2024届广东省七校联合体高三上学期开学第一次联考8月数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省七校联合体2024届高三上学期开学第一次联考（8月）数学试题一．单选题1.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B的子集个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}，则A∩B的子集个数为22＝4．故选：D．2.若复数满足（i是虚数单位），则的模长等于（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，，所以，则，.故选：D.3.已知向量，且，则等于（）A.5 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，解得.所以，，.故选：A.4.函数在区间上不单调，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当函数在区间上不单调，则有，即，故选：B5.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：，设，设，，点在椭圆内部，有，要想该不等式恒成立，只需，而，故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由而，，所以.故选：C7.在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要〖答案〗C〖解析〗，当时，，所以数列单调递减，故充分性成立，若数列单调递减，则，即，故必要性成立，所以是数列单调递减的充要条件.故选：C.8.已知函数（，）在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据正弦和角与差角公式化简函数式可得，（，）.根据正弦函数单调递增区间可知，（）上单调递增，化简得，；∴函数的单调增区间为，（）.∵在上单调递减，可得，解得，（）又，当时，可得；当时，可得.故选：D.二．多选题9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组〖答案〗AB〖解析〗对于A，平均数为，中位数为，故A正确；对于B，数据的众数为3，故B正确；对于C，设样本容量为x，由题知，解得，即样本容量为18，故C错误；对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误.故选：AB10.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（）A.地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级B.八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为，地震释放的能量为，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，当时，由题意得，解得，即地震里氏震级为七级．故A正确；对于B,八级地震即时，由，解得，所以．故B不正确；对于C，六级地震即时，由，解得，所以，即八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍．故C正确；对于D，由题意得，则．故D正确.故选：ACD.11.若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；对于B，定义域为R，又，故为奇函数，又在R上单调递减，满足要求，B正确；对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；对于D：，，所以是奇函数；根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.故选：BD12.已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成角为B.点到平面的距离为C.四面体的外接球体积为D.动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆〖答案〗BC〖解析〗取中点,连接,可得面,则,故A错误；在四面体中，过点作面于点,则为为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B正确；设为正四面体的中心则为内切球的半径，为外接球的半径，因为，所以，即,所以四面体的外接球体积,故C正确；建系如图：,设，则因为，所以，即，平方化简可得：，可知点的轨迹为双曲线,故D错误.故选：BC．三．填空题13.某医院传染病科室有5名医生．4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生．2名护士，则不同的选取方法有______种．〖答案〗〖解析〗符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士．选取名医生、名护士的方法有：种；选取名医生、名护士的方法有：种；综上所述：满足题意的选取方法共有种．故〖答案〗为：.14.在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则__________．〖答案〗〖解析〗由题意，延长线段与的延长线交于点，连接交于，连接，故平面延展开后即为平面，将该正方体分成两部分一部分是三棱台，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨设正方体棱长为3，，，即.故〖答案〗：.15.已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．〖答案〗(0,1)∪(1,4)〖解析〗y＝函数y＝kx－2的图象恒过定点M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.k＝1时，直线y＝kx－2在x＞1或x≤－1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点．16.已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．〖答案〗〖解析〗建立如图所示的直角坐标系，由，可设，，得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）．因为是的角平分线，且，所以也为的角平分线，为的内心．如图，设，则由双曲线与内切圆的性质可得，，又，所以，，在上的投影长为，则在上的投影向量为，故〖答案〗为：四．解答题17.已知锐角的内角的对边分别为，．（1）求；（2）若，求面积的取值范围．（1）解：由正弦定理可得，又由，因为，可得，因为，可得，所以，又因为，所以；（2）解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，因为，所以，由三角形面积公式得，又由正弦定理且，所以，因为，所以，所以，所以，即面积的取值范围为．18.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?（1）证明：[方法一]：几何法因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则．又因为，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．，．由题设（）．因为，所以，所以．[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．（2）解：[方法一]【最优解】：向量法设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时．[方法二]：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．设，过作交于点G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．则，所以，当时，．[方法三]：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．设，在中，．在中，，过D作的平行线交于点Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．19.设为实数，函数，．（1）求的极值；（2）对于，，都有，试求实数取值范围．（1）解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.（2）解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.20.记为等差数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：.21.已知椭圆焦距为2，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则，又由椭圆经过点，代入得，解得，所以椭圆的方程为．（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令，由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，联立方程组，整理得，则，设，，且，设存在点，设点坐标为，由，可得，又因为，所以，所以，所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，则，所以，所以，整理得，即，即，解得，符合题意，即存在点满足题意．22.规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：1234523298604020求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；（3）证明：．附：经验回归方程系数：，；参考数据：，，（其中，）．（1）解：由题知，的取值可能为1，2，3,所以；；；所以的分布列为：123所以数学期望为.（2）解：令，则，由题知：，，所以，所以，，故所求的回归方程为：，所以，估计时，；估计时，；估计时，；预测成功的总人数为.（3）证明：由题知，在前轮就成功的概率为又因为在前轮没有成功的概率为，故.广东省七校联合体2024届高三上学期开学第一次联考（8月）数学试题一．单选题1.已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B的子集个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}，则A∩B的子集个数为22＝4．故选：D．2.若复数满足（i是虚数单位），则的模长等于（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，，所以，则，.故选：D.3.已知向量，且，则等于（）A.5 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，解得.所以，，.故选：A.4.函数在区间上不单调，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当函数在区间上不单调，则有，即，故选：B5.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：，设，设，，点在椭圆内部，有，要想该不等式恒成立，只需，而，故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由而，，所以.故选：C7.在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要〖答案〗C〖解析〗，当时，，所以数列单调递减，故充分性成立，若数列单调递减，则，即，故必要性成立，所以是数列单调递减的充要条件.故选：C.8.已知函数（，）在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据正弦和角与差角公式化简函数式可得，（，）.根据正弦函数单调递增区间可知，（）上单调递增，化简得，；∴函数的单调增区间为，（）.∵在上单调递减，可得，解得，（）又，当时，可得；当时，可得.故选：D.二．多选题9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组〖答案〗AB〖解析〗对于A，平均数为，中位数为，故A正确；对于B，数据的众数为3，故B正确；对于C，设样本容量为x，由题知，解得，即样本容量为18，故C错误；对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是甲组，故D错误.故选：AB10.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（）A.地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级B.八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为，地震释放的能量为，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，当时，由题意得，解得，即地震里氏震级为七级．故A正确；对于B,八级地震即时，由，解得，所以．故B不正确；对于C，六级地震即时，由，解得，所以，即八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍．故C正确；对于D，由题意得，则．故D正确.故选：ACD.11.若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由（1）可知，为奇函数，由（2）可知，在定义域内为单调递减函数，对于A，定义域为R，又，故为偶函数，故A错误；对于B，定义域为R，又，故为奇函数，又在R上单调递减，满足要求，B正确；对于C，分别在区间和上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；对于D：，，所以是奇函数；根据二次函数的单调性，易知在和都是减函数，且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.故选：BD12.已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（）A.异面直线与所成角为B.点到平面的距离为C.四面体的外接球体积为D.动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆〖答案〗BC〖解析〗取中点,连接,可得面,则,故A错误；在四面体中，过点作面于点,则为为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B正确；设为正四面体的中心则为内切球的半径，为外接球的半径，因为，所以，即,所以四面体的外接球体积,故C正确；建系如图：,设，则因为，所以，即，平方化简可得：，可知点的轨迹为双曲线,故D错误.故选：BC．三．填空题13.某医院传染病科室有5名医生．4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生．2名护士，则不同的选取方法有______种．〖答案〗〖解析〗符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士．选取名医生、名护士的方法有：种；选取名医生、名护士的方法有：种；综上所述：满足题意的选取方法共有种．故〖答案〗为：.14.在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则__________．〖答案〗〖解析〗由题意，延长线段与的延长线交于点，连接交于，连接，故平面延展开后即为平面，将该正方体分成两部分一部分是三棱台，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨设正方体棱长为3，，，即.故〖答案〗：.15.已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．〖答案〗(0,1)∪(1,4)〖解析〗y＝函数y＝kx－2的图象恒过定点M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.k＝1时，直线y＝kx－2在x＞1或x≤－1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点．16.已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．〖答案〗〖解析〗建立如图所示的直角坐标系，由，可设，，得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）．因为是的角平分线，且，所以也为的角平分线，为的内心．如图，设，则由双曲线与内切圆的性质可得，，又，所以，，在上的投影长为，则在上的投影向量为，故〖答案〗为：四．解答题17.已知锐角的内角的对边分别为，．（1）求；（2）若，求面积的取值范围．（1）解：由正弦定理可得，又由，因为，可得，因为，可得，所以，又因为，所以；（2）解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，因为，所以，由三角形面积公式得，又由正弦定理且，所以，因为，所以，所以，所以，即面积的取值范围为．18.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?（1）证明：[方法一]：几何法因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则．又因为，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．，．由题设（）．因为，所以，所以．[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．（2）解：[方法一]【最优解】：向量法设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时．[方法二]：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．设，过作交于点G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．则，所以，当时，．[方法三]：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．设，在中，．在中，，过D作的平行线交于点Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．19.设为实数，函数，．（1）求的极值；（2）对于，，都有，试求实数取值范围．（1）解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.（2）解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，