2024届江苏省部分重点中学高三上学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省部分重点中学2024届高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故选：A.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，可得，整理得到，即，当时，，，此时，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.3.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令正方体、正四面体和球的体积为1，设正方体的棱长为，则，解得，表面积，设正四面体的棱长为，则正四面体底面正三角形半径，正四面体的高，体积，解得，表面积，设球半径为，则，解得，表面积，所以.故选：C4.若且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗由且，，当且仅当时等号成立.由，故，，当且仅当时等号成立，选项A，C均不成立；由则，选项B不成立(当且仅当时，等号成立)，选项D成立.故选：D5.若为奇函数，则的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由为奇函数，得，解得，于是，而是减函数，是增函数，函数是R上减函数，不等式，因此，所以不等式的解集为.故选：D.6.如图所示是函数的图像，则函数可能是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负．若，则，所以函数为偶函数，与条件矛盾，A错，若，则，所以函数为奇函数，与条件矛盾，B错，若，则，当时，，与所给函数图象不一致，D错，若，则，当时，，又，，所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C．7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以.故选：A.8.已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（）A.0 B.3 C.4 D.1〖答案〗D〖解析〗由关于原点对称，则关于轴对称，且，所以关于对称，关于对称，且，又，即，则关于对称，综上，，，则，所以，而，故，又，则关于对称，即，所以，则，所以.故选：D.二、多选题9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题，其中正确的命题为（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，由，内，得，因此，A正确；对于B，由，，，得，B正确；对于C，由于，令，当时，有，此时或，C错误；对于D，由，，得，D正确.故选：ABD10.已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（）A.有最小值 B.a2+b2有最小值C.4a+2b有最小值8 D.lna+lnb有最小值ln2〖答案〗BC〖解析〗因为实数a，b>0，2a+b=4，所以有，当且仅当时取等号，即当时取等号，故选项A不正确；因为2a+b=4，所以，当时，a2+b2有最小值，故选项B正确；，当且仅当时取等号，即时取等号，故选项C正确；因为实数a，b>0，2a+b=4，所以，当，时，lna+lnb有最大值ln2，因此选项D不正确，故选：BC11.已知实数，，下列说法一定正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，且，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，取，则，A错误；对于B，，，则，于是，B正确；对于C，函数在上单调递增，由，得，于是，即，C错误；对于D，由，，且，得，，，D正确.故选：BD.12.已知函数，则（）A.有两个零点 B.过坐标原点可作曲线的切线C.有唯一极值点 D.曲线上存在三条互相平行的切线〖答案〗ACD〖解析〗A：，对于函数，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，则函数在，处分别取极大值和极小值，由，知只有一个零点，所以有两个零点，故A正确；B：假设B成立，设切点坐标为，切线方程为，即，∴，但显然，故B错误；C：，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，∴函数在处分别取到极大值和极小值，由知只有一个零点，有一个极值点，故C正确；D：若D正确，则存在实数m使得有三个不同的根，即函数与图象有3个交点，由选项C可知，，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.〖答案〗-1〖解析〗因为，所以.又的图象在处的切线方程为，所以，解得，则，所以，代入切线方程得，解得，所以,故〖答案〗为：-1.14.已知，，，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，.又，，，当且仅当，时等号成立，所以的最小值是.故〖答案〗为：.15.半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为________.〖答案〗〖解析〗设的中心为，三棱锥外接球的球心为，则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，因为为等边三角形且其面积为，所以的边长满足，故，所以，，故，故三棱锥的高，所以故〖答案〗：16.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由，得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到0，当时，，函数在上单调递增，函数值从0增大到，令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，因此，解得，所以实数的取值范围是.四、解答题17.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求的极值．解：（1）的定义域为，，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，，所以的极大值为，极小值为0．18.设函数.（1）若对一切实数x,f(x)＜0恒成立,求m的取值范围;（2）若对于m∈[－2,2],不等式f(x)＜－m＋5恒成立,求x的取值范围.解：（1）当时，，显然成立；当时，应有且，解得.综上可知，.（2）由可知，，即，设，则命题等价于当时，恒成立，，在区间上单调递增，，即，.19.已知函数，．（1）当时，有，求实数m的取值范围；（2）若不等式的解集为[1，3]，正数a，b满足，求的最小值．解：（1）由题意得：∵在上恒成立，∴在上恒成立，∴．又∵，当且仅当，即时等号成立．∴，即实数m的取值范围为．（2）令，∴，若时，解集为，不合题意．若时，有，∴，又∵，∴，∴综上所述：．∴，∴，∵，∴解得，∴．∴，当且仅当，即a＝3时等号成立，此时．∴当a＝3，b＝4时，的最小值为7．20.在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.（1）证明：因为侧面为菱形，，，所以为边长为的等边三角形，作交于点，则点为的中点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因为平面，所以，因为侧面为菱形，所以，，平面，所以平面；（2）解：由（1）知，平面，，取做的中点，连接，则，所以平面，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.21.已知.（1）设，，若函数存在零点，求的取值范围；（2）若是偶函数，设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.解：（1）由题意函数存在零点，即有解.又，易知在上是减函数，又，，即，所以的取值范围是.（2），定义域为，为偶函数检验：，则为偶函数，因为函数与的图象只有一个公共点，所以方程只有一解，即只有一解，令，则有一正根，当时，，不符合题意，当时，若方程有两相等的正根，则且，解得，若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为图象恒过点，只需图象开口向上，所以即可，解得，综上，或，即的取值范围是.『点石成金』：本题在处理两个函数图象只有一个交点时，转化为对应方程只有一解，利用换元法转化为含有参数的一元二次方程只有一正根，当时，结合二次函数图象，分类讨论即可，在分类讨论时注意分类标准的选择，做到不重不漏.22.已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）若有两个零点，求的取值范围.解：（1）当时，，令，解得，列表如下：0极小值所以的极小值为.（2）函数有两个零点即有两个零点.因为，①当时，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；②当时，由得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.（i）若，则，最多只有一个零点；（ii）若，因为，且，所以在区间内有一个零点.令，则，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以，故.所以，又，所以在区间内有一个零点.综上可知：当时，有两个零点，故的取值范围为.江苏省部分重点中学2024届高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故选：A.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当时，可得，整理得到，即，当时，，，此时，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.3.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令正方体、正四面体和球的体积为1，设正方体的棱长为，则，解得，表面积，设正四面体的棱长为，则正四面体底面正三角形半径，正四面体的高，体积，解得，表面积，设球半径为，则，解得，表面积，所以.故选：C4.若且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗由且，，当且仅当时等号成立.由，故，，当且仅当时等号成立，选项A，C均不成立；由则，选项B不成立(当且仅当时，等号成立)，选项D成立.故选：D5.若为奇函数，则的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由为奇函数，得，解得，于是，而是减函数，是增函数，函数是R上减函数，不等式，因此，所以不等式的解集为.故选：D.6.如图所示是函数的图像，则函数可能是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负．若，则，所以函数为偶函数，与条件矛盾，A错，若，则，所以函数为奇函数，与条件矛盾，B错，若，则，当时，，与所给函数图象不一致，D错，若，则，当时，，又，，所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C．7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以.故选：A.8.已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（）A.0 B.3 C.4 D.1〖答案〗D〖解析〗由关于原点对称，则关于轴对称，且，所以关于对称，关于对称，且，又，即，则关于对称，综上，，，则，所以，而，故，又，则关于对称，即，所以，则，所以.故选：D.二、多选题9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题，其中正确的命题为（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，由，内，得，因此，A正确；对于B，由，，，得，B正确；对于C，由于，令，当时，有，此时或，C错误；对于D，由，，得，D正确.故选：ABD10.已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（）A.有最小值 B.a2+b2有最小值C.4a+2b有最小值8 D.lna+lnb有最小值ln2〖答案〗BC〖解析〗因为实数a，b>0，2a+b=4，所以有，当且仅当时取等号，即当时取等号，故选项A不正确；因为2a+b=4，所以，当时，a2+b2有最小值，故选项B正确；，当且仅当时取等号，即时取等号，故选项C正确；因为实数a，b>0，2a+b=4，所以，当，时，lna+lnb有最大值ln2，因此选项D不正确，故选：BC11.已知实数，，下列说法一定正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，且，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，取，则，A错误；对于B，，，则，于是，B正确；对于C，函数在上单调递增，由，得，于是，即，C错误；对于D，由，，且，得，，，D正确.故选：BD.12.已知函数，则（）A.有两个零点 B.过坐标原点可作曲线的切线C.有唯一极值点 D.曲线上存在三条互相平行的切线〖答案〗ACD〖解析〗A：，对于函数，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，则函数在，处分别取极大值和极小值，由，知只有一个零点，所以有两个零点，故A正确；B：假设B成立，设切点坐标为，切线方程为，即，∴，但显然，故B错误；C：，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，∴函数在处分别取到极大值和极小值，由知只有一个零点，有一个极值点，故C正确；D：若D正确，则存在实数m使得有三个不同的根，即函数与图象有3个交点，由选项C可知，，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.〖答案〗-1〖解析〗因为，所以.又的图象在处的切线方程为，所以，解得，则，所以，代入切线方程得，解得，所以,故〖答案〗为：-1.14.已知，，，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，.又，，，当且仅当，时等号成立，所以的最小值是.故〖答案〗为：.15.半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为________.〖答案〗〖解析〗设的中心为，三棱锥外接球的球心为，则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，因为为等边三角形且其面积为，所以的边长满足，故，所以，，故，故三棱锥的高，所以故〖答案〗：16.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是________.〖答案〗〖解析〗由，得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到0，当时，，函数在上单调递增，函数值从0增大到，令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，因此，解得，所以实数的取值范围是.四、解答题17.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求的极值．解：（1）的定义域为，，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，，所以的极大值为，极小值为0．18.设函数.（1）若对一切实数x,f(x)＜0恒成立,求m的取值范围;（2）若对于m∈[－2,2],不等式f(x)＜－m＋5恒成立,求x的取值范围.解：（1）当时，，显然成立；当时，应有且，解得.综上可知，.（2）由可知，，即，设，则命题等价于当时，恒成立，，在区间上单调递增，，即，.19.已知函数，．（1）当时，有，求实数m的取值范围；（2）若不等式的解集为[1，3]，正数a，b满足，求的最小值．解：（1）由题意得：∵在上恒成立，∴在上恒成立，∴．又∵，当且仅当，即时等号成立．∴，即实数m的取值范围为．（2）令，∴，若时，解集为，不合题意．若时，有，∴，又∵，∴，∴综上所述：．∴，∴，∵，∴解得，∴．∴，当且仅当，即a＝3时等号成立，此时．∴当a＝3，b＝4时，的最小值为7．20.在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.（1）证明：因为侧面为菱形，，，所以为边长为的等边三角形，作交于点，则点为的中点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，