高中数学选择性必修第一册课后练习4空间直角坐标系

课时分层作业(四)

(建议用时：40分钟)

[4组基础巩固练]

一、选择题

1.空间两点A,B的坐标分别为(x,—y,z),(―JC,—y,一z),则A,B两点的位置关

系是()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.关于z轴对称D.关于原点对称

B[纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y轴对称.]

2.已知A(l,2,-1),B(5,6,7),则直线A8与平面xOz交点的坐标是()

A.(0,1,1)B.(0,1,-3)

C.(—1,0,3)D.(—1,0,—5)

D[设直线A8与平面xoz交点坐标是M(x,y,z),则鼠=(犬一1,-2,z+1),AB=

(4,4,8),

—►―►

又AM与A8共线，

X—1=42,

：.AM=\AB,即卜2=42,

.z+1=82,

解得x=-l,z=-5,.•.点M(—1,0,-5).故选D.]

3.设A(3,3』)，仇1,0,5),C(0,l,0),贝DAB的中点M到点C的距离|CM|=()

病C53

A-VB-T

「返D逅

J22

C[M(2,I，3),\CM\=^44-(1-1)+9=^.J

_1f

4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-AB1G5的棱长为1,8山=不4山|,则BE

等于()

A.（0,-1）

B.（V，0,1）

C.（0,V，]）

D.（；,0,-1）

>>>>A>1>a>

C[{DA,DC,D/）}为单位正交向量，BE=BB\+B\E=~^DC+DD\,：.BE=

5.设｛i,j,5是单位正交基底,己知向量p在基底｛a,儿c｝下的坐标为(8,6,4),其中

a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底｛i,j,A｝下的坐标是()

A.(12,14,10)B.(10,12,14)

C.(14,12,10)D.(4,3,2)

A［依题意，知p=8a+6万+4c=8(i+力+6(/+A)+4(A+i)=12i+14/+10A,故向量p

在基底｛i,J,A｝下的坐标是(12,14,10).］

二、填空题

6.在空间直角坐标系中，已知点尸(1,也，小)，过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂

足Q的坐标为.

(0,嫄，小)［过P的垂线PQL面)，Oz,则。点横坐标为0,其余不变，故Q(0,y［2,

小).1

7.设｛ei，62>03｝是空间向量的一个单位正交基底,a=4ei—8e2+3e3，Z>=—2e1-3e2+

7e3，则a,5的坐标分别为.

(4,一8,3),(-2,-3,7)［由题意可知a=(4,—8,3),》=(一2,-3,7).］

8.如图所示，以长方体ABCQ-AiBiCi。的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直

线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若防।的坐标为(4,3,2),则AZ的坐标为

(一4,3,2)［由。8|=OA+OC+ODi,且OBi=(4,3,2),：.\DA\=4,\DC\=3,\DDt\=2,

―►—►—►―►—►

又AG=-D4+OC+g,AACi=(-4,3,2).］

三、解答题

9.已知三棱柱A8C-48G中，侧棱底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的

坐标系，并写出各点的坐标.

［解］如图所示，取AC的中点。和AiG的中点Oi,可得8OJ_AC,OOi_LAC,分别

以OB,OC,0。|所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

.•三棱柱各棱长均为1,

•Q=OC=OIG=OIAI=5，OB=2-

B,C均在坐标轴上，

"(0,-1,0),《当0,o),C(0,I，0).

••点A］与Ci在yOz平面内，

•.A(0,-1,1),Ci(0,I，1J.

.•点81在xOy平面内的射影为8,且B8i=l,

即各点的坐标为A(0,一；,0),B停，0,0),C(0,0),

0,1),c［o,I，1).

10.棱长为1的正方体ABCC-ABGOi中，E,F,G分别为棱£>。，D\C［,8c的中

点，以｛AB,AD,AAi｝为正交基底，求下列向量的坐标:

(1)AE,AF,AG；

(2)EF,EG,DG.

(l)AF=1AB+/W+AAi,

AE=AD+^AA\f

ff]f

AG=AB+^AD,

，AE=(O,1,£),AF=(j,1,1),AG=(1,I，0)

(2)EF=AF-AE=^AB+^AA[f：.EF=[^f0,d；

►>►>1►1►>(1]、AA>A1>

EG=AG-AE=AB-]A。一/4],."6=(1,—一办DG=AG-AD=AB-^AD,

：.DG=^1,0).

[6组素养提升练]

H.(多选题)下列各命题正确的是()

A.点(1,—2,3)关于平面xOz的对称点为(1,2,3)

B.点&1,—3)关于y轴的对称点为(一；，1,3)

C.点⑵一1,3)到平面yOz的距离为1

D.设｛i,灯是空间向量的单位正交基底，若，"=3i—〃+4鼠则析=(3,-2,4).

ABD[”关于谁对称谁不变”，；.A正确，B正确，C中(2,—1,3)到面yOz的距离为

2,；.C错误.根据空间向量的坐标定义，D正确.]

12.在棱长为1的正方体A8C»AIBIGZ)I中，P为正方体内一动点(包括表面)，若AP=

xAB+yAD+zAAi，且OWxWyWzWl.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是()

A.1B.2C.D-6

D[根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足

OWxWyWl的点P在三棱柱ACD-A\C\D\内；满足OWyWzWl的点P

在三棱柱AAIOI-BBICI内，故同时满足0WxWy〈l,0WyWzWl的点、P

在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A-AiG£)i,其体积是

XIX1X1='.]

13.三棱锥P-ABC中，NABC为直角，28，平面48(7,AB=BC=PB=LM为FC的

中点，N为AC的中点，以｛54,BC,BP｝为基底，则MN的坐标为

G，0,[MN=BN~BM

1ffIff

=^(BA+BQ-^(BP+BC)

=；BA—^BP,

故MN=&0,-；)]

14.已知。是坐标原点，点A(2,0,-2),3(3,1,2),C(2,T,7).

(1)若点P满足a=&+a+文，则点P的坐标为；

(2)若点P满足力=2藐一就，则点P的坐标为.

(1)(7,0,7)(2)(4,3,-3)[(1)中-=&+&+元=(2i-2A)+(3i+j+2A)+(2i—J+7A)

=7i+Q/+7A,

—►—►―►―►—►―►—►—►—►—►—►—►

，P(7,0,7).⑵中，AP=2A8-4C得。尸一O4=2OB-2OA-OC+OA,，OP=2O8-OC

=2(3i+j+2k)-(2i-j+Ik)

=4i+3/-3*,；.P(4,3,-3).]

[C组思维提升练]

15.如图，在正四棱锥尸-ABC。中，底面ABCO是边长为1的正方形，。是AC与BO的

交点，PO=\,M是PC的中点.设4B=a,AD=b,AP=c.

(1)用向量a,b,c表示BM.

(2)在如图的空间直角坐标系中，求局的坐标.

-►—>―►—►—>—>1-►-►―>—►—►—►-►

[解](1)'：BM=BC+CM,BC=AD,CM=^CP,CP=AP-AC,AC=AB+AD,

ff1fff1,1,1-*1,11

/.BM=AD+^(AP—AC)=AD+^AP—^AB+AD)=—^AB+^AD+^AP=一中+予+外.

(2)a=AB=(l,0,0),b=AO=(0,l,0).

VA(0,0,0),oQ,I，0),电,I，1),.，,c=AP=OP—OA=1,1),

/.BM=~^a+^b+1c=-1(1,0,0)+1(0,1,0)yXT413)

素养作业•提技能

A组素养自测

一、选择题

1.如图所示，正方体48c£>—AIBGOI的棱长为1,则点用的坐标是(C)

A.(1,0,0)B.(1,0,1)

C.(1,1,1)D.(1,1,0)

［解析］由坐标系可知C(l,1,1),故选c.

2.点A(0,—2,3)在空间直角坐标系中的位置是(C)

A.在x轴上B.在xOy平面内

C.在yOz平面内D.在xOz平面内

［解析1由A(0,—2,3)的x轴坐标为。可知，点4在)，Oz平面内，故选C.

3.(2021・铜陵高二检测)空间直角坐标系中，已知点尸(3,-2,—5),点。与点尸关于

Ozx平面对称，则点Q的坐标是(C)

A.(-3,2,5)B.(3,-2,5)

C.(3,2,-5)D.(—3,—2,—5)

［解析］点。与点P关于。”平面对称，则点Q为(3,2,-5),故选C.

4.在空间直角坐标系中，P(2,3,4),Q(—2,—3,—4)两点的位置关系是(C)

A.关于x轴对称B.关于yOz平面对称

C.关于坐标原点对称D.以上都不对

［解析］点P与Q,x,y,z轴均相反，故关于坐标原点对称，选C.

5.在空间直角坐标系中，已知点尸(1,巾,小)，过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂

足。的坐标为(B)

A.(0,小,0)B.(0,卷木)

C.(1,0,小)D.(1,也0)

［解析］点尸作平面yOz的垂线，则Q在平面yOz上，则Q为(0,也，小)，故选B.

二、填空题

6.点P(l,2,—1)在xOz平面内的射影为B(x,y,z),则x+y+z=0.

［解析］由题可知8(1,0,—1),则x=l,y=0,z=—1,

；.x+y+z=1+0—1—0.

7.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为(4.0,-1).

［解析］A、B中点坐标为2yA寸2)=(4,0,—1),

8.已知空间直角坐标系中三点A,B,点A与点8关于点M对称，且已知A点的

坐标为(3,2,1),M点的坐标为(4,3,1),则8点的坐标为(541).

［解析］设B(x,y,z),则

G+3

T-=4,

x=5,

Jy+2

5亍=3,解，y=4,

.z=l.

［亍z+1=1,

8(5,4,1).

三、解答题

9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体D48C—O'A'B'C的棱长为a,E,F,

G,1/分别是棱C'D',D'A',A'A,AB,BC,CC'的中点，写出正六边形

各顶点的坐标.

［解析］正方体DABC-D'A'B'C的棱长为a,且E,F,G,H,/,J分别是棱

CD',D'A',A'A,AB,BC,CC'的中点，

.,.正六边形EFG”〃各顶点的坐标为电，戏，0,，，，“，0,。H［a,0),

原,a,0),J(0,a,

10.如图所示，过正方形ABC。的中心。作。P_L平面ABC。，已知正方形的边长为2,

OP=2,连接AP,BP,CP,DP,M,N分别是A8,8c的中点，以。为原点，｛痂，ON,

；林｝为单位正交基底建立空间直角坐标系.若E,尸分别为以，P8的中点，求点A,B,

C,D,E,尸的坐标.

［解析］由题意知，点B的坐标为(1,1,0),由点A与点8关于x轴对称，得A(l,-1,0),

由点C与点B关于y轴对称，得C(—1,1,0),由点。与点C关于x轴对称，得£>(—1,

—1,0).

又尸(0,0,2),E为AP的中点，尸为尸8的中点，

所以由中点坐标公式可得

B组•素养提升

一、选择题

1.设z为任一实数，则点(2,2,z)表示的图形是(C)

A.z轴

B.与。孙平面平行的一直线

C.与Oxy平面垂直的一直线

D.O冲平面

［解析J(2,2,z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线，选C.

2.点A(l,2,-1),点C与点A关于。孙平面对称，点B与点A关于x轴对称，则诧

的坐标为(D)

A.(1,2,-1)B.(1,-2,1)

C.(0,-4,0)D.(0,4,0)

［解析］由题可知C(l,2,l),5(1,-2,1),

二前=(0,4,0),选D.

3.三棱锥「一ABC中，NABC为直角，PB_L平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的

中点，N为AC的中点，以丽，BC,而方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系

Oxyz,则向V的坐标为(B)

1

D.

21

［解析］MN=BN-BM

=(T，0,-S选B.

4.正方体4BCD—4'B'CD'的棱长为1,且BP=；BQ',建立如图所示的空间直

角坐标系，则尸点的坐标为(D)

(\11A(122\

A-&3'3；B.&3>5

(\21\(121、

C仁3-3；D.(J3-5；

［解析］本题主要考查空间直角坐标系中的点的坐标.如图所示，过P点分别作平面

xOy和z轴的垂线，垂足分别为E,H,过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F,G,

1112222

由于呼|=利。所以|£)//|=利亦|=g,|OF|=g|D4|=G，|OG|=Q|£>C|=］,所以P点的

坐标为停，1,；),故选D.

二、填空题

5.在长方体ABCO—ABiCQ中，若Q=3i,AD=2j,AAi=5k,则向量公।在基底｛i,

j,人下的坐标是(325).

［解析］ACi=AB+BC+CCl=AB+AI)+AAi=3i+2j+5k,所以向量启i在基底｛i,j,

口下的坐标是(3,2,5).

6.以棱长为1的正方体ABC。-AiBCQi的棱AB,AD,A4i所在的直线为坐标轴，建

立空间直角坐标系，则平面448山对角线交点的坐标为

［解析］如图所示,A(0,0,0),Bi(l,0,l).

平面AA^B对角线交点是线段AB,的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为

(I)d执

7.已知向量p在基底｛a,b,c｝下的坐标为(2,1,-1),则p在基底｛2a,b,—c｝下的坐

标为(1,1.1):在基底｛a+A,a-b,c｝下的坐标为_g5，.

［解析］由题意知p=2a+〃-c,

则向量p在基底｛2a,b,-c｝下的坐标为(1,1,1).

设向量p在基底｛a+b,a-b,c｝