2024届浙江省杭金湖四校高三上学期第六次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭金湖四校2024届高三上学期第六次联考数学试题一、单选题1.已知集合，则集合有（

）个子集．A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗由题意，，所以集合有个子集．故选：C.2.已知向量与直线平行且，，则向量在向量方向上的投影向量可以是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，由直线方程，则其斜率为，由向量与直线平行，则，化简可得，由，则，化简可得：，解得，当时，则，所以，又，向量在向量方向上的投影向量为；当时，则，所以，向量在向量方向上的投影向量为；综上，可知ACD错误，B正确.故选：B.3.已知、满足，，则的实部是（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可设，，，由，，得，.即，解得或，，即的实部是.故选：B.4.函数的大致图象为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数定义域为，则，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；又，故排除D；故选：C.5.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（

）A.252 B.426 C.462 D.924〖答案〗C〖解析〗由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数，构成的数列的第项，根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的项，偶数项为每行的第项，则即第11行的第项，结合二项展开式的二项式系数的性质，可得.故选：C.6.锐角满足，则下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意由可得，即，由二倍角公式可得，即；所以，又因为锐角，可得，因此，即，所以，即.故选：A7.已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，所以，则，，则，则.故选：A.8.已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由，可得；所以；因此，所以，显然，所以，当且仅当时，等号成立；此时的最小值为.故选：C.二、多选题9.某地区高三男生的身高X服从正态分布，则（）A. B.若越大，则越大C. D.〖答案〗AC〖解析〗由题意，随机变量服从正态分布，所以，即正态分布曲线对称轴为，,A选项正确;,C选项正确;又由，则，D选项错误;若越大，则数据越分散，越不集中平均数附近，越小，B选项错误.故选：AC．10.函数，下列说法正确的是（

）A.是周期函数 B.最大值是1C.图像至少有一条对称轴 D.图像至少有一个对称中心〖答案〗BC〖解析〗A.若函数周期函数，则，那么，与有关，不是常数，故不是周期函数，故A错误；B.设，，则的最大值为1，故B正确；C.若是函数的对称轴，则，即，则，所以，，，若与无关，则，所以函数的对称轴是，故C正确；D.若是函数的对称中心，则，即，即，显然，随着的变化而变化，所以函数没有对称中心，故D错误.故选：BC11.已知，则下列命题为真命题的是（）A.的取值范围为B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗A选项，时，，所以A选项错误.B选项，表示直线在第一象限的部分，原点到直线的距离为，而直线的横截距和纵截距为，所以的取值范围为，所以B选项正确.C选项，由图可知，令，则，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以最小值为，所以，也即的取值范围为，所以C选项正确.D选项，由，得，，.故选：BCD.12.在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，，（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗平面，则平面法向量为，对，则，即，所以过点，方向向量为，所以，所以，所以，故A错误D正确.对，即，所以过点，方向向量为，点代入平面方程成立，所以与平面有公共点，故B错误；对，所以过点，方向向量为，因为，所以，所以或，但点代入平面不成立，故，所以，所以C正确.故选：CD.三、填空题13.已知函数，曲线在点处的切线方程是_______．〖答案〗〖解析〗，，，所以曲线在点处的切线方程是，即.故〖答案〗为：14.用4种不同颜色给一个正四面体涂色，每个面涂一种颜色，4个颜色都要用到，共有__________种涂色的方法．〖答案〗2〖解析〗不妨先规定其中一种颜色为底面（固定），其它面可以旋转，正四面体展开图如下：此时再涂其他三种颜色，共有种方法.故〖答案〗为：2.15.直线与直线所成夹角大小为__________．〖答案〗〖解析〗设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，两条直线夹角为，则，，则，，所以.故〖答案〗为：.16.若正四面体的棱长为3，平面ABC内有一动点P到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点P在面内的轨迹的长度为______.〖答案〗2〖解析〗设动点P到平面、平面、平面的距离分别为，因为正四面体的棱长为3，每个面的面积为，如图，取的中点，连接，过作平面，垂足为，则，所以高，所以正四面体的体积，所以.因为满足点P到平面、平面、平面的距离成等差数列，所以，所以.因为点P到平面的距离为定值，且平面平面，所以点P的轨迹是平行的线段，又为平面与平面的夹角，则，所以，即线段与的距离为，在中，，所以，即点P在面内的轨迹的长度为.故〖答案〗为：.四、解答题17.直角三角形ABC斜边上一点D满足，（1）求证:；（2）若，求角B的大小．（1）证明：∵∴∴∴∴∴；（2）解：,,,,或,因为角B为锐角，所以.18.已知数列的前项和为，满足，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前20项和.解：（1）由，得，而，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即，当时，，显然也满足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，所以.19.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.（1）证明：设线段的中点为，连接，因为，所以，又因为，所以，因为平面，所以平面，平面，所以；（2）解：过点作垂直直线于，则有，因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，所以平面ABCD，连接，因为，，所以可得，而，所以四边形是菱形，而，所以四边形是正方形，因此建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面法向量为，，同理可得平面的法向量为，，因为平面平面PBC，所以.20.随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）人数45853年龄[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）人数67354年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（1）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（2）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（3）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．解：（1）设“年龄在，的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，所以；（2）设“选中的4人中，至多有3人赞成”为事件，所以；（3）可以取值0，1，2，3所以；；；；所以X的分布列是：0123．21.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．解：（1），，椭圆经过点，，，，椭圆C的标准方程为．（2）解法一：证明：由题意可知，，设，直线的方程为，直线的方程为，联立方程组可得，可得，所以，则，故．由可得，可得，所以，则，故，所以，故直线的方程为，即，，故直线过定点，所以的周长为定值8．当时，或，可知是椭圆的通径，经过焦点，此时的周长为定值，综上可得，的周长为定值8．解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：，由．设，则有，直线，令，得，直线，令，得，所以，由，所以，即，化简得或．时直线过点（舍），所以，即直线的方程为，过定点．当直线的斜率不存在时，设其方程为：，则有，代入，直线也过定点，综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值．解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点，则直线的方程为，联立椭圆方程可得：，则可知，易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值，猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点．证明如下：依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入椭圆方程得：，设，则．直线，令，得，直线，令，得，因为，所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值．22.已知函数）.（1）讨论的单调性；（2）若时，，求实数的取值范围；（3）对任意，证明：.（1）解：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）解：记，由题知时恒成立，由得，，由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增.若，则，故在上单调递增，所以恒成立；若，则，故，由于，因此，故不能恒成立.综上得.（3）证明：由知，令，所以，即所以，故，即.浙江省杭金湖四校2024届高三上学期第六次联考数学试题一、单选题1.已知集合，则集合有（

）个子集．A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗由题意，，所以集合有个子集．故选：C.2.已知向量与直线平行且，，则向量在向量方向上的投影向量可以是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，由直线方程，则其斜率为，由向量与直线平行，则，化简可得，由，则，化简可得：，解得，当时，则，所以，又，向量在向量方向上的投影向量为；当时，则，所以，向量在向量方向上的投影向量为；综上，可知ACD错误，B正确.故选：B.3.已知、满足，，则的实部是（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可设，，，由，，得，.即，解得或，，即的实部是.故选：B.4.函数的大致图象为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数定义域为，则，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；又，故排除D；故选：C.5.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（

）A.252 B.426 C.462 D.924〖答案〗C〖解析〗由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数，构成的数列的第项，根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的项，偶数项为每行的第项，则即第11行的第项，结合二项展开式的二项式系数的性质，可得.故选：C.6.锐角满足，则下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意由可得，即，由二倍角公式可得，即；所以，又因为锐角，可得，因此，即，所以，即.故选：A7.已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，所以，则，，则，则.故选：A.8.已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由，可得；所以；因此，所以，显然，所以，当且仅当时，等号成立；此时的最小值为.故选：C.二、多选题9.某地区高三男生的身高X服从正态分布，则（）A. B.若越大，则越大C. D.〖答案〗AC〖解析〗由题意，随机变量服从正态分布，所以，即正态分布曲线对称轴为，,A选项正确;,C选项正确;又由，则，D选项错误;若越大，则数据越分散，越不集中平均数附近，越小，B选项错误.故选：AC．10.函数，下列说法正确的是（

）A.是周期函数 B.最大值是1C.图像至少有一条对称轴 D.图像至少有一个对称中心〖答案〗BC〖解析〗A.若函数周期函数，则，那么，与有关，不是常数，故不是周期函数，故A错误；B.设，，则的最大值为1，故B正确；C.若是函数的对称轴，则，即，则，所以，，，若与无关，则，所以函数的对称轴是，故C正确；D.若是函数的对称中心，则，即，即，显然，随着的变化而变化，所以函数没有对称中心，故D错误.故选：BC11.已知，则下列命题为真命题的是（）A.的取值范围为B.的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗A选项，时，，所以A选项错误.B选项，表示直线在第一象限的部分，原点到直线的距离为，而直线的横截距和纵截距为，所以的取值范围为，所以B选项正确.C选项，由图可知，令，则，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以最小值为，所以，也即的取值范围为，所以C选项正确.D选项，由，得，，.故选：BCD.12.在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，，（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗平面，则平面法向量为，对，则，即，所以过点，方向向量为，所以，所以，所以，故A错误D正确.对，即，所以过点，方向向量为，点代入平面方程成立，所以与平面有公共点，故B错误；对，所以过点，方向向量为，因为，所以，所以或，但点代入平面不成立，故，所以，所以C正确.故选：CD.三、填空题13.已知函数，曲线在点处的切线方程是_______．〖答案〗〖解析〗，，，所以曲线在点处的切线方程是，即.故〖答案〗为：14.用4种不同颜色给一个正四面体涂色，每个面涂一种颜色，4个颜色都要用到，共有__________种涂色的方法．〖答案〗2〖解析〗不妨先规定其中一种颜色为底面（固定），其它面可以旋转，正四面体展开图如下：此时再涂其他三种颜色，共有种方法.故〖答案〗为：2.15.直线与直线所成夹角大小为__________．〖答案〗〖解析〗设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，两条直线夹角为，则，，则，，所以.故〖答案〗为：.16.若正四面体的棱长为3，平面ABC内有一动点P到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点P在面内的轨迹的长度为______.〖答案〗2〖解析〗设动点P到平面、平面、平面的距离分别为，因为正四面体的棱长为3，每个面的面积为，如图，取的中点，连接，过作平面，垂足为，则，所以高，所以正四面体的体积，所以.因为满足点P到平面、平面、平面的距离成等差数列，所以，所以.因为点P到平面的距离为定值，且平面平面，所以点P的轨迹是平行的线段，又为平面与平面的夹角，则，所以，即线段与的距离为，在中，，所以，即点P在面内的轨迹的长度为.故〖答案〗为：.四、解答题17.直角三角形ABC斜边上一点D满足，（1）求证:；（2）若，求角B的大小．（1）证明：∵∴∴∴∴∴；（2）解：,,,,或,因为角B为锐角，所以.18.已知数列的前项和为，满足，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前20项和.解：（1）由，得，而，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即，当时，，显然也满足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，所以.19.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.（1）证明：设线段的中点为，连接，因为，所以，又因为，所以，因为平面，所以平面，平面，所以；（2）解：过点作垂直直线于，则有，因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，所以平面ABCD，连接，因为，，所以可得，而，所以四边形是菱形，而，所以四边形是正方形，因此建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面法向量为，，同理可得平面的法向量为，，因为平面平面PBC，所以.20.随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）人数45853年龄[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）人数67354年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（1）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（2）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（3）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．解：（1）设“年龄在，的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，所以；（2）设“选中的4人中，至多有3人赞成”为事件，所以；（3）可以取值0，1，2，3所以；；；；所以X的分布列是：012