高中物理第三章磁场第6节带电粒子在匀强磁场中的运动教学案新人教版选修3-1

第6节带电粒子在匀强磁场中的运动

'1.洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，即洛伦兹力对

带电粒子不做功。

2.带电粒子沿垂直磁场方向进入匀强磁场时，洛伦兹力

提供向心力，带电粒子做匀速圆周运动。

3.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的牛顿第二定

律表达式为qvB=nr^-,轨道半径为r=景，周期为T—

绰可见周期与带电粒子的速度没有关系。

qB

4.回旋加速器由两个D形盒组成，带电粒子在1）形盒中

做圆周运动，每次在两个D形盒之间的窄缝区域被电场加

一，­.，=，〜_超裁12/i______

■舞魏EH加政i■当课前自主学习，基稳才能楼高

一、带电粒子在匀强磁场中的运动

i.用洛伦兹力演示仪观察运动电子在磁场中运动

实验操作轨迹特点

不加磁场时电子束的径迹是直线

给励磁线圈通电后电子束的径迹是圆

保持电子速度不变，改变磁感应强度磁感应强度越大，轨迹半径越小

保持磁感应强度不变，改变电子速度电子速度越大，轨迹半径越大

2.洛伦兹力的作用效果

洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向,不改变带电粒子速度的大小,或者说洛伦兹力不对带电粒子做

功，不改变粒子的能量。

3.带电粒子的运动规律

沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。洛伦兹力总与速度方向垂

直，正好起到了向心力的作用。

公式：qvB=nr^

<半径：「与

周期:丁福

二、质谱仪和回旋加速器

1.质谱仪

7g747372[0U:S]

ITIIIIIT-；^

M・：*~~•~•"""••"电.

\.\\.・・.八.

\,：之W疗£..

图3-6-1

(1)原理图：如图3-6-1所示•

(2)加速

带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：

1,

qU—~mv^①

(3)偏转

带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：gvB=—.②

比荷:等。其中由-I午可知电荷量相同

⑷由①②两式可以求出粒子的运动半径八质量0、

时，半径将随质量变化。

(5)质谱仪的应用

可以测定带电粒子的质量和分析同位素。

图3-6-2

2.回旋加速器的结构和原理

(1)两个中空的半圆金属盒》和D”处于与盒面垂直的匀强磁场中,匕和山间有一定的电势差，如图

3-6-2所示。

(2)带电粒子在D形盒中只受洛伦兹力的作用而做匀速圆周运动，运动半周后带电粒子到达D形盒的狭

缝处，并

被狭缝间的电场加速，加速后的带电粒子进入另D形盒，由粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动的半径

公式r=就知,它运动的半径将增大'由周期公式7=等可知，

其运动周期与速度无关,即它运动的周期

不变，它运动半个周期后又到达狭缝再次被加速，如此继续下去,带电粒子不断地被加速，在D形盒中做半

径逐渐增大,但周期丕变的圆周运动。

1.自主思考一一判一判

(D带电粒子进入匀强磁场后一定做匀速圆周运动。(X)

(2)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期与速度无关。(J)

(3)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动。(J)

(4)回旋加速器的半径越大，带电粒子获得的最大动能就越大。(J)

(5)利用回旋加速器加速带电粒子，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度6和D形盒

的半径上(V)

(6)带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无

关。(J)

2.合作探究一一议一议

mv

(1)带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动，这时公式是否成立？

qB

提示：成立。在非匀强磁场中，随着6的变化，粒子轨迹的圆心、半径不断变化，但粒子运动到某位置

mv

的半径仍由6、＜7、外加决定，仍满足「=不。

qB

(2)回旋加速器中所加的交变电压的周期由什么决定？

提示：由于回旋加速器工作时，必须满足交变电压周期和粒子在磁场中运动周期相同，即粒子在磁场中

运动周期决定了电压周期。

(3)粒子经回旋加速器加速后，最终获得的动能与交变电压大小有无关系？

提示：无关，仅与盒半径有关。

字

带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动

«通知识

1.带电粒子垂直进入匀强磁场中，只受洛伦兹力，由其提供向心力做匀速圆周运动，运动半径r=

耳，运动周期7=罕，除了半径和周期外，我们有时还分析粒子运动的速度、时间等问题。

qBqB

2.分析方法：“三定”，即一定圆心，二定半径，三定圆心角。

(1)圆心的确定：因为洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，洛伦兹力为粒子做圆周运动提供了向心力，

总是指向圆心。根据此点，我们可以很容易地找到圆周的圆心。在实际问题中，圆心位置的确定极为重要,

通常有两种方法:

①画出粒子运动中的任意两点(一般是射入和射出磁场的两点)的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为

圆心，如图3-6-3甲。

oxXX

Xxx

图3-6-3

②通过入射点或出射点作速度方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条线的交点就是

圆弧轨道的圆心，如图乙。

(2)半径的确定和计算：半径的计算一般是利用几何知识(三角函数关系、三角形知识等)求解。

(3)圆心角的确定：确定圆心角时，①利用好四个角的关系，即圆心角=偏向角=2X弦切角。

②利用好三角形尤其是直角三角形的相关知识。计算出圆心角0,则带电粒子在磁场中的运动时间

0

~—T

2no

0通方法

［典例］如图3-6-4所示，一带电荷量为2.OXI。-'C、质量为1.8X1076kg的粒子,

xxBxxx

XXXXX

XXXX

P

图3-6-4

在直线上一点0沿与直线夹角为30°方向进入磁感应强度为8的匀强磁场中，经过1.5X10's后到

达直线上另一点尸，求:

(1)粒子做圆周运动的周期；

(2)磁感应强度8的大小；

⑶若。、户之间的距离为0.1m,则粒子的运动速度多大？

［思路点拨］

(1)画出粒子由。点到一点的运动轨迹，确定圆心、圆心角。

(2)确定粒子运动时间与周期的关系。

(3)确定粒子运动的半径及其与8之间的关系。

出粒子轨迹，如图所示，由图可知粒子由。到一的大圆弧所对的圆［解析］⑴作

300°300°,则专

心角为

360°

r-iun66

XI.5X10-6s=l.8X10-6So周期T=~t=~

(2)由于粒子做圆周运动所需的向心力为洛伦兹力，得为/=半，所以

吧=曰*=2X314X18X10-16

qRqqT2.0X10-9X1.8X10-6

(3)由几何知识可知，半径仁”-0.1m

故粒子的速度

BqR0.314X2.0X10—9X0.1

V=----m/s=3.49X10'm/s。

m1.8X10-16

［答案］(D1.8X10-6s(2)0.314T

(3)3.49X105m/s

分析带电粒子在磁场中做圆周运动问题的要点

(D确定粒子的运动轨迹、半径、圆心角等是解决此类问题的关键。

(2)掌握粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径公式和周期公式是分析此类问题的依据。

6通题组

1.(2015•全国卷I)两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感应强

度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的()

A.轨道半径减小，角速度增大

B.轨道半径减小，角速度减小

C.轨道半径增大，角速度增大

D.轨道半径增大，角速度减小

解析：选D分析轨道半径：带电粒子从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的速度r大小不

变，磁感应强度8减小，由公式「=写可知，轨道半径增大。分析角速度：由公式7=会可知，粒子在磁

qBqB

场中运动的周期增大，根据。=早知角速度减小。选项D正确。

2.质量和电荷量都相等的带电粒子"和用以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹

如图3-6-5中虚线所示，下列表述正确的是（）

XXXX

BM

xNJ1不

乂xYX父\

st

图3-6-5

A.M带负电，/V带正电

B.历的速率小于N的速率

C.洛伦兹力对M、A'做正功

D.材的运行时间大于,V的运行时间

解析：选A根据左手定则可知小带正电，M带负电，选项A正确；由。阳=展得？=詈，由题知如、

q、8相同，且八〈“，所以小，选项B错误；由于洛伦兹力的方向始终与带电粒子的运动方向垂直，故

洛伦兹力不会对以川做功，选项C错误；又周期7=-=^,两个带电粒子在磁场中运动的周期相

等，由图可知两个粒子在磁场中均偏转了半个周期，故在磁场中运动的时间相等，选项D错误。

3.如图3-6-6所示，一束电子（电荷量为e）以速度/由/点垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界

匀强磁场中，在。点穿出磁场时的速度方向与电子原来的入射方向成30。夹角，则电子的质量是多少？电

子穿过磁场的时间是多少？

图3-6-6

解析：电子在磁场中运动，只受洛伦兹力的作用，故其轨迹是圆周的一部分，又因洛伦兹力总是与速度

方向垂直，故电子做圆周运动的圆心在电子射入

和穿出磁场时受到的洛伦兹力作用线的交点上，

即过轨迹上两点作速度的垂线可找到圆心。点，如图所示。

由几何关系可知，弧m所对的圆心角"3。。,"为半径，则片寻旷=2"

,v2mv2dBe

由eBv=//r-得zrlr-,所rrH以1勿=----

Bev

因为弧所对的圆心角是30°,故电子穿过磁场的时间为

112nmnmnd

t=l27=12,eB-6eB-3v

.2dBend

答案：一7不

通知识

L交变电压的周期：带电粒子做匀速圆周运动的周期片需与速率、半径均无关，运动相等的时间

（半个周期）后进入电场，为了保证带电粒子每次经过狭缝时都被加速，须在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形

盒中运动周期相同的交变电压，所以交变电压的周期也与粒子的速率、半径无关，由带电粒子的比荷和磁场

的磁感应强度决定。

2.带电粒子的最终能量：由r喘知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径

为R，则带电粒子的最终动能仄=警。可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度

6和D形盒的半径儿

Fkm

3.粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数片西⑺是加速电压的大小），一个

周期加速两次。

4.粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为力，在磁场中运动的时间为友=部*

（〃是粒子被加速次数），总时间为t=右+友，因为小《友，一般认为在盒内的时间近似等于5

。通方法

［典例］有一回旋加速器，其匀强磁场的磁感应强度为反所加速的带电粒子质量为如带电量为S

（1）求回旋加速器所加高频交流电压的周期7的表达式。

（2）如果D形盒半圆周的最大半径〃=0.6m,用它来加速质子，能把质子（质量加=1.67X10一”kg,电

量g=L6X10"C）从静止加速到具有4.0X10，eV的能量，求所需匀强磁场的磁感应强度反

［解析］⑴粒子在磁场中做圆周运动的周期，由牛，片甲可得7=笔

K1qB

高频交流电压具有和粒子圆周运动同样的周期r=皆

（2）质子在回旋加速器的磁场中绕行到半径为最大半径"时，qvB=*屋版

KZ

由以上两式，代入数据可得：8=1.53T。

［答案］⑴片羽⑵L53T

回旋加速器问题的两点提醒

（1）回旋加速器所加高频交流电压的周期等于粒子圆周运动的周期且不随粒子半径的变化而变化。

（2）粒子的最终能量与加速电压的大小无关，由磁感应强度6和D形盒的半径决定。

6通题组

1.（多选）1932年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图3-6-7所示，这台加速器由两个

铜质〃形盒〃、〃构成，其间留有空隙，下列说法正确的是（）

接交流电源U

图3-6-7

A.离子由加速器的中心附近进入加速器

B.离子由加速器的边缘进入加速器

C.离子从磁场中获得能量

D.离子从电场中获得能量

解析：选AD离子从加速器的中间位置进入加速器，最后由加速器边缘飞出，所以A对，B错。加速器

中所加的磁场是使离子做匀速圆周运动，所加的电场由交流电提供，它用以加速离子。交流电的周期与离子

做圆周运动的周期相同。故C错，D对。

2.（多选）图3-6-8甲是回旋加速器的工作原理图。立和工是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定

的电势差，A处的粒子源产生的带电粒子，在两盒之间被电场加速。两半圆盒处于与盒面垂直的匀强磁场

中，所以粒子在半圆盒中做匀速圆周运动。若带电粒子在磁场中运动的动能笈随时间£的变化规律如图乙所

示，不计带电粒子在电场中的加速时间，不考虑由相对论效应带来的影响，下列判断正确的是（）

A.在E-C图中应该有t„+i—t„=t„­t„-i

B.在笈-1图中应该有t„+-t„<t~t„-i

C.在瓜-t图中应该有—

D.在笈7图中应该有瓦+L£,〈瓦一瓦t

解析：选AC根据带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速度无关可知，在笈7图中应该有%+1—％尸心

选项A正确B错误；由于带电粒子在电场中加速，电场力做功相等，所以在笈-力图中应该有瓦+1-

选项C正确D错误。

带电粒子在有界磁场中的运动问题

。通方法

［典例］如图3-6-9所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,

图3-6-9

一个带电粒子以速度丫从力点沿直径/如方向射入磁场，经过t时间从C点射出磁场，0C与仍成60°

角。现将带电粒子的速度变为日，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间是多

少？

根据作图法找出速度为V时的粒子轨迹圆圆心。'，由几何关系可得:［解析］

弧所对圆心角N40'C=。=60°,设圆形磁场的半径为r,磁场中的轨迹

v20r

道半径为A,因此有：喻,tan—,粒子的轨

径：A=/_r,轨迹圆半

度变为日时，粒子的轨道半径为此，因此有:当粒子速

M

V

32Q1/Q

48=加近，tan-］-=其轨迹圆半径：7；2=gr,磁场中的轨迹弧所对圆心角：氏=120°,周期：T

2rm、一—

粒t子运动时间：上=而7,

解得：

［答案］2t

带电粒子在三类有界磁场中的运动轨迹特点

(1)直线边界：进出磁场具有对称性。

(2)平行边界：存在临界条件。

(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。

演题组

1.（多选）长为/的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为6,板间距离也为极板不

带电。现有质量为如、电荷量为。的带正电粒子（不计重力），从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度「水

平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）

A•使粒子的速度端

B.使粒子的速度心甯

C.使粒子的速度心外

如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时,

粒子刚好打在极板左边缘时，有片上若，丹=曙

综合上述分析可知，选项A、B正确。

2.（多选）如图3-6-13所示，4点的离子源沿纸面垂直8方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略

不计二为把这束负离子约束在伊之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知。、4两点间的距离为s,负

离子的比荷端速率为y。「与。。间的夹角为3。。,则所加匀强磁场的磁感应强度8的大小和方向可能

是（）

图3-6-13

B.垂直纸面向里A.Q赤,垂直纸面向里

D.B>---，垂直纸面向外C.B>一，垂直纸面向外

qsqs

解析：选BD当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与0相切的轨迹如图中所示，切点为M设圆周

r1mvmv

运动半径为打，由几何关系可知，sin30°可得n=s,由力=丁可得：合=一；当磁场方向垂

直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与8相切于N点，如图乙所示，由几何关系，s=—府+.,得々=

sin30

s急所以区=答选项B、D正确，A、C错误。

3,

能＜・••

/)/必必豆^1?_L

U

O2AQ

乙

3.（多选）如图3-6-14所示，左右边界分别为PP、的匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为

B,方向垂直于纸面向里，一个质量为加、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度外垂直射入磁场，欲

使粒子不能从边界Q0射出，粒子入射速度附的最大值可能是（）

P!xxQ

45夕改

：xx

f

P\xxQ'

图3-6-14

A驷

mm

》qBd

"2mm

解析：选BC粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由e累知，粒子的入射速度的越大，〃越尢当粒

子的径迹和边界0Q'相切时，粒子刚好不从QQ'射出，此时其入射速度的应为最大。若粒子带正电，其运

动轨迹如图甲所

在=翳代入得「尸T-'选项B正

示（此时圆心为。点），容易看出Ksin45°+d=K,将

确。

Q

x

4!

P1Q'

甲

mvO

若粒子带负电，其运动轨迹如图乙所示（此时圆心为0:点），容易看出及+及cos45°=d,将R?=­jr

qB

代入得出=----一-、N历------,选项c正确。

m

课后层级训练，步步提升能力

一、基础题分熟

1.（多选）如图1所示，带负电的粒子以速度r从粒子源夕处射出，若图中匀强磁场范围足够大（方向垂

直纸面），则带电粒子的可能轨迹是（）

图1

B.bA.a

D.dC.c

解析：选BD粒子的出射方向必定与它的运动轨迹相切，故轨迹a、。均不可能，正确答案为B、Do

2.如图2所示，是一弯管，其中心线是半径为"的一段圆弧，将它置于一给定的匀强磁场中，磁场

方向垂直于圆弧所在平面，并且指向纸外。有一束粒子对准a端射入弯管，粒子有不同的质量、不同的速

度，但都是一价正离子，则（）

••••

a0

•・・・

图2

A.只有速度/大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

B.只有质量而大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

C.只有质量卬与速度r的乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

D.只有动能E大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

解析：选C因为粒子能通过弯管要有一定的半径，其半径7=凡所以广=仁小，由粒子的口、6都相

同，则只有当阳，一定时，粒子才能通过弯管。

3.水平长直导线中有恒定电流/通过，导线正下方的电子初速度方向与电流方向相同，如图3所示，则

电子的运动情况是（）