2024届湖北省部分学校高三上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考数学试题一、单选题1.复数，则其共轭复数（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意：，∴由共轭复数的定义得.故选：C.2已知全集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，即，解得，即，解不等式，得，即，或，所以.故选：B.3.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，即，且，则，由题意可得，选项中只有选项D满足是的真子集，所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是.故选：D.4.如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得：，即.故选：B.5.已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（）A.4 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，可得，即曲线在处的切线斜率为，且直线的斜率为，由题意可得：，解得.故选：B.6.设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，可知4为的周期，且，可得.故选：C.7.已知，化简的结果是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，则，可得，所以；又因为，且，可得，所以；综上所述：.故选：A.8.已知向量，，若关于的方程在上的两根为，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，可得：，设，当时，.且由，得在上的对称轴为.∵方程在上的两根为，∴，，且由得，∴.∴，∵当时，，∴，即有.又∵，∴，则，∴由得：，∴.故选：B.二、多选题9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A.数列是等比数列 B.C. D.数列是等差数列〖答案〗BCD〖解析〗因为数列为等比数列，则，由，解得：或，则或，又为整数，所以，且，，所以B选项正确；又，所以，则，，，所以C选项正确；因为，所以不是等比数列，所以A选项错误；又有，所以数列是公差为1的等差数列，所以D选项正确；故选：BCD.10.已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，，，所以，，，对于A选项：因为，则，即，所以，故A选项错误；对于B选项：，故B选项正确；对于C选项：，因，所以，又，所以，即，所以，故C选项错误；对于D选项：因为，，所以，故D选项正确；故选：BD.11.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的零点为，C.若，则，D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对A：由函数图象得，且函数的周期满足：，则，解得：，即，代入点得：，，解得：，又，所以，故A选项正确；则，对B：令，得，，解得：，，所以函数的零点为，，故B选项错误；对C：因为，又，即，且，则，，所以C选项正确；对D：又，即，则，所以，其中，，故，所以，，即，，则，所以D选项正确；故选：ACD.12.已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（）A. B.当为奇数时，C. D.的取值范围为〖答案〗AC〖解析〗当时，，当时，，适合上式，所以，故A正确；所以，当为奇数时，，故B错误；当为偶数时，，所以，故C正确；当为奇数时，，若，则，即，所以，而，即；当为偶数时，则得，即，而，即，综上所述，，故D错误.故选：AC.三、填空题13.已知平面向量，，那么在上的投影向量坐标为______.〖答案〗〖解析〗，所以，同理可得：，且，，在上的投影向量为：故〖答案〗为：14.已知函数在上是增函数，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以当时，，函数递增；当时，，函数递减，则，故，所以的最小值是.故〖答案〗为：.15.购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.〖答案〗乙〖解析〗设第一次和第二次购物时价格分别为，按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格，按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品，两次购物的平均价格，比较两次购物的平均价格，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故〖答案〗为：乙.16.已知函数若关于的方程，有4个不同的实数根，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗作出的图象，因为的图象是过定点，并且是绕着该点旋转的两条关于对称的的射线.当时，为轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当时，的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故，先考虑时两图象的交点情形，当时，,与刚好只交于点.证明如下：当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；所以当时在，两图象只有一个交点，此时考虑，当，两函数图象必有一个交点，当时，，所以两函数图象在有一个交点，当时，联立得，无解，所以没有交点；所以当时，只有3个交点，不合题意.当时，，两射线更加陡峭，两函数图象在时，没有交点，在有一个交点，则在有两个交点，另外两个交点要在取得，当，即时，在和各一个交点；故在时，两图象有4个交点.当时，，两射线趋于平缓，则两函数图象在有一个交点，在没有交点，则在有2个交点，另两个必须在取得，若与相切，则联立得，；此时两函数图象在有三个公共点.所以在时，两函数图象在有2个交点，在也有2个公共点，符合题意；当，两函数图象在有2个交点，在也有3个公共点，不符合题意；综上所述，的取值范围为.故〖答案〗为：四、解答题17.已知函数在处有极值2.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值.解：（1），.∵函数在处取得极值2，∴，，解得，，∴，经验证在处取得极大值2，故，.（2），令，解得，令，解得或，因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，故函数的最小值是，，故函数的最大值是2.18.设函数.（1）求函数的值域和单调递增区间；（2）当，且时，求的值.解：（1），因为，所以函数的值域是.令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）由，得.因为，所以，所以，所以，所以，所以19.已知且，函数在上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③.（1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得______，______.（2）在（1）的情况下，关于的方程在上有两个不等实根，求的取值范围.解：（1）因为在上是单调递减函数，故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数.因为函数的定义域为，所以，则，，故一定满足②.选择①②，，即，而，解得.（2）由（1）可得，由，则，即，令，因为，所以，则问题转化为在上有两个解，显然，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，要使在上有两个解，则，所以的取值范围是.20.在中，角，，所对的边分别是，，，，，且.（1）求的正弦值；（2），边上的两条中线，相交于点，求的余弦值.解：（1）因为，由正弦定理可得，，即，整理得.因为，所以，所以，即.又因为，所以.由正弦定理，得.（2）由余弦定理得，即，所以.在中，由余弦定理得，则.在中，，所以，解得.由，分别为边，上的中线可知为的重心，可得，.在中，由余弦定理得，又因为，所以.21.数列满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，，数列的前项和为，求对任意都成立的最小正整数.（参考公式：，）解：（1），当时，，作差，得，即.因为，，所以，满足，即为常数列，即，.（2）由题意，，即.设，，则，，.因为对任意都成立，所以，即，的最小值为1012.22.设函数，，.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若在上恒成立，求的取值范围.解：（1）由题意得：，.由，得，由，得，即在上单调递减，在上单调递增.（2）由时，，得，即.设，，则，设，则当时，，，所以，所以即在上单调递增，则.①当时，则，所以上单调递增，所以恒成立，符合题意.②当时，则，且时，，则必存在正实数满足当时，，在上单调递减，此时，不符合题意.综上，的取值范围是.湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考数学试题一、单选题1.复数，则其共轭复数（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意：，∴由共轭复数的定义得.故选：C.2已知全集，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，即，解得，即，解不等式，得，即，或，所以.故选：B.3.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，即，且，则，由题意可得，选项中只有选项D满足是的真子集，所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是.故选：D.4.如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得：，即.故选：B.5.已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（）A.4 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，可得，即曲线在处的切线斜率为，且直线的斜率为，由题意可得：，解得.故选：B.6.设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，可知4为的周期，且，可得.故选：C.7.已知，化简的结果是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，且，则，可得，所以；又因为，且，可得，所以；综上所述：.故选：A.8.已知向量，，若关于的方程在上的两根为，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，可得：，设，当时，.且由，得在上的对称轴为.∵方程在上的两根为，∴，，且由得，∴.∴，∵当时，，∴，即有.又∵，∴，则，∴由得：，∴.故选：B.二、多选题9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A.数列是等比数列 B.C. D.数列是等差数列〖答案〗BCD〖解析〗因为数列为等比数列，则，由，解得：或，则或，又为整数，所以，且，，所以B选项正确；又，所以，则，，，所以C选项正确；因为，所以不是等比数列，所以A选项错误；又有，所以数列是公差为1的等差数列，所以D选项正确；故选：BCD.10.已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，，，所以，，，对于A选项：因为，则，即，所以，故A选项错误；对于B选项：，故B选项正确；对于C选项：，因，所以，又，所以，即，所以，故C选项错误；对于D选项：因为，，所以，故D选项正确；故选：BD.11.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的零点为，C.若，则，D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗对A：由函数图象得，且函数的周期满足：，则，解得：，即，代入点得：，，解得：，又，所以，故A选项正确；则，对B：令，得，，解得：，，所以函数的零点为，，故B选项错误；对C：因为，又，即，且，则，，所以C选项正确；对D：又，即，则，所以，其中，，故，所以，，即，，则，所以D选项正确；故选：ACD.12.已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（）A. B.当为奇数时，C. D.的取值范围为〖答案〗AC〖解析〗当时，，当时，，适合上式，所以，故A正确；所以，当为奇数时，，故B错误；当为偶数时，，所以，故C正确；当为奇数时，，若，则，即，所以，而，即；当为偶数时，则得，即，而，即，综上所述，，故D错误.故选：AC.三、填空题13.已知平面向量，，那么在上的投影向量坐标为______.〖答案〗〖解析〗，所以，同理可得：，且，，在上的投影向量为：故〖答案〗为：14.已知函数在上是增函数，则的最小值是______.〖答案〗〖解析〗因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以当时，，函数递增；当时，，函数递减，则，故，所以的最小值是.故〖答案〗为：.15.购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.〖答案〗乙〖解析〗设第一次和第二次购物时价格分别为，按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格，按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品，两次购物的平均价格，比较两次购物的平均价格，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故〖答案〗为：乙.16.已知函数若关于的方程，有4个不同的实数根，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗作出的图象，因为的图象是过定点，并且是绕着该点旋转的两条关于对称的的射线.当时，为轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当时，的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故，先考虑时两图象的交点情形，当时，,与刚好只交于点.证明如下：当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；所以当时在，两图象只有一个交点，此时考虑，当，两函数图象必有一个交点，当时，，所以两函数图象在有一个交点，当时，联立得，无解，所以没有交点；所以当时，只有3个交点，不合题意.当时，，两射线更加陡峭，两函数图象在时，没有交点，在有一个交点，则在有两个交点，另外两个交点要在取得，当，即时，在和各一个交点；故在时，两图象有4个交点.当时，，两射线趋于平缓，则两函数图象在有一个交点，在没有交点，则在有2个交点，另两个必须在取得，若与相切，则联立得，；此时两函数图象在有三个公共点.所以在时，两函数图象在有2个交点，在也有2个公共点，符合题意；当，两函数图象在有2个交点，在也有3个公共点，不符合题意；综上所述，的取值范围为.故〖答案〗为：四、解答题17.已知函数在处有极值2.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值.解：（1），.∵函数在处取得极值2，∴，，解得，，∴，经验证在处取得极大值2，故，.（2），令，解得，令，解得或，因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，故函数的最小值是，，故函数的最大值是2.18.设函数.（1）求函数的值域和单调递增区间；（2）当，且时，求的值.解：（1），因为，所以函数的值域是.令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）由，得.因为，所以，所以，所以，所以，所以19.已知且，函数在上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③.（1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得______，___