2+(y—6)2=户，点A/(xo，州)

(1)点在圆上：(心一〃)2+(泗一份2=户；

(2)点在圆夕卜：5)一”)2+(泗一。)2>产；

(3)点在圆内：5)—〃)2+(如一切2〈产.

项目二例题精讲

任务一求圆的方程问题

【例1】根据下列条件，求圆的方程：

(1)经过尸(一2,4)、Q(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；

(2)圆心在直线y=-4x上，且与直线/：x+y—1=0相切于点P(3,—2).

分析(1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解.

(2)求圆心和半径，确定圆的标准方程.

解析(1)设圆的方程为好+炉+6+或+尸=0,

将P、。两点的坐标分别代入得

2D-4E-F=20,①

3D-E+F=-10.②

又令y=0,得/+£>x+F=O.③

设XI,X2是方程③的两根，

由比一刈=6有£)2一4尸=36,④

由①、②、④解得£>=-2,E=-4,尸=-8,或。=-6,E=-8,尸=0.

故所求圆的方程为

x2+y2—2x-4y—8=0,或炉+y2-6x-8y=0.

(2)方法一如图，设圆心(xo,-4x0),依题意得竽一*~=1.

3—xo

...xo=l,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2小,

故圆的方程为(工一1>+。+4)2=8.

方法二设所求方程为(x—沏)2+。一州)2=产，

〃yo=-4xo,

(3—xo)2+(—2—yo)2=r2

根据已知条件得，f

Wo+yo-1|

1»

解得，死=一4,

,r=2y[2.

因此所求圆的方程为(X—1>+。+4)2=8.

评注求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种

方法:

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三

个性质：

①圆心在过切点且垂直切线的直线上；

②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.

任务二与圆有关的最值问题

【例2】已知实数x、y满足方程/+丁一以+1=0.求：

(11的最大值和最小值;

(2)y—x的最小值；

(3田+)2的最大值和最小值.

分析显然实数x,y所确定的点在圆/+)2—4犬+1=0上运动，而:则可看成是圆上的

点与原点连线的斜率，y—x可以转化为截距，炉+产可以看成是圆上点与原点距离的平

方.

解析(1)如图，方程/+产-4工+1=0表不以点(2,0)为圆心，以小为

半径的圆.

设即y=kx,

则圆心(2,0)到直线y=fcv的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最

大、最小值.

.\2k—0|l.

由解得好=3,

y炉+1

••^max=,%min=—

(也可由平面几何知识，得OC=2,CP=巾，NPOC=60。，直线OP的倾斜角为60。，

直线OP'的倾斜角为120。)

(2)设y—x=6,则y=x+6,仅当直线y=x+6与圆切于第四象限时，截距b取最小值，

由点到直线的距离公式，

得《寺臼=立,即6=一2±^,

故(y_x)min=—2—yf6.

(3)/+)2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC,

与圆交于B点，并延长交圆于C',则

(3+V)1rax=|OC'F=(2+#)2=7+4小，

(f+y2)min=|OBF=(2一小)2=7-4小.

评注把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及

转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：⑴形如广三的最值问

题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如f=ar+6)，的最值问题，可转化为动直线

裁距的最值问题：(3)形如m—(x—a)2-\-(y—b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方

的最值问题.

任务三与圆有关的轨迹问题

【例3】设定点M(—3,4),动点N在圆/+产=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边

形M0NP,求点P的轨迹.

分析结合图形寻求点P和点M坐标的关系，用相关点法(代入法)解决.

解析如图所示，设P（x,y），Mxo，y。）,则线段OP的中点坐标为你夕，

线段MN的中点坐标为停展，空）由于平行四边形的对角线互相

平分，

元（）-3yy（）+4

%=2，2=2,

沏=元+3

从而

yo=y-4

N（X+3,y—4）在圆上，故（x+3）2+（y—4）2=4.

因此所求轨迹为圆：（x+3）2+（y-4>=4,

但应除去两点（一,，5和（一芥高（点P在直线OM上的情况）.

评注求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

②定义法：根据圆、直线等定义列方程.

③几何法：利用圆的几何性质列方程.

④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

任务四利用方程思想求解圆的方程问题

【例4】已知圆/+丫2+五一6丁+机=0和直线工+2），一3=0交于P,。两点，且。P_LO。（。为

坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

分析（1）求圆心及半径，关键是求利

（2）利用。P，。。，建立关于团的方程求解.

（3）利用无］无2+8）；2=0和根与系数的关系或利用圆的几何性质.

解析方法一将犬=3—2y,

2

代入方程x+）P+x—6y+m=09

得5）2—2Qy+12+m=0.

设P（xi,yi）,2（X2,竺），则〉】、以满足条件：

12+/H

yi+>2=4,y\y2=-.

VOPA.OQ,.,・加］2+>?1>?2=0.而尤1=3—2》］,X2=3—2y2.

—27+4加

AX|X2=9—6（yi+丁2）+钿”=-------,

,,—27+4/w,12+机“/口

故§+§-0,解传〃/=3,

此时/>0,圆心坐标为（一/3）,半径r=|.

方法二如图所示，设弦PQ中点为M,

'：OtM±PQ,:.kO\M=2.

.♦.OiM的方程为y-3=2（x+；）,

即y=2x+4.

y=2x+4

由方程组,

x+2y—3=0

解得M的坐标为（一1,2）.

则以PQ为直径的圆可设为（x+1A+°，-2>=R

-JOPVOQ,...点。在以PQ为直径的圆上.

...（0+1）2+（0—2）2=凡即户=5,|MQ2=产

在RtAOiA/g中，|。|。|2=|。|用|2+|何。|2.

〃？一

1+（-64）2-4=（C一]1+,）+,（3-2）2+5.

.".m=3.

二半径为|,圆心坐标为（一；，3）

方法三设过尸、。的圆系方程为

/+,2+1—6y+/n+2(x+2y-3)=0.

由OP,OQ知，点0(0,0)在圆上.

Azn—32=0,即m=32.

.••圆系方程可化为

/+,2+工—6y+3A+xx+2xy—32=0.

即x2+(1+x)x+y2+2(A—3)y=0.

...圆心《一空中)，

又圆心在尸。上.

1+2

/.——2—+2(3—A)—3=0,

/•A=1,A??=3.

圆心坐标为（一/3）,半径为方

评注（1）在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，

简化思路，简便运算.

（2）本题中三种解法都是用方程思想求加值，即三种解法围绕“列出〃?的方程”求〃,值.

（3）本题的易错点：不能正确构建关于根的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误.

项目三感悟提高

1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，

是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.

2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.

3.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方

程.

4.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不

存在的情况.

项目四冲刺必练

A组专项基础训练

(时间：40分钟)

一、选择题

1.设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a—1产=0，若0<a<l,则原点与圆的位置关系是()

A.原点在圆上B.原点在圆外

C.原点在圆内D.不确定

答案B

解析将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+&+l)2=2a,

因为所以(0+。)2+(0+1)2—2°=3—1)2>0,

即:(0+a)?+(0+1)2>V%,所以原点在圆外.

2.若圆广+产一2"+3外=0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b=0一定不经过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

则a<0,fr>0.直线y=—2=一［>0，一

直线不经过第四象限.

3.圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()

A./+卬-2)2=1B.x2+(y+2)2=l

C.(x—l)2+(y—3)2=lD.r+。-3)2=1

答案A

解析设圆心坐标为(0,h),则由题意知

^/(0-1)2+(6-2)2=1,解得6=2,

故圆的方程为N+(y—2)2=l.

4.点尸(4,一2)与圆/+>2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=l

B.(x-2)2+G+1)2=4

C.(x+4)2+(j—2/=4

D.(x+2)2+(y-1尸=1

答案A

解析设圆上任一点坐标为(xo,yo),

x8+)6=4,连线中点坐标为(x,y),

(2x=xo+4fxo==4

则<n{,

[2y—yo-2[yo—2y+2

代入而+M=4中得。-2)2+。+1)2=1.

17

5.若直线ar+2by—2=0(a>0,比>0)始终平分圆N+y2—4x—2y—8=0的周长，则工+g的最

小值为)

A.1B.5C.472D.3+2也

答案D

解析由题意知圆心C(2,l)在直线公+2制-2=0上，

：.2a+2b-2=0,整理得a+6=l,

A~+l=(-+1)(a+&)=3+-+^

7

ab'ab八ab

当且仅当《=与，即匕=2—也，〃=也一1时，等号成立.

12

石的最小值为3+2也.

6.己知两点A(-l,0),8(0,2),点P是圆。—1)2+^=1上任意一点，则△1RAB面积的最大值

与最小值分别是()

A.2,；(4-小)B、(4+小)，；(4一洞

C.&4一小D.；(小+2),；(小一2)

答案B

解析如图，圆心(1,0)到直线AB：

4

2x-.y+2=0的距离为d=

44

故圆上的点P到直线4B的距离的最大值是+1,最小值是左一1,

又|AB|=小，

故面积的最大值和最小值分别是2+坐2一坐

二、填空题

7.如果直线/将圆C：。一2尸+。+3)2=13平分，那么坐标原点。到直线/的最大距离为

答案小

解析由题意，知直线/过圆心C(2,-3),

当直线OCJJ时，坐标原点到直线/的距离最大，

|。.=山2+(_3)2=寸叵

8.若方程x2+y2—2x+2my+2m2—6/n+9=0表示圆，则团的取值范围是；当半

径最大时，圆的方程为.

答案2<加<4(x-l)2+^+3)2=l

解析•.•原方程可化为(X—1)2+。+"。2=—"72+6)〃—8,

；・r2=—in2+6m—8=—(m-2)(〃?-4)>0,/.2<m<4.

当初=3时，r最大为1,圆的方程为(x—1)2+。+3)2=1.

9.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a-b的取值范围是

答案(一8,1)

解析圆的方程可化为(x+l)2+(y—2)2=5—

，其圆心为(一1,2),且5—4>0,即〃<5.

又圆关于直线y=2x+b成轴对称，

.*.2=-2+/?,.*./?=4.J.a—b—a—4<1.

10.与x轴相切，圆心在直线3x-y=o上，且被直线x—y=o截得的弦长为26的圆的方程

为.

答案。-1)2+。-3)2=9或(X+1>+0+3)2=9

解析设所求的圆的方程是。一。)2+。，一〃)2=凡

心一切

则圆心①，与到直线工一)，=0的距离为

.'市)2,即2r2=仅一份2+14,①

;所求的圆与X轴相切，，户=房.②

又•・•所求圆心在直线3x—y=o上，：.3a-b=o,③

联立①@③，解得。=1,h=3,r=9或〃=—1,b=-3,3=9.

故所求的圆的方程为(x—1)2+。-3>=9或(x+l)2+(y+3)2=9.

三、解答题

11.一圆经过A(4,2),8(—1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程.

解设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O.

令y=0,得x^~\~Dx~\~F=Q,所以Xi+x2=-D.

令x=0,得V+Ey+F=O,所以％+>2=一E

由题意知一O-E=2,即。+E+2=0.①

又因为圆过点A、8,所以16+4+4O+2E+F=0.②

l+9-Z)+3E+F=0.(3)

解①②®组成的方程组得。=一2,E=0,F=-12.

故所求圆的方程为x2+y2-2r-12=0.

12.已知圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆C的方程.

解因为圆C和直线x-6y-10=0相切于点(4,-1),

所以过点(4,一1)的直径所在直线的斜率为一；二一6,

6

其方程为y+1=—6。-4),即y=—6x+23.

又因为圆心在以(4,-1),(9,6)两点为端点的线段的中垂线)一|=一，一马,

即5x+7y—50=0上,

y=-6x+23,

由.解得圆心为(3,5),

〔5入+7），-50=0

所以半径为叱9-3>+(6—5)2=病,

故所求圆的方程为(》-3)2+&-5)2=37.

B组专项能力提升

(时间：20分钟)

1.过点尸(1,1)的直线，将圆形区域｛(x,y)*+y2W4)分为两部分，使得这两部分的面积之

差最大，则该直线的方程为()

A.x+y—2=0B.y—1=0

C.x-y=OD.x+3y—4=0

答案A

解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.

圆心。与P点连线的斜率无=1,

，过点P垂直于OP的直线方程为x+y-2=0.

2.光线从A(l,l)出发，经y轴反射到圆C：/+y2—iox—1仃+70=0的最短路程为()

A.2一1=0B.672-2C.6^2D.672-4=0

答案B

解析圆心坐标为C(5,7),半径为2,A(l,l)关于y轴的对称点为

最短路程为HC|—2=6小一2.

3.设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：/+9一2苫一2》+1=0的两条切线，

切点分别为A,B,则四边形以CB的面积的最小值为.

答案V3

解析依题意，圆C：(》-1)2+代-1)2=1的圆心是点C(l,l),半径是1,

易知|PC|的最小值等于圆心C(l,l)到直线3x+4y+3=0的距离，即日=2,

而四边形以CB的面积等于

2s△出c=2X(；为卜凶。)

=|网•|AC|=|%|=N|PCF—C

因此四边形PACB的面积的最小值是#22—1=小.

x—2y20,

4.已知。是由不等式组,'■所确定的平面区域，则圆/+V=4在区域O内的弧

长为.

答案

解析作出可行域。及圆炉+尸=4,如图所示，

图中阴影部分所在圆心角6=a一4所对的瓠长即为所求.

易知图中两直线的斜率分别为表—得tana/,tan£=一

1+1

2十3

tan0=tan(6t-0)=j1,

i--x-

123

得。=今IT得瓠长/=夕/