人教A版（2019）选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与

立体几何

一、单选题

1.有以下命题：①若p=xa+y很，则p与a、6共面；②若p与共面，贝!J

p=xa+yb；③若=则尸、M、A、8四点共面；④若P、M、A、8四

点共面，则=+⑤若存在2、"R,使4a+〃b=O,则2=〃=0；⑥

若0、6不共线，则空间任一向量p=Xa+〃6（2、〃eR）.其中真命题是（）

A.①②B.①③C.②③④D.③④⑥

2.在空间直角坐标系中，若直线/的方向向量为。=。,-2,1）,平面a的法向量为

“=（2,3,4）,则（）

A.IllaB.ILaC.Iua或IllaD./与a斜交

3.如图，在四面体OABC中，04=。，OB=b，OC=c，点”在。4上，且

OM=2M4，点N为BC的中点，则MN=（).

-2J+L

322

2rlr

C.—a+-b——cD.—a+—b——c

223332

4.如图所示，在空间四边形Q4BC中，QA=a,O5="OC=c,点〃在Q4上，且

OM=2MA，N为BC中点，则MN（）

o

A.B.二一+L

232322

221

C.D.——a+—bZ——c

222332

5.已知空间向量4,b，c满足a+〃+c=0，忖=1,W=2,卜|=,则〃与Z?的夹

角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.a-(2,-1,3),b=(-L4,-2）,c=（3,2,A）,若〃,"c三向量共面，则

实数％等于（）

A.2B.3C.4D.5

7.如图，在平行六面体A3C£）—A4GA中，=a,AB=b9AD=c，点P在4。

上，且AP:PC=2:3,则AP等于（）

A.2b3322

+—cB.—a+—b7+—c

555555

—+3,322

D.—a——bZ——c

555555

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为1的正方形，侧棱Q4的长为

2,且Q4与A5,AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则|俞|=（）

p

rV6D,如

45

9.如图，在直三棱柱A5C—A5]G中，AC=39BC=4,CCl=3,ZACB=90,则

5G与AC所成的角的余弦值为（）

A3A/2y/3r5/2A/5

A.--------D.------C.------D.----

10345

10.已知动点尸在正方体ABC。-ABCQ的对角线82（不含端点）上.设笑=2,若

L）XD

Z4PC为钝角，则实数4的取值范围为（）

ABd

-HJ-HJc加-

11.已知点4（3,-1,0）,若向量如=（2,5,-3）,则点2的坐标是（）.

A.(1,-6,3)B.(5,4,-3)C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3)

12.如图，ABC。一EFGH是棱长为1的正方体，若尸在正方体内部且满足

312

AP=±AB+-AO+—AE,贝IJP到AB的距离为（）

423

二、填空题

13.如图所示，在平行六面体ABCO-ABCQ中，AGBR=F,若

AF^xAB+yAD+zAA,,贝ijx+y+z=,

14.在棱长为1的正四面体ABC£>中，点M满足AA/=xAB+yAC+(l-x-y)AD,点

N^^DN=ADA当AM、£>N最短时，AM-MN=.

15.已知4=(0,1,1),b=(1,1,0),C=(1,0,1)分别是平面a,P，y的法向量，则a,p,yM

个平面中互相垂直的有对.

16.在平行六面体ABCr>-AB[C]£)]中，设A8=a,AD=b,AAl=c,用a、b、C作

为基底向量表示.

三、解答题

27r

17.如图在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为菱形，ZBAD=—,PA=PD,

线段AD的中点且尸E_LCD,设平面PAD与平面PBC的交线为直线a.

p

(1)证明：直线。//平面ABC。；

(2)若AB=2PE=2,求二面角A—PD—C的余弦值.

18.四棱锥尸-ABCD,底面为正方形A3CD,边长为4,E为48中点，尸平面

ABCD.

(1)若4P钻为等边三角形，求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)若CO的中点为尸，尸尸与平面ABCD所成角为45。，求PD与AC所成角的大小.

19.如图，在正方体ABC。-中，E为8月的中点.

(I)求证：BC"/平面A，E；

(II)求直线AA与平面ARE所成角的正弦值.

20.如图，四边形ABC。中，满足AB〃C£>,ZABC=90°,AB=1,BC=^,

CD=2,将.&4c沿AC翻折至ZkRAC,使得PD=2.

(I)求证：平面上4C，平面AC。；

(II)求直线8与平面上M)所成角的正弦值.

21.《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学

的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直

于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，ABA.AC,

AAi=AB=AC=1,M,N分别是CG,BC的中点，点尸在线段4蜴上.

(1)若尸为4瓦的中点，求证：/w〃平面AAQC.

(2)是否存在点尸，使得平面PMV与平面ABC所成的二面角为45。？若存在，试确

定点P的位置；若不存在，请说明理由.

参考答案:

1.B

根据空间向量基本定理一一判断即可；

【详解】

解:①正确，由平面向量基本定理可得，若方=+则p与*〃共面；

②不正确，若a均为零向量，p为非零向量，则后式不成立，

③正确，由平面向量基本定理得，

④不正确，若均为零向量，MP为非零向量，则后式不成立，

⑤不正确，若a、b为相反向量时，a+b=O＞彳=〃=1,

⑥不正确，若a、b不共线，当p与a、b所在的平面垂直时，则后式不成立,

故选：B.

2.C

由心"=0可得a_L〃，所以/ua或〃/a,即可得正确选项.

【详解】

直线/的方向向量为。=（1,-2,1）,平面a的法向量为“=（2,3,4）,

因为a”=（2,3,4）Q-2,l）=2-6+4=0,

所以a_Lw，

所以/ue或Illa,

故选：C.

3.B

由向量的加法、减法及数乘运算法则计算即可.

【详解】

连接0N,则

答案第1页，共20页

o

由题可得MN=ON-OM

=1(OB+OC)-1OA

21,1

=——a+—b+—c

322

故选：B.

4.B

由向量的加法和减法运算法则计算即可.

【详解】

17211

MN=ON—OM=—(OB+OC)—OA=—aH—bH—c

23322

故选：B

5.C

将〃+b=_c，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.

【详解】

设〃与匕的夹角为e.由〃+b+c=o，得4+。=-°,两边平方，得J+2Q2+『=J,

所以l+2xlx2cos6+4=7,解得cos6=；,又。E[0,TT],所以6=60，

故选：C.

6.C

答案第2页，共20页

3=2x-y

由〃，瓦c三向量共面，则存在唯一的实数对(%,y),使得c=M+即<2=-x+4y,从而

2=3x-2y

可得答案.

【详解】

解：因为a,b,c三向量共面,

所以存在唯一的实数对(工»),使得c=xa+yb,

即（3,2,彳）=x（2,—1,3）+y（-l,4,-2）,

3=2x-yx=2

2=-x+4y,解得<y=i,

A=3x-2y2=4

所以2=4.

故选：C.

7.B

--2

根据题意得到4尸=二4。，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】

2

因为AP:PC=2:3,所以=

根据空间向量的运算法贝I,可得AP=A4+AP=A4,+1(40-44,)=144,+|AC

=|A4I+|(AJB+BC)=|A41+|(AB+A£>)=|A41+|AB+|A£),

UUU]JL322

又因为AA]=a,AB=b，AD=c，所以4尸二不。+16+不。.

故选：B.

8.A

答案第3页，共20页

设低工，AD=b'=根据向量的线性运算表示出局=；(一。+6+。)，平方后利

用向量的数量积运算即可求解.

【详解】

mAB=a，AD=b?AP=c，

因为AB=AD=1,PA=2,

所以|/=|百=1，口|=2・

又因为AB_LAD,ZPAB=ZPAD=60°,

所以。-6=0，a-c=b-c=2xlxcos600=1.

易得=512+b+c),

1Ip..—1

所以|BMF=—(-q+b+c)2=一a2+b2+c2+2x(-a-b-a-c+b-c)

44L」

=^-X[12+12+22+2X(0-1+1)]=|,

所以|盛|=乎.

故选：A

本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积运算及性质，考查了运算能力，属于中档

题.

9.A

建立空间直角坐标系，写出小，2G的坐标，由夹角公式可得结果.

【详解】

如图，以C为坐标原点，CA,CB,CG分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

答案第4页，共20页

则C（0,0,0）,A（3,0,3）,3（0,4,0）,G（0,0,3）,

所以M=（3,0,3）,3G=（0，T，3），

CA-BC[93忘

所以cos（C4,,BC）=

\CA^BC^~3y/2x5~10

所以直线BG与A。所成角的余弦值为殛.

10

故选：A.

10.C

建立空间直角坐标系，

【详解】

由题设，建立如图所示的空间直角坐标系。-盯z,用坐标法计算，利用NAPC不是平角,

可得NAPC为钝角等价于cosNAPC<0,即PAJCvO，即可求出实数彳的取值范围.

答案第5页，共20页

设正方体ABCD-A耳co的棱长为1,

则有4(1,0,0),30,1,0),C(0,L0),。(0,0,1)

二£),5=(1,1,-1),.•.设£>1户=(九九-；1),

/.PA=PDl+D1A=(-/l,-/i,2)+(l,0,-l)=(l-A,-2,/l-l),

PC=PD1+£>1C=(-/l,-A,A)+(O,l,-l)=(-A,l-2,2-l),

由图知NAPC不是平角，NAPC为钝角等价于cosNAPC<0,

PAPC<0>

：.(l-2)(-A)+(-2)(l-2)+(/l-l)2=(2-l)(3A-l)<0,

解得g<2<l

••.X的取值范围是1,1J

故选：C.

11.B

利用空间向量的坐标运算求得B的坐标.

【详解】

设。为空间坐标原点，

（9B=CM+AB=（3,-l,0）+（2,5,-3）=（5,4,-3）.

答案第6页，共20页

故选：B

12.C

以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为无，y,z轴建立空间直角坐标系，由题

意,计算出A8和AP的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式

即可求解.

【详解】

解：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，

则AB=（1,O,O）,A。=（0,1,0）,AE=（0,0,1）,

312

因为=—AB+—AO+—AE,

423

所以*s\AP-AB\__3

网4

/、2

.APAB

所以点P到AB的距离d=,AP1『2——i~二5

1

Vl网J6

故选：C.

答案第7页，共20页

13.2

题中几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，

AF=AB+BBl+BtF=AB+BB,，再将Q转化为AD，以及将Ag转化为AB,

8耳=A4,,总之等式右边为AB，AD>A4,从而得出x=>=g，z=l.

【详解】

解：因为42+3耳+4歹=48+8耳+342

=A3+即+g(AQ_A耳)

=AB+BB.+-AD--AB

122

=—AB+—AD+A/lj,

又AF=xAB+AD+zAAi，

所以x=y=5，Z=1J

贝UX+y+z=2.

故答案为：2.

要充分利用几何体的几何特征，以及将A/=xAB+AD+zAA作为转化的目标，从而得解.

根据题意得到加£面5c。，NeAB,从而求得AM,DV最短时，得到M为△BCD的中

心，N为AB的中点，求得AM的长，结合+由向量的运算公式，即可

求得AM-MN的值.

【详解】

解：因为AM=xA3+yAC-(x+y-l)AD,DNXDA-^-\)DB,

可得Me平面BCD,NeAB,

答案第8页，共20页

当最短时，入〃，面BC。，且ONLAB,

所以M为△BCD的中心，N为A3的中点，如图所示,

又因为正四面体的棱长为1,MB=—x1xcos30=—

33

所以AM=^AC2-MC2=

因为AM_1_平面3CD,所以AM-Affi=0,

因为MN=A7V-AM=；A3一AM=：(MB-M4)-AM=g(MB+M4

所以4W.MN=gAAT(Affi+M4

=-AM-MA--AM-MB

22

15.0

计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直，可得答案.

【详解】

因为a•b=(0,1,1)-(1,1,0)=1*0,

a-c=(0,1,1)-(1,0,1)=1^0,

力c=(1,1,0)•(101)=1*0.

所以a,b,c中任意两个向量都不垂直，即a,p,y中任意两个平面都不垂直.

故答案为：0.

16.a-b-c

答案第9页，共20页

根据空间图形，根据向量加，减法的规则计算结果.

【详解】

有图形可知QB=AB—AR=+=AB—AD—朋

=d-b-c•

故答案为：a—b-c

17.(1)证明见解析；(2)立.

(1)由于四边形A5CD为菱形，所以AZJ//8C,再由线面平行的判定定理可得BC//平面

PAD,再由线面平行的性质定理可得。/ABC,再由线面平行的判定定理可证得结论；

(2)由已知条件可证得尸平面45cD,所以以点E为坐标原点，EC,匹,EP所在直线

分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】

(1)证明：因为四边形A3CD为菱形，所以AD//5C,

因为ADu平面PAD,3CU平面PAD,

所以8C〃平面PAD.

因为直线。为平面PAD与平面P3C的交线，BCu平面P3C,

所以a/ABC.

因为3Cu平面ABCD,平面ABCD,

所以。//平面A3CZ).

答案第10页，共20页

(2)解：因为上4=尸。，点E为线段A。的中点，所以PE_LAD.

因为尸ELCD,ADr>CD=D,AD,8u平面ABC。，

所以PE_L平面ABCD.

以点E为坐标原点，EC,ED,EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直

角坐标系，因为AB=2PE=2,所以尸(0,0,1),D(0,l,0),C(6,0,0),

所以尸£)=(0』,一1),PC=(6,0,-1).

设平面尸DC的一个法向量相=(羽y,z),

„=°即y-z=0,

则有〈

m-PC=0,A/3X-z=0,

取了=若，得加=(1,6,石).

取平面PAD的一个法向量为〃=(1,。,0).

设二面角A-PD-C的大小为0,

m-n_V7

所以cos。=

\m\-\n\一7

关键点点睛：此题考查线面平行的判定定理和性质定理的应用，考查二面角的求法，解题

的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，考查推理能力和计算能力，属于

中档题

18.(1)/ABCD=326(2)arccos^-.

36

答案第11页，共20页

(1)由棱锥体积公式计算；

(2)建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【详解】

(1):正方形A3CD边长为4,△上4B为等边三角形，E为48中点，

(2)如图以丛历,火为％,z轴建立空间直角坐标系，则玖0,0,4),£>(-2,4,0),

A(—2,0,0),

UUIU

C(2,4,0),PD=(-2,4,-4),AC=(4,4,0),

LILUlUUUl

.八PDAC-8+16+0V2

..COSt)=-HHfi-------HEBfi-=---------------f=—=-----,

\PD\-\AC\6X4V26

即尸£>与AC所成角的大小为arccos正

6

7

19.(I)证明见解析；(II)

(I)证明出四边形ABC。为平行四边形，可得出8G//A。，然后利用线面平行的判定定

理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；

(II)可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建

立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.

【详解】

(I)［方法一］:几何法

如下图所示：

答案第12页，共20页

在正方体ABCD-4月GA中，ABH&B\且AB=A瓦，A.BJ/C^且片耳=CR,

.•.4引（2且42=0口，所以，四边形ABCR为平行四边形，则BCJ/A。，

8GO平面ARE,AD】u平面ARE,，8G〃平面ARE；

［方法二］:空间向量坐标法

以点A为坐标原点，AD.AB.AA所在直线分别为x、,、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系A-士,

设正方体A8C£>-a4G。的棱长为2,则4（0,0,0）、4（0,0,2）,4（2,0,2）、£（0,2,1）,

ADt=(2,0,2),AE=(O,2,l),

«-AD.=02x+2z=0

设平面4£>IE的法向量为〃=（x,y,z）,由<,得

n•AE=02y+z=0

答案第13页，共20页

令z=—2,贝i]x=2,y=l,贝i]〃=（2,1,-2）.

又•.•向量3C]=（2,0,2）,BCfn=2x2+0xl+2x（-2）=0,

又•.860平面4。由，，86//平面42小

（ID[方法一]：几何法

延长CG到尸，使得C7=BE,连接灰，交3©于G,

又•.•C///BE,.♦.四边形BE/G为平行四边形，，BG//所，

又•/BCj/ZAD,AD,IIEF，所以平面ADtE即平面AD.FE,

连接2G,作垂足为H,连接出，

FCX±平面44G2,DXGU平面FC]±D,G,

又­/FC,cC,H=G直线D,G1平面C,FH,

又直线D,Gu平面DfiF,：.平面DfiF1平面C}FH,

G在平面1GF中的射影在直线FH上,直线FH为直线FG在平面JGF中的射影，Z

CtFH为直线尸G与平面DfiF所成的角,

根据直线FCJ!直线AA,,可知/C/"为直线AA与平面ADfi所成的角.

2x12

设正方体的棱长为则GG=C/=I,〃G=^,，GH=

2,君一君,

_3

FH==石

QH2

sinNC尸”=

FH~3

7

即直线昭与平面A*所成角的正弦值为;.

答案第14页，共20页

接续（I）的向量方法，求得平面平面4。也的法向量〃=（2,1,-2）,

..n-AA42

又•••惧=（0,0,2）,cos<〃,M>=布=-万一§，

...直线A4与平面A*所成角的正弦值为;.

[方法三]:几何法+体积法

如图，设耳G的中点为R延长易证三线交于一点P.

因为所〃AR,

所以直线AA与平面ADtE所成的角，即直线B「E与平面时所成的角.

设正方体的棱长为2,在一尸£尸中，易得PE=PF=右,EF=应,

3

可得S.四=]•

1311

由咚棱购一尸M=乙棱黜一旦石尸，-x~=-X—xlxlx2,

整理得与H=§.

所以sin/B]EH=*=；.

所以直线A4与平面ARE所成角的正弦值为:.

答案第15页，共20页

［方法四］:纯体积法

设正方体的棱长为2,点4到平面AE2的距离为肌

在△AER中，AE=45,ADt=242,DtE=3,

RE。+AE?一a。；9+5-8_6

cosZAED]=

2RE-AE2x3x0-5

所以sinZAED1=~~，易得$AED,=3.

114

由/…功=匕厂曲，得］S•4耳=］S皿/，解得用二§,

,ch2

设直线441与平面A石2所成的角为e,所以

/i/LJ

【整体点评】

(I)的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明;

(II)第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养

学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用

计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为

简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和

几何的论证，不失为一种优美的方法.

20.(I)证明见解析；(II)姮.

5

(I)过8作3OLAC,垂足为0,连尸0,DO,作OELAC,垂足为E,易得

PO1AC,通过勾股定理可得尸0,0。，即可得尸0,平面ACD,进而可得结果;

答案第16页，共20页

(II)建立如图所示的空间直角坐标系，平面上M)的法向量，利用向量法即可得结果.

【详解】

(I)过8作3OLAC,垂足为0,连P0,D0,则POLAC,

作DE1,AC,垂足为E,则。后=班，O£=|,。。=半

所以"+纶=由,即尸O_LOD

又ACcDO=O,所以尸0_L平面ACD,

又尸Ou平面PAC,

所以平面PAC_L平面ACD；

P

(II)以o为坐标原点，oc,BO所在的直线为％,y轴建立空间直角坐标系

则cf|,o,o\P0,0,3，

AD=(1,AO),AP=g,o,与

AP-n=—a+c=0

设平面PAD的法向量为〃=(〃,b,c),则22