迎战2021年九年级中考数学考点强化训练-平行四边形

迎战2021中考数学考点强化训练——平行四边形

1.如图，△胸中，MN//BD茨AC干P,NACB、N45的平分线分别交仞V于反F.

(1)求证：PE=PF；

(2)当脉与4C的交点尸在什么位置时，四边形极F是矩形，说明理由；

(3)在(2)条件中，当△胸满足什么条件时，四边形被》是正方形.(不需要证明)

2.如图，在四边形被力中，AD//BC,AD=12cm,BC=15cm,点尸自点4向〃以IcWs的速度运动，到〃

点即停止.点0自点。向8以2c或s的速度运动，到8点即停止，点尸，0同时出发，设运动时间为t(s).

(1)用含t的代数式表示：

AP=；DP=；BQ=；CQ=.

(2)当t为何值时，四边形"的是平行四边形？

(3)当才为何值时，四边形改*是平行四边形？

B7=^0C

3.如图，将Rt△应1的斜边比1绕点8顺时针旋转90°得到线段弧过点〃作四的垂线，交四延长线于

点发求证：AB=DE.

4.如图，平行四边形被力中，E、户是对角线劭上的点，且BE=DF.

(1)请你写出图中所有的全等三角形;

(2)试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明.

D

5.在Rt△布中，/板三90。，ZACB=30°,将△胸绕点C顺时针旋转一定的角度a得到△应&点4、

5的对应点分别是〃、E.

(1)当点£恰好在47上时，如图1,求N"应的大小;

(2)若a=60°时，点产是边4C中点，如图2,求证：四边形班如是平行四边形.

BB

却图2

6.如图：△胸绕点4逆时针方向旋转得到△3其中N5=50。，ZC=60°.

(1)若也平分N班。时，求N542的度数.

(2)若4口_龙1时，47与龙交于点R求旋转角的度数.

7.四边形侬力中，NZ=140°,Z2?=80°.

(1)如图①所示，若N府的平分线应交加于点瓦昱BE"AD,试求出NC的度数;

(2)如图②所示，若NABC和NBCD的平分线交于氐E,试求出NM7的度数.

BCBC

图①图②

8.如图，平行四边形被力中，分别过儿C两点作血被CFLBD,垂足分别为反F,连接函AF.

(1)求证：BE=DF；

(2)若明=4,EF=\&AAFE=^°,求△地»的面积.

9.如图，在口ABCD中,点瓦厂分别在似BC道上,且所垂直平分对角线47,垂足为“求证：四边形

极F为菱形.

B

10.如图，在四边形被力中，尸是对角线切的中点，E、尸分别是四、卬的中点，AD=BC,2PEF=20",

求/月破的度数.

11.如图，△布的顶点坐标分别为4(0,1),B(3,：C(l,3).

(1)画出△睡关于点。的中心对称图形△48G.

(2)①画出△胸绕原点。逆时针旋转90°的△械G;

②直接写出点用的坐标为.

12.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点4、5都在格点上(两条网格线的交点叫格

点).

(1)将线段四向上平移两个单位长度，点4的对应点为点4,点5的对应点为点合，请画出平移后的线

段4品

(2)将线段4区绕点4按逆时针方向旋转90°,点名的对应点为点名，请画出旋转后的线段4昆；

(3)连接幽、B&,求△频的面积.

B

/

/

A

13.如图，A4BC中AB=4C,E是边AB上一点,过点£作初〃/C,EF//BC,在越延长线上取点G使得的

=BG,ZO30°,BD=2.

(1)求证：四边形切防为平行四边形;

(2)求2,G两点间的距离.

14.已知：在平行四边形被力中，对角线4c与初相交于点0,点及F分型为0B、阳的中点，连接血

并延长至点G,使EG=AE,连接函CG.

(1)如图1,求证：EG=FC；

(2)如图2,连接斑、0G,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每

个平行四边形的面积都等于平行四边形被力面积的一半.

15.如图，D,£分别是△屈7的边血,4c上的点，把△力应沿龙折叠，使点力落在四边形况初所在的平

面上，点力的对应点为小，已知N归80°,NO=70°.

(1)求N4的度数；

(2)在图①,图②，图③中，写出Nl,N2的数量关系，并选择一种情况说明理由.

图②图③

16.如图，将边长为a的正方形614^7绕顶点0按顺时针方向旋转角a(0。<a<45"),得到正方形创出G.设

边AG与况1的延长线交于点乂边氏4与6®交于点M边A4与处的延长线交于点£连接删

(1)求证：心△曲㈤

(2)试说明：△的的边仞V上的高为定值；

(3)△加阳的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的

17.如图，在四边形®?中，NA=NB=NBCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=3.延长比至U瓦使但3,

连接力；由直角三角形的性质可知2®=5.动点尸从点8出发，以每秒2个单位的速度沿用1-0?-勿向终

点4运动，设点P运动的时间为6秒.(t>0)

(1)当t=3时，BP=

(2)当t=时，点尸运动到N8的角平分线上;

(3)请用含t的代数式表示△腑的面积S；

(4)当0VtV6时，直接写出点尸到四边形3Z?相邻两边距离相等时t的值.

备用图

迎战2021中考数学考点强化训练——平行四边形参考答案

1.如图，△胸中，册〃物交4c于只NACB、N45的平分线分别交仞V于反F.

(1)求证：PE=PF；

(2)当脉与4C的交点尸在什么位置时，四边形极F是矩形，说明理由；

(3)在(2)条件中，当△胸满足什么条件时，四边形被》是正方形.(不需要证明)

【答案】证明：（1）,:CE斗分2ACB,

:.ZACE=NBCE.

'：MN//BC,

：.4PEC=4BCE.

:./ACE=/PEC,PE=PC.

同理：PF=PC.

：,PE=PF.

(2)当尸是4c中点时四边形侬尸是矩形,

'：PA=PC,PF=PE,

二四边形侬F是平行四边形.

'：PE=PC,

：.AC=EF,四边形3F是矩形.

(3)当N48=90。时，四边形血F是正方形.

2.如图，在四边形被力中，AD//BC,AD=12cm,BC=15cin,点尸自点4向〃以IcWs的速度运动，到。

点即停止.点0自点。向8以2c或s的速度运动，到8点即停止，点尸，0同时出发，设运动时间为t(s).

(1)用含t的代数式表示：

AP=；DP=；BQ=；CQ=.

(2)当t为何值时，四边形小/是平行四边形？

(3)当t为何值时，四边形秋川是平行四边形？

4.F—P

B7—0C

【答案】解：(1)t,12-t,15-2t,2t

(2)根据题意有〃=&CQ=2t,PD=12~t,BQ=15-2t.

'：AD//BC,二当加三的时，四边形如他是平行四边形.

.,.t=15-2t,解得t=5.

5s时四边形"(如是平行四边形；

(3)由加』寸颂，CQ=2tcm,

'JAD=12cm,BC=15cm,

：.PD=AD-AP=\2-t,

如图1,'：AD//BC,二当时，四边形/W2是平行四边形.

即：12-t=2t,

解得t=4s,

二当t=4s时，四边形秋R是平行四边形.

3.如图，将Rt△被7的斜边比绕点3顺时针旋转90°得到线段切，过点〃作血的垂线，交四延长线于

点及求证：AB=DE.

【答案】证明：绕点8顺时针旋转90。得线段即,

：.BC=BD,NDBC=9Q°=Z.CAB,

：.NABaN4CB=90°,NABaNDBE=9Q",

:.NACB=NDBE,

'：DELAB,

:.NDEB=9N,

在△胸与△EOS中，

，ZCAB=ZDEB=90°

•ZACB=ZDBE,

BC=BD

:.△ABC^AEDB(A45),

：.AB=DE.

4.如图，平行四边形版力中，E、尸是对角线劭上的点，旦BE=DF.

(1)请你写出图中所有的全等三角形；

(2)试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明.

【答案】解：(1)4AB哙4CDB；

AABE^ACDF；

XADE^XCBF.

(2)(以证明△熊陵△核为例，证明其它结论参照给分)

证明：•.•四边形被力是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC.

：.ZABD=ACDB,

又二BD=BD,

:AAB34CDB(SAS).

5.在RtZU5C中，/的=90。，N4B=30。，将△胸绕点C顺时针旋转一定的角度a得到△应4点4、

5的对应点分别是〃、E.

(1)当点£恰好在47上时，如图1,求N"处的大小；

(2)若a=60°时，点产是边4c中点，如图2,求证：四边形班如是平行四边形.

【答案】（1）解：连接助，如图1,

•△睡绕点C顺时针旋转a得到△板；点£恰好在/C1上,

：.CA=CD,NECD=NBCA=3Q°,NDEC=NABC=90°,

'：CA=CD,

：.Z.CAD=ZCDA=^(180°-30°)=75°,

AZADE=90°-75°=15°;

(2)证明：如图2,

,点尸是边AC中点，

：.BF=^AC,

'：Z.ACB=^,

：.AB=^AC,

：.BF=AB,

•.•△被7绕点C顺时针旋转60°得到△龙C,

:.NBCE=NACD=60°,CB=CE,DE=AB,

：.DE=BF,△的'和△砂为等边三角形，

：.BE=CB,

,点?为△/勿的边ZC的中点，

:.DF1AC,

易证得△第摩△被7,

：.DP=BC,

：.DF=BE,

而BF=DE,

二四边形应如是平行四边形.

6.如图：△胸绕点4逆时针方向旋转得到△3其中N5=50。，NO60。.

(1)若由平分N应C时，求NH4Z7的度数.

(2)若4CJ_龙时，47与庞交于点尸，求旋转角的度数.

【答案】解：(1)：45=50°,ZC=60°,

：.ZBAC=7Q°,

•助平分/及C,

：.ZBAD=ZCAD=35°；

(2),△胸绕点4逆时针方向旋转得到△力?£

：.ZE=ZC=60°,旋转角为NC4£,

■:AC1DE,

.,./四=30°,

二旋转角为30。.

7.四边形被力中，N4=140°,NO=80。.

(1)如图①所示，若/胸的平分线四交况■于点瓦且应〃似试求出NC的度数;

(2)如图②所示，若/胸和的平分线交于点£试求出/我的度数.

【答案】解：(1)'：BE//AD,

:.NBEC=ND=80°,

ZAB£^180°-N/=180°-140°=40°.

又,：BE斗公NABC,

:.NEBC=NABE=40°,

；.NC=180°—NEBC_NBEC=180°-40°-80°=60°.

(2)),:N处NAB8NBCD-D=3G00,

：.ZABaNBCD=3600-4-N2=360°-140°-80°=140°.

■:NEBC=^NABC,NBCE=^NBCD,

:.NE=18”NEBC-NBCE=180。-y(NABC^NBCff)=180°--^-X140°=110°.

8.如图，平行四边形被力中，分别过4,。两点作血物，CFLBD,垂足分别为£,F,连接您AF.

(1)求证：BE=DF；

(2)若M=4,EF=M，NAFE=45°,求△板的面积.

【答案】（1）证明：•.•四边形被力是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

:.NABE=NCDF,

义,：AELBD,CFLBD,

:.NAEB=NCFD=90",

在△鹿和△核中，

'NABE=NCDF

<ZAEB=ZCFD,

AB=CD

:4AB阳ACDFqAA$,

：.BE=DF；

（2）解：,:AELBD,AAFE=45a,

二△被是等腰直角三角形，

：.AE=EF=43,

：.BE=^AB2-AE2=V42-（V3）2=Vl3.

由（1）得：DF=BE=-/n,

：.BD=BE^EF^DF=24~\2+4Z,

△板的面积=]■班（2VI3+V3）xV3=V39-*-1.

9.如图，在口的?中，点瓦户分别在山，初边上，且所垂直平分对角线47,垂足为“求证：四边形

AECF为菱形.

【答案】解：•.•班垂直平分4G

：.AO=OC,AE=CE,AF=CF,

；.N1=N2,N3=N4,

又•..四边形3?是平行四边形,

：.AD//BC,

；.N1=N4=N3,

：.AF=AE,

：.AE=EC=CF=FA,

二四边形侬F是菱形.

10.如图，在四边形侬》中，尸是对角线切的中点，E、尸分别是四、0的中点，AD=BC,NPEF=20。，

求/座1的度数.

【答案】解：是破的中点，£是血的中点,

二郎是△板的中位线,

：.PE=^AD,

同理，PF=^BC,

'：AD=BC,

：.PE=PF,

:./PFE=2PEF=W.

11.如图，△腕的顶点坐标分别为Z(0,1),B(3,3),C(l,3).

(1)画出△腕关于点0的中心对称图形△4AG.

(2)①画出△胸绕原点0逆时针旋转90。的△柳G；

②直接写出点5的坐标为.

【答案】解：(1)如图，△4AG为所作;

(2)①画如图，△也BG为所作；

②点民的坐标为(-3,3).

故答案为(-3,3).

12.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点48都在格点上(两条网格线的交点叫格

点).

(1)将线段四向上平移两个单位长度，点4的对应点为点4,点5的对应点为点打，请画出平移后的线

段4名；

(2)将线段4区绕点4按逆时针方向旋转90。，点区的对应点为点5,请画出旋转后的线段4昆；

(3)连接阳、被，求△磔的面积.

B

/

/

A

【答案】解：(1)线段4A如图所示;

(2)线段4昆如图所示;

13.如图，AABC中AB=AC,E是边AB上一点,过点E作切〃4GEF//BC,在所延长线上取点G使得比

=BG,ZC=30°,BD=2.

(1)求证：四边形加G为平行四边形;

(2)求〃，G两点间的距离.

【答案】（1）证明：•・•丝

:・NABC=NC,

YEF//BC,ED//AC,

:.N侪NGBD=180°,NBEG=/ABC,NEDB=NC,

：.NBEG=£EDB=4ABC,

又•：BE=BG,

：•NG=/BEG,

:・NG=NEDB,

・・・N皮册N胸=180°,

：.BG//DE,

火•：EF〃BC,

・・・四边形应颇为平行四边形；

（2）解：过£作碘死于弘适G作GH1BC于H,连接DG,如图所示:

由（1）得：4EDB=4ABC=4C=30。,

：.BE=DE9

■:EM工BC,

：.BM=DM=^-BD=1,Elf=—Bif=—,BE^2EM=^^,

2333

'：BG=-BE,

o

YBG〃DE,

，N颂三乙物=30°,

。：GH工BC,

：.GH=^-BG=^~,BH=MGH=\,

乙o

:・DH=BABH=3,

2*7=VGH2+DH2=^(-y-)2+32'

即〃G两点间的距离为2零1.

o

14.已知：在平行四边形被力中，对角线47与初相交于点0,点反月分别为神、勿的中点，连接血

并延长至点G,使EG=AE,连接乐CG.

(1)如图1,求证：EG=FCi

(2)如图2,连接能、0G,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每

个平行四边形的面积都等于平行四边形侬力面积的一半.

【答案】(1)证明：•.•四边形被力是平行四边形,

AB=CD,AB//CD.OB=OD,

:./ABE=/CDF,

•・•点瓦尸分别为阳山的中点，

：.BE=^OB,DF=^OD,

：.BE=DF,

在AABE和ACDF中,

'AB=CD

,ZABE=ZCDF,

BE=DF

:.△ABE^XCDF《SAS},

：.AE=FC,

'：EG=AE,

：.EG=FC;

(2)解：I•四边形版力是平行四边形，

=

：.0A=OC,AB//CD,ABCD95四边形仙》=4反3?,

•:EG=AE,RE为08的中点,

：.AG.C®互相平分，

・・・四边形地簿是平行四边形，

•••S^ABO=S^BGOt

；・S四边形被Q=2S^^=-^"S四边形AKD9

•：OA=OC,EG=AE,

・・・加是的中位线，

：.OE//CG.

V四边形被M是平行四边形,

：.BG//AC,

：.四边形况O?是平行四边形，

•••Sis边形属切=25入陶=2Sk的=5"S四边形疑

V四边形被M是平行四边形，

J.GO//AB,GO=AB,

•:AB"CD、

：・GO〃CD,GO=CD,

：.四边形的7是平行四边形，

•••S四边用CDOG=2S^OJO=2S^ABO=S四边形3。,

•・•点瓦尸分别为0B,勿的中点，

：.EF=^BD=OD,

•.,四边形cm;是平行四边形，

：.CG//EF,CG=OD,

：.EF=CG,

二四边形班％是平行四边形，

•*•S£Fa；=Saxx；=~SBUDtAKDt

二图中的平行四边形被簿、平行四边形欧石、平行四边形应的、平行四边形班华四个平行四边形，每个

平行四边形的面积都等于平行四边形被力面积的一半.

15.如图，D,£分别是△血的边低4c上的点，把44应沿无1折叠，使点4落在四边形及物所在的平

面上，点Z的对应点为小,已知NQ80°,ZC=7Q°.

(1)求NZ的度数；

(2)在图①，图②，图③中，写出Nl,N2的数量关系，并选择一种情况说明理由.

c

【答案】解：(1)VZ5=80",ZC=7Q°,

：.ZA=180°-(/班/。=180°-(80°+70°)=30°；

(2)如图①，：把△械1沿龙折叠，使点4落在四边形比豺所在的平面上，点4的对应点为

Z.Z.A'=4=30°,

.\Z3=180°-NH-Z2=150°-N2,

：N1+N3+N*NO360°,

Z.Z1+150°-Z2+800+70°=360°,

AZI-Z2=60°；

如图②，：把△出?£■沿历1折叠，使点/落在四边形比切所在的平面上，点力的对应点为小,

AZ.A'=4=30°,

:.NAEA，+AADA'=360°-N/-NH=300°,

；.N1+N2=36O°-AAEA'-NW=60°；

如图③，方法同①，Z2-Zl=60".

16.如图，将边长为a的正方形如比1绕顶点0按顺时针方向旋转角a(0°<a<45°),得到正方形614由G.设

边AG与况1的延长线交于点乂边84与神交于点乂边34与a的延长线交于点区连接例K

(1)求证：AOCMWAOAiE；

(2)试说明：△沏的边豌上的高为定值；

(3)△也曲的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的

【答案】（1）证明：•.•正方形614%

二/4密N4»NG质N4加=90°,

二/43NG阳

f

ZOA1E=ZC1

在△况;"和△（%£中，,OAi=OCi

ZA1OE=ZC1OM

：.XOC、g4OhECASA）；

（2）解：•..△制心△ar£（巳证），

：.OE=OM,

'OE=OM

在AEON和AMON中，，ZE0N=Z«0N=45°,

ON=ON

：./\EON^^MON{SAS},

:・EN=MN,

，△沏的边脉上的高等于△恸边眈上的高，即CM1的长为为定值;

(3)p不会发生变化，是定值2a.

理由如下：根据(1)(2),XOC版XOA瓜△£循△矶

：.MN=EN9A1E=CM

・,・人机®;的周长p=Ml^NR+MR9

=册泌+侬，

=ER+MBi,

=A\E^A\B\\MBi9

=AB+BiCi,

・・•正方形OABC的边长为a,

:•AiBi=BiCi=a,

：.p=2a9是定值.

17.如图，在四边形板。中，NA=NB=NBCD=90。,AB=DC=4,AD=BC=8.延长宛至U瓦使但3,

连接力；由直角三角形的性质可知