2024届上海市部分学校高三上学期开学暑假作业检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市部分学校2024届高三上学期开学暑假作业检测数学试题一、填空题1.已知集合，.若，则_________.〖答案〗或〖解析〗，,或，解得或或当时，不满足集合中元素的互异性，舍去，故〖答案〗为：或2.设复数（其中i为虚数单位），则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.3.已知，则的最小值是________.〖答案〗5〖解析〗，当且仅当，即舍去）时取等号，的最小值为，故〖答案〗为：.4.已知抛物线的焦点坐标为，则的值为___________.〖答案〗〖解析〗因为抛物线，所以抛物线的焦点坐标为，又因为抛物线的焦点坐标为，所以，则.故〖答案〗为：.5.在的二项展开式中，的系数是________〖答案〗80〖解析〗由题意得：，当时，∴的系数是80.故〖答案〗为：806.已知向量，，若，则mn的值为______.〖答案〗-2〖解析〗∵，∴，解得：，，∴.故〖答案〗为：.7.在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______.〖答案〗〖解析〗由题意知，，所以.故〖答案〗为：.8.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗由题意，圆锥底面周长为，故圆锥底面半径，圆锥高，故圆锥的体积为.故〖答案〗为：9.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.〖答案〗10.8〖解析〗数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故〖答案〗为：10.810.函数的值域为___________.〖答案〗〖解析〗，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.故〖答案〗为：11.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）〖答案〗96〖解析〗从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种.故〖答案〗为：9612.在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，则，，，当且仅当且时取等号，故〖答案〗为：二、选择题13.已知直线，直线，则“”是“”的（）A充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件〖答案〗C〖解析〗若，则两直线方程分别为和，满足两直线平行，即充分性成立，若，当时，两直线分别为和，此时两直线不平行，不满足条件.当时，若两直线平行则，由得，即，所以或，当时，，不满足条件.则，即，则“”是“”的充要条件，故选：C.14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16 B.18 C.20 D.24〖答案〗A〖解析〗设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.所以，该高中共有学生数为，解得.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，所以，高三年级应该抽取人.故选：A.15.已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，令，则，所以，即，故A错误；对于B，令，则，即，故B错误；对于C，令，则，所以，即，故C错误；对于D，因为角的终边不在坐标轴上，所以，，，所以，即，则，所以一定成等比数列，故D正确.故选：D.16.对于某一集合A，若满足a、b、，任取a、b、都有“a、b、c为某一三角形的三边长”，则称集合A为“三角集”，下列集合中为三角集的是（）A.{x|x是的高的长度} B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A：当等腰三角形的顶角无限小时，且底边上的高比较大，，，如下图所示：显然，故、、不满足三角形的三边，故选项A错误；对于B：由，即，解得，任取且，则，，又，所以，即选项B成立；对于C：因为，当时，，解得；当时，，解得；当时，即恒成立，所以；综上可得，即，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项C错误；对于D：因为，所以，解得，所以，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项D错误.故选：B.三、解答题17.若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.（1）求和的调和中项；（2）已知调和数列，，，求的通项公式.解：（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，所以，解得：，故和的调和中项为；（2）依题意，是等差数列，设其公差为，则，所以，故.18.已知关于x的一元二次函数.（1）若的解集为或，求实数a、b的值；（2）若实数a、b满足，求关于的不等式的解集.解：（1）∵的解集为或，∴与1是方程的两个实数根，由韦达定理可知：，解得，.（2）∵，则不等式化为：，因式分解为：，().当时，化为，则解集为；当时，，解得，不等式的解集为；当时，，解得，不等式的解集为；当时，，解得或，不等式的解集为或.19.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线又棱为的中点，（1）求证：直线；（2）求直线与平面的正切值.（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，所以，所以，∴△AED是以∠AED为直角的直角三角形，又∵AB∥CD,∴EA⊥AB，又PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴EA⊥PA,又，∴EA⊥平面PAB；（2）解：如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点.∵CD⊥EA,CD⊥PA，∴CD⊥平面PAE,又∵AH⊂平面PAE，∴AH⊥CD，又AH⊥PE,PE∩CD=E,PE⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AH⊥平面PCD,∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角.在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=,∴.20.已知椭圆：的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点A，（1）求椭圆的方程；（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值；解：（1）椭圆：的长轴长为，离心率为，则，，则，则则椭圆的方程为；（2）设椭圆上点关于直线的对称点则，解之得，则由在椭圆上，可得，整理得，解之得或当时与点M重合，舍去.则（3）设，则又，则，直线的方程为由，整理得则，则又，则，则，则令则，直线的方程为由，整理得则，则又，则，则，则则由点，和点三点共线，可得则整理得，则21.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，由解得.∴在上是减函数，在上是增函数.∴的极小值为，无极大值.（2）.①当时，在和上是减函数，在上是增函数；②当时，在上减函数；③当时，在和上是减函数，在上是增函数.（3）当时，由（2）可知在上是减函数，∴.由对任意的恒成立，∴即对任意恒成立，即对任意恒成立，由于当时，，∴.上海市部分学校2024届高三上学期开学暑假作业检测数学试题一、填空题1.已知集合，.若，则_________.〖答案〗或〖解析〗，,或，解得或或当时，不满足集合中元素的互异性，舍去，故〖答案〗为：或2.设复数（其中i为虚数单位），则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.3.已知，则的最小值是________.〖答案〗5〖解析〗，当且仅当，即舍去）时取等号，的最小值为，故〖答案〗为：.4.已知抛物线的焦点坐标为，则的值为___________.〖答案〗〖解析〗因为抛物线，所以抛物线的焦点坐标为，又因为抛物线的焦点坐标为，所以，则.故〖答案〗为：.5.在的二项展开式中，的系数是________〖答案〗80〖解析〗由题意得：，当时，∴的系数是80.故〖答案〗为：806.已知向量，，若，则mn的值为______.〖答案〗-2〖解析〗∵，∴，解得：，，∴.故〖答案〗为：.7.在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______.〖答案〗〖解析〗由题意知，，所以.故〖答案〗为：.8.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗由题意，圆锥底面周长为，故圆锥底面半径，圆锥高，故圆锥的体积为.故〖答案〗为：9.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.〖答案〗10.8〖解析〗数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故〖答案〗为：10.810.函数的值域为___________.〖答案〗〖解析〗，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.故〖答案〗为：11.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）〖答案〗96〖解析〗从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种.故〖答案〗为：9612.在面积为2的平行四边形中中，，点P是AD所在直线上的一个动点，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，则，，，当且仅当且时取等号，故〖答案〗为：二、选择题13.已知直线，直线，则“”是“”的（）A充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件〖答案〗C〖解析〗若，则两直线方程分别为和，满足两直线平行，即充分性成立，若，当时，两直线分别为和，此时两直线不平行，不满足条件.当时，若两直线平行则，由得，即，所以或，当时，，不满足条件.则，即，则“”是“”的充要条件，故选：C.14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16 B.18 C.20 D.24〖答案〗A〖解析〗设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.所以，该高中共有学生数为，解得.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，所以，高三年级应该抽取人.故选：A.15.已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，令，则，所以，即，故A错误；对于B，令，则，即，故B错误；对于C，令，则，所以，即，故C错误；对于D，因为角的终边不在坐标轴上，所以，，，所以，即，则，所以一定成等比数列，故D正确.故选：D.16.对于某一集合A，若满足a、b、，任取a、b、都有“a、b、c为某一三角形的三边长”，则称集合A为“三角集”，下列集合中为三角集的是（）A.{x|x是的高的长度} B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A：当等腰三角形的顶角无限小时，且底边上的高比较大，，，如下图所示：显然，故、、不满足三角形的三边，故选项A错误；对于B：由，即，解得，任取且，则，，又，所以，即选项B成立；对于C：因为，当时，，解得；当时，，解得；当时，即恒成立，所以；综上可得，即，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项C错误；对于D：因为，所以，解得，所以，令，，显然，不满足a，b，c为某一三角形的三边长，故选项D错误.故选：B.三、解答题17.若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.（1）求和的调和中项；（2）已知调和数列，，，求的通项公式.解：（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，所以，解得：，故和的调和中项为；（2）依题意，是等差数列，设其公差为，则，所以，故.18.已知关于x的一元二次函数.（1）若的解集为或，求实数a、b的值；（2）若实数a、b满足，求关于的不等式的解集.解：（1）∵的解集为或，∴与1是方程的两个实数根，由韦达定理可知：，解得，.（2）∵，则不等式化为：，因式分解为：，().当时，化为，则解集为；当时，，解得，不等式的解集为；当时，，解得，不等式的解集为；当时，，解得或，不等式的解集为或.19.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线又棱为的中点，（1）求证：直线；（2）求直线与平面的正切值.（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，所以，所以，∴△AED是以∠AED为直角的直角三角形，又∵AB∥CD,∴EA⊥AB，又PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴EA⊥PA,又，∴EA⊥平面PAB；（2）解：如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于