新教材人教A版高中数学 选择性必修第一册训练：空间角度与距离归类 分层练习题含答案解析

空间角度与距离归类

基础过关练..................................................................1

能力提升练.................................................................7

培优拔尖练.................................................................13

基础过关练

(1)证明：〃平面PCD

(2)若尸。，平面ABC。，ZADC=120,且PD=2AD=4,求直线AP与平面。斯所成角的正弦

值.

【答案】⑴证明见解析⑵生竺

35

【分析】(1)取尸。的中点G,连接CG,EG,则由三角形中位线定理可得EGHAD,EG=^AD,

再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得EF//CG.然后由线面平行

的判定定理可证得结论，

(2)由已知可得尸两两垂直，所以以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz,然后利用空间向量求解即可

⑴证明：取P。的中点G,连接CG,EG,因为E,尸分别为必，8c的中点，所以

EG//AD,EG==AD,

2

又底面ABC。为菱形，所以CF//A£>,CF=gAO,所以EG//CF,EG=CF,所以四边形EGCT

为平行四边形，

所以EF//CG.又CGu平面PCDEFu平面PCD,所以£77/平面PCD

(2)解：连接8£>,因为PO_L平面ABC。，。居D4u平面ABC。，所以J_。尸,RD-L,

因为四边形ABC。为菱形，ZADC=120,所以为等边三角形，因为尸为BC的中点,

所以DF_L3C,因为BC〃/M,所以DR_LD4,所以。尸,D4,OP两两垂直，

所以以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz.

因为AD=PD=2,所以。(0,0,0),F(6,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),

则DE=(0,1,2),DF=(百,0,0),AF=(^3,-2,0).设平面DEF的法向量根=(x,y,z),则

m-DE=y+2z=0/一一、、

,令z=l,得加=(0,-2,1).设直线A尸与平面。EP所成的角为0,则

,\!1祖.4小I=|4|=4届

sin。=cos(m,AF

\m\\AF\~y/5xy/l~35

所以直线Ab与平面。环所成角的正弦值为肾吧

35

2.在直三棱柱ABC-A与G中，E,尸分别是AC,A修的中点.

B

⑴求证：E尸〃平面BB©C；

(2)若ABLAC,AB=AC=2,二面角4-EQ-歹的余弦值为处，求&A的长.

【答案】⑴证明见解析⑵石或正

2

【分析】

(1)取2C的中点G,连接EG,Bfi,依题意可证四边形EG耳尸是平行四边形,

即可得到屏7/8。，从而得证.

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

(1)证明：在直三棱柱中，E,尸分别是AC,4片的中点，取BC的中点G,连

则EG//AB且又BF//AB且

接EG,Bfi,如图,EG=1A3,t

=所以EG〃耳尸且EG=8/，所以四边形是平行四边形，所以EP〃耳G.因

为4Gu平面BgGC,£Fu平面BgGC,所以所〃平面BBGC.

(2)解：因为在直三棱柱ABC-ABJG中，ABLAC,所以AB,AC,两两垂直，分别

以AB,AC,44］所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

因为E,尸分别是AC,4用的中点，AB=AC=2,设

M=1r>0）,则4（2,0川,矶0,1,0）,G（0,2j）,*1,0,。，所以EG=（O，l，r），耳E=（-2,1,T）,

m-BxE=0］弘+,=0

C7=(1,-2,0).设平面用EG的一个法向量3=&,为4),由<何Z0令

\m.ECi=U一2%+X-%—0

X1=t,即，〃=("T).设平面EC/的一个法向量三=(%,%*,),由〃・四=°加

4二一1,贝!J万.G尸=0得

+tzX2=2t

匚y92；0==0。­，则,^n=（2t,t,-1）.所以

cos(加，力=T)=,3广+1,因为二面角片-EG-/的余弦值为生所

,2/+1•62+1+1•的2+114

以—£+===皆,解得仁百或f=正.所以AA的长为Q或1.

V2r2+1-V5r2+11422

3.1.如图，三棱柱42。-4月£中，BC=BBi,BCXB(=0,49,平面8瓦。0.

⑴求证：AB±BXC；

(2)若NABC=60。，直线A8与平面CO所成的角为30。，求二面角4-3©-人的余弦值.

【答案】(1)证明见解析g

⑵【分析】

(1)由线面垂直得到线线垂直，再由菱形得到对角线垂直，进而证明线面垂直，线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角.

(1)：AOL平面BBCC，用Cu平面B耳GC•^•A。，4C,•.^8C=8瓦，四边形2qQC是平行

四边形，

四边形BB&C是菱形.BQ1BtC,丁A。cBQ=O，A。u平面ABC,,BQu平面ABC,：.

8Q平面ABC1，

,/ABI平面ABC,：.B.C1.AB.

(2)；AB与平面BB©C所成角为30。,AO，平面BB£C,

二ZABO=30°,

若ZB,BC=60°,则ABCB,是正三角形.

令BC=2,则4c=2,BO=6,OA=1,

以。为原点，分别以。8,。耳，Q4所在直线为x,九z轴建立空间直角坐标系，

小、/

则0(0,0,0),B(V3,0,0),男(0,1,0),4(0,0,1),^(-73,0,0),.

设平面AB©的一个法向量为4=(x,y,z),AB,=(O,l,-l),C4=(有,1,0)

4♦AB1=y-z=0

令X=1,解得％=(1，一百，一百)，设平面瓦GA的一个法向量为

ni.G耳=A/3X+y=0

%=(x,y,z),

I-%•A5=°—z=0/i—/—\

AB.=AB=(73,0,-1)^，即《二，令兀=1，解得〃2=I—，3,j3,

%GB]=0[y/3x+y=017

I.i々•巧1

设二面角A—AG-A的大小为e,由图知夕非钝角，.,.cose=kosn1,引~~口一..

二面角A-B£-A的余弦值为".

4.已知平面四边形A3CD,AB=BC=CD=2,ZBAC=60°,ZBCD=90°(如图1所示)，现将

MC沿BC边折起，使得平面ABC_L平面38,点P为线段AC的中点，Mr为线段上一

点，(如图2所示).

⑴求证：BP_L平面ACQ；

(2)若二面角尸-Q0-3的余弦值为立，求三棱锥尸-BOW的体积.

7

【答案】(1)证明见解析(2)逝

6

【分析】

(1)易证3尸，AC,再由平面ABC_L平面BCD,得到CD1平面曲，进而得到(2)以C为

坐标原点，分别以C2,CO为X，丫轴的正方向建立空间直角坐标系，根据二面角P-QW-B的的

余弦值为立，求得〃为线段3。的中点，然后由匕.BS=!匕.BCM=!匕.BCD求解.

724

(1)证明：因为AB=5CNB4C=60。，所以，ABC为等边三角形，因为尸为AC的中点，所以

BP±AC.

因为平面ABC_L平面5CD,平面ABCI平面5cD=5C,CD±BC,CDu平面BCD,所以

CD1平面

又3Pu平面ABD,所以CD_L3P,又因为C£>AD=D,CTZAOu平面AC。，所以BP_L平面

ACD.

(2)如图所示以C为坐标原点，分别以CB,CO为X，y轴的正方向建立空间直角坐标系，

C则C(0,0,0),8(2,0,0),0(0,2,0),A(l,0,6),P(10,

BD=(-2,2,0),设=ABD(0<2<1),则

CM=CB+BM=(2,0,0)+4(-2,2,0)=(2-24,22,0),

1-0

nCP=Q,即，x+z=0

设平面PCM的一个法向量为及=(x,y,z),则IT，取尤=心有

〃

•CM=0(2-2A)x+2Ay=0

V=X-l,z=------Z，

3

即〃-#2).平面3cM的一个法向量m=(0,0,1).设二面角的平面角为6,

乌如

则|cosO|=.一=।3=斗,解得/=即M为80中点.止匕时

|mNw|Jn+#72

Vp_BCM=^^A-BCM-[^A-BCD，

又因为VA_BCD=VQ-ABC=；xS.BCXCD=；X(乎X2?)X2=,所以Vp.BCM=；匕一切=玄•

能力提升练

I.如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，尸£＞，底面ABCD过AD的平面a分别与线段P8,PC

相交于点E,F.

(1)证明：AD//EF；

(2)若AD=1,PD=CD=2,试问是否存在平面a,使得直线PB与平面a所成角的正弦值为速?

3

若存在，求出此时8E的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

3

(2)存在，理由见解析，BE=-

【分析】

(1)利用线面平行判定定理和性质定理可得答案；

(2)分别以DA、DC、。尸所在的直线为％、V、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出PB、

平面a的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.

(1)

因为AD7BC,平面PBC,BCu平面PBC,所以AD7平面PBC,

因为ADu平面a,平面a平面PBC=EF,所以AD//EF.

⑵

存在，理由如下,

分别以ZM、DC、OP所在的直线为x、外z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,

则0(0,0,0),4(1,0,0),30,2,0),尸(0,0,2),尸8=(1,2,-2),0A=(1,0,0),

设PE=XP3=/l(l,2,—2),所以E(X,2/l,2-2/l),£)E=(2,22,2-22),

设〃=(x,y,z)为平面a的一个法向量，

n-DE=0fAx+2Ay+(2-2A)z=02

贝"，(，令y=i则z=^--,%=o,

n-DA=0[x=0A-l

所以w=[o,l,£),设直线pg与平面。所成角凡

解得4=;.

所以为=；时，E为3尸的中点时，此时存在平面a,使得直线尸2与平面。所成角的正弦值为

2.如图，在直三棱柱ABC-'4G中，AB=BC=2AA,=4,ZABC=90°,。是BC的中点.

⑴求点A1到面AOG的距离；

(2)试问线段4耳上是否存在点E,使AE与所成角的余弦为加？若存在，求耳E的值；若

不存在，说明理由.

4

【答案】(1)§

⑵存在，B{E=3

【分析】

(1)建立空间直角坐标系，由空间向量求解

(2)设出E点坐标，由空间向量列方程求解

(1)

以8为原点，BC,BA,BBt所在直线分别为x,Mz建立空间直角坐标系，

则40,4,0),0(2,0,0),A(0,4,2),G(4,0,2),

A£>=(2,-4,0),0G=(2,0,2),设平面ADC1的一个法向量为％=(x,y,z),

[2x-4y=0,

故c0得4=(2，L—2)，又A4,=(0,0,2),

[2x+2z=0

故点A1到面ADQ的距离为d=必丸=i

\n1|3

(2)

设E(OJ,2),则AE=(0,4-f,2),DQ=(2,0,2),

设6为异面直线AE，OG所成的角,

八\AEDC,|_______4_______Vio

由题意得c0s人由两

"(47)2+4,205

解得f=3(r=5舍去)

故点E存在，BtE=3

3.如图，在三棱柱ABC—A4/G中，四边形A2SA/为正方形，四边形AA/C/C为菱形，且NAA/C

=60。，平面A4/CC平面48氏4,点。为棱82/的中点.

G

⑴求证：AAIJLCD；

（2）棱3。（除两端点外）上是否存在点M,使得二面角B-AiM-Bi的余弦值为乎?若存在，

请指出点M的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在点M为棱BC的中点或者为靠近G端的八等分点

耳

O

【分析】（1）取棱AA的中点。，由题可得AALOC,进而可得A4,，平面08,即

得；

（2）利用坐标法，设G〃=4G4（o<x<i）,利用二面角的向量求法列出方程，即得.

⑴取棱AA的中点。，连接CO、8.因为四边形441GC是菱

为...

4t-----------

形，所以AC=44,,

又因为/A41c=60。，所以△AAC为等边三角形，所以A4JOC.因为四边形4期4为

正方形且。、。分别是用、期的中点，所以441。。，又OCOD=O,OaODu平面

OCD,所以A4,_L平面OC。，

因为CDu平面OCZ）,所以的LCD.

（2）因为平面AAtCtC±平面ABB^,平面AAXC[C平面ABB^=/L4,,且。C±AAX,OCu平

面441GC,

所以OCL平面A2”4,.以。为坐标原点，以OAO2OC所在的直线分别为x轴、y轴、

Z轴建立如图所示空间直角坐标系.不妨设AB=2,则点

5(1,2,0),A(-1,0,0),G(-2,0,6),4(T2,0).

设«i=(%，%，z)为平面A^iG的一个法向量，则由4•44=。及4-AG=。，

2y.=0

得石一八，不妨取4=1得4=(6,0,1).假设棱耳G上(除端点外)存在点“满

足题意，

令QM=2G4(0＜几＜1)得-2,22,有-&),设々=(%,%，Z?)为平面以M的一个法

向量，

2X2+2y2=0

则由对•A月=o及%,AM=o,得，

(A-1)%2+24y2+(,x/3-—0

由|cos(%,

2+-

所以存在点”为棱4G的中点或者为靠近G端的八等分点［。照=：。由\

4.如图所示，在三棱柱ABC-A与G中，AB=3C,点4在平面ABC上的射影为线段AC的中

点。，侧面A41GC是边长为2的菱形.

(1)若AABC是正三角形，求异面直线。片与BC所成角的余弦值;

(2)当直线CB,与平面ABB,A所成角的正弦值为立1时，求线段BD的长.

7

【答案】(1)日(2)1或：

【分析】

(1)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线。耳与2C所成角的余弦值.

(2)结合直线C4与平面瓦A所成的角，利用向量法列方程，化简求得的长.

(1)依题意点A1在平面ABC上的射影为线段AC的中点。，所以4。，平面ABC,

\DLCD,\DLBD,

由于钻=BC,所以以。为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，A(0,0,A/3),

C(O,I,O),

当,ABC是等边三角形时，网"0,0)，4=(616),g=卜61,0).设直线。片与先所成角

为a,

BC•DB]2y/1

则cosa=

\BC\-\DB]77x2-7

⑵设。3rt>0,则2&0,o),用卜,1,后),c&=1,0,石)，A(o,To),例=(o,1,右),A3=(f,1,o),

n•AA=y+V3z=0

设平面的法向量为"=(x,y,z),贝卜,故可设〃

n•AB=比+y=0

设直线C4与平面A8瓦A所成角为"，贝心in〃=

4r4-13Z2+9=o,(z2-1)(4^2-9)=0,解得r=i或r=g,

培优拔尖练

如图（1）所示的四边形ABCP中，AB//PC,ZABC=90°,AD//BC,PC=2AB=2,AD

将进行翻折，使得NPDC=90。，得到如图（2）所示的四棱锥P-ABCD.四棱锥

的体积为正，点/为线段BC上的动点（与端点8,C不重合）.

3

⑴求证：尸。_L平面ABCD；

⑵探求是否存在大小为1的二面角”-丛-5.如果存在，求出此时线段CM的长度；若不存在,

请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

⑵存在，72-1

【分析】

（1）通过PD_LZM和尸。_LDC即可证明；

（2）以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面R4B和平面的法向量，利用向量关系即

可求出.

（1）

在图（1）中，AB//PC,ZABC=90°,AD/IBC,

所以/PZM=，ADC=90。，即

则在图（2）中PD1.D4,因为NPDC=90。，即PDLDC,

因为ZMDC=D,所以平面ABC。；

⑵

因为平面ABCD,所以PD是四棱锥尸-ABCD的高，

P-ABCD3，ABCD.glxDAxl考,则…,

因为「。，DA,PD±DC,DA1DC,则可以。为原点建立如图空间直角坐标系，

假设存在大小为I的二面角M-R4-3,设CM=«O<f<0）,又PD=LAB=1,

O

所以A（近,0,0）,3（拒,1,0）,P（0,0,1）,M«,1,0）,

则PA=（衣0,-1）,AB=（0,1,0）,PM=Q

设平面的法向量为々=（%,%,zj,平面PAM的法向量为九2二(%2，丁2,22)，

\n,PA=0[V2x,-z,=0人

则“i即,令X1=1,则4=夜，则“=(1,0,0),

又NjA=°,即[d=2=o,

令入2=1，贝!)%=—,贝U4=(1,—Z,J5),

\n2-PM=0\tx2+y2-z2=0

371V3

Ijlllcos<n,,n>=-----/==cos7=3，解得r=&-i或/=拒+1(舍去)，

9行出+（应一）2

*

因此存在大小为J的二面角Af-R4-石,,此时线段CM的长度1.’.*

0

Ai

K

2.在直角梯形CEPD中，PD//EC,PD=8,CE=6,A为线段尸。的中点，四边形A3CD为正方

形.将四边形上该沿AB折叠，使得上4LAD,得到如图(2)所示的几何体.

(1)求直线尸。与平面PCE所成角的正弦值;

(2)当尸为线段的中点时，求二面角尸-CE-尸的余弦值.

【答案】

6

【分析】

(1)(2)建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得;

(1)

解：依题意可得上4_LAB、PAYAD,ABLAD,如图建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0)、3(4,0,0)、C(4,4,0)、D(0,4,0),尸(0,0,4)、E(4,0,2),

所以CE=（O,T,2）,CP=（T,T,4）,DP=（0,-4,4）,

nCE=-4y+2z=0..

设平面PCE的法向量为”=(x,y,z),所以＜，令y=1i,则z=2,x=i,

nCP=-4x-4y+4z=0

所以〃=（1,1,2）,

n-DP\4_V|

设直线尸。与平面尸CE所成角为凡贝抬in，=

,川叫4枝X瓜6

⑵解:依题意可得尸(2,0,0),则C#=(-25T,0),

mCF=-2a-4b=