高中数学《分段函数与映射》导学案

第2课时分段函数与映射

卜课前自主预习

1.分段函数

(1)如果函数y=«x),根据自变量%在4中不同的取值范

围，有着不同的对应关系,那么称这样的函数为分段函数.

(2)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.分段函数

的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

2.映射

(1)映射的定义：囿设43是两个非空的集合，如果按某一个

确定的对应关系「，使对于集合4中的任意一个元素工,在集合8中

都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应於为从集合A

到集合3的一个映射.

(2)函数是一种特殊的映射

对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数

集到非空数集的映射.

5］自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)函数都是映射.()

1,

(2)函数是分段函数.()

19x<0

答案(1)J(2)V

2.做一做

〃x+2,xW—1,

(1)已知式x)=<X2,-1<X<2,则它的定义域是.

、2%,%N2,

(2)已知M=｛正整数｝,N=｛正奇数｝,映射/：a^b—2a~\,(a

£“小£M,则在映射了下M中的元素11对应N中的元素是.

(3)(教材改编P24T7)画出函数人幻=印(印表示不大于工的最大整

数).

答案(1)(—8,+8)(2)21

(3)

卜课堂互动探究

『释疑解难』

1.对分段函数的理解

(1)分段函数是一个函数而非几个函数.

分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上

“值域”的并集.

(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区

间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.

2.函数与映射的关系

映射了:A^B,其中A、3是两个“非空集合”；而函数y=f(x),

为“非空的实数集”，其值域也是实数集.

于是，函数是数集到数集的映射.

由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.

3.象与原象的概念

对于映射/:我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集

合3中与A中元素相对应的元素叫象，集合A叫原象集，象集为C,

则CNB.

知识剖析

(1)象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互

换.

(2)给定映射/：A-B,则集合A中的任何一个元素在集合8中必

有唯一的象，而集合8中的元素在集合A中不一定都有原象，若有，

也不一定只有一个.

(3)对于给出原象求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可

求出象.对于给出象求原象的问题，先假设原象，代入对应关系中得

到象，由它与已知的象是同一个元素，即可求出原象；也可根据对应

关系，由象逆推出原象.

探究1分段函数求值

%+3,%>10,

例1⑴设於)=""工”<in则式5)的值是()

5)],10,

A.24B.21C.18D.16

俨+l,

(2)设函数於)=12,则/⑶]=()

|一，x>\,

12

-B3c-D193

A.53

[%+l,%W1,

(3)已知函数=J,若/(%)=—3,则％=________.

%>1,

解析(l)A5)=M10)],X10)=M15)]=A18)=21,八5)=犬21)=

24.

(2)-.'X3)=|<l,

...州3)]=停｝+i=g.

(3)若xWl,由x+l=—3,得％=—4.

若%>1,由1T=—3,得—=4,

解得％=2或%=—2(舍去).

综上可得，所求％的值为-4或2.

答案(1)A(2)D(3)—4或2

拓展提升

1.求分段函数函数值的方法

(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.

(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现用5)))

的形式时，应从内到外依次求值.

2.已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论.

(2)然后代入到不同的解析式中.

(3)通过解方程求出字母的值.

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

3.若题目是含有多层，厂的问题，要按照“由里到外”的顺序,

层层处理.

【跟踪训练1](1)设函数八%)={%若犬a)=4,则

Lx2,%>0,

实数。=()

A.一；或一2B.一；或2

C.一2或;D.-2或2

x-\-1,x>0,

(2)已知於)=，兀，尸0,求用[人-3)]}.

、0,%<0,

答案(1)B(2)见解析

21

解析(1)若“W0,则式。)=一,=4,所以“=—1；若。〉0,则

大。)=屋=4,所以a=2.综上1=一；或。=2.

(2)V-3<0,.\A—3)=0,

...州一3)]=<0)=兀

又兀>0,3)]}=/(兀)=九+1,

即凡例—3)]}=兀+1.

探究2研究分段函数的性质

例2已知函数凡x)=|%一3|一|x+l|.

⑴求«x)的值域；

(2)解不等式:段)>0；

(3)若直线y=a与兀r)的图象无交点，求实数。的取值范围.

解若％W—1,贝I]%—3<0,%+lWO,

J(x)=-(x-3)+(x+l)=4；

若一14W3,贝I]%—3W0,%+1>0,

/(%)=—(x-3)—(x+1)=-2x+2；

若%>3,则%—3〉0,x+1>0,

fix')=(x-3)-(x+l)=-4.

4,—1,

丁./(%)=r-2%+2,-1<XW3,

〔一4,x>3.

(1)—1<%W3时，-4W—2x-t-2<4.

••次0的值域为[-4,4)U{4}U{-4}=[-4,4].

-1,

(2次x)〉0,即①

4>0

—l<x^3,

或'、②

—2%+2>0

x>3,

或'③

[-4>0,

解①得—1,解②得一解③得%£0.

所以於)>0的解集为(-8,-1]U(-1,1)U0=(-OO,1).

(3加幻的图象如下：

由图可知，当。£(—8,—4)u(4,+8)时，直线y=Q与4X)的

图象无交点.

拓展提升

研究分段函数要牢牢抓住的两个要点

(1)分段研究.

(2)合并表达.因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，是

一个整体.

x1,一KxWl,

【跟踪训练2】已知心)=।।

(1)画出兀X)的图象；

(2)若凡¥)》"，求X的取值范围；

(3)求於)的值域.

解(1)利用描点法，作出7U)的图象，如图所示.

⑵由于ET，结合此函数图象可知，使於)制的％的取值范

围是(一8,—।U+8］

(3)由图象知，当一IWxWl时，＜%)=%2的值域为［0』］,

当％>1或尤<—1时，«r)=l.

所以兀0的值域为［0』］.

探究3映射的概念

例3以下给出的对应是不是从集合A到集合8的映射？

(1)集合A=｛尸|P是数轴上的点｝,集合B=R,对应关系步数轴

上的点与它所代表的实数对应；

(2)集合A=｛P|P是平面直角坐标系中的点｝,集合8=｛(x,

R,y£R｝,对应关系/：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(3)集合A=｛%|%是三角形｝,集合8=｛%|%是圆｝,对应关系/：每

一个三角形都对应它的内切圆；

(4)集合A=｛x\x是新华中学的班级｝,集合8=是新华中学的

学生｝,对应关系力每一个班级都对应班里的学生.

解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯

一的实数与之对应，所以这个对应/：4一B是从集合A到集合8的

一个映射.

(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的

任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应/：A-3

是从集合A到集合B的一个映射.

(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应,所以这个对应了：

A-3是从集合A到集合B的一个映射.

(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级

对应的学生不止一个，所以这个对应f不是从集合A到集合3

的一个映射.

拓展提升

映射的特性及判断方法

(1)映射是一种特殊的对应，它具有：①方向性：映射是有次序的，

一般地从A到8的映射与从8到A的映射是不同的；②唯一性：集

合A中的任意一个元素在集合3中都有唯一的元素与之对应，可以

是：一对一，多对一，但不能一对多.

(2)映射的判断方法

依据映射的定义：先看集合A中每一个元素在集合8中是否均

有对应元素.若有，看对应元素是否唯一；集合8中有剩余元素不影

响映射的成立.对应是一对一或多对一.

【跟踪训练3】设集合A={%|1W%W2},3={y|lWyW4},则下

述对应关系了中，不能构成从4到8的映射的是()

A./：x-^y=x1

B.ftx->y=3%-2

C.f：x~*y=-%+4

D.f：x-*y=4-x2

答案D

解析对于D,当％=2时，由对应关系y=4—%2得y=o,在集

合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到3的映射.

1

f---------------------1那囊弁----------------------

1.分段函数

(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应

关系不一样.

(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函

数定义中的唯一性决定的.

(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分

段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函

数的图象.

2.映射

(1)映射/：A-3是由非空集合A、3以及4到3的对应关系了

所确定的.

(2)映射定义中的两个集合A、3是非空的，可以是数集，也可

以是点集或其他集合，A、3是有先后次序的，A到3的映射与3到

A的映射一般是截然不同的，即/具有方向性.

(3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合3中都有“唯一”

的对应元素，不会出现一对多的情况，只能是“多对一”或“一对一”

形式.

卜随堂达标自测

ABAB

CI)

答案D

解析根据映射的概念可知，图D的对应是A到8的映射，图

A,B,C的对应不是A到8的映射.

2.下图中的图象所表示的函数的解析式为()

A.y=5|%一l|(0W%W2)

33

B.y|x一1|((XW2)

3

C.y=1一|%—l|(0W%W2)

D.y=l—|x—l|(0W%W2)

答案B

解析可将原点代入，排除选项A,C；再将点(1,|卜入，排除

D项.

3x~b,x<l,rf5Y

3.设函数段)=J>1若/局=%则8=()

2人，九三1,LO」

731

-

B-CD-

A.842

答案D

解析由|<1得知=3义|一b=|一力，

f5)<]

由得<2、或错误！

%-力一8=4

解得b=^.

2_i_Q_j_9YVQ

4.设函数/(%)=(rr''若/[/3)]=2,则a=

—廿，x>Q

答案也

解析当aWO时，％)=4+24+2>0,43)]<0,显然不成立;

当a>0时，f[d)=—d1,咒/5)]=〃4—2/+2=2,则a=±\[l或a=O,

故a—y/2.

(1

1+二，x>l,

5.已知函数犬%)=<好+1,—iWxWl,

、2x+3,x<-1.

⑴求何―2)))的值；

3

(2)若仙)=/,求a.

解(l)V-2<-l,.\A-2)=2X(—2)+3=—l,

胆—2))=A—1)=2,

13

•••Wl-2)))=X2)=1+2=2-

13

(2)当a>l时，/(。)=1+,=/，，a=2>l；

3

当一IWaWl时，式4)=屋+1=2，

3

当a<—l时，&)=2。+3=子

3

...a=-a>—M舍去)•

综上，a=2或a=±j-.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.下列给出的函数是分段函数的是()

/+1,1aW5,

①/(%)=°v

、2x,1；

x+1,R,

x2,x22；

2%+3,1W%W5

③/㈤=

x2,%W1；

%2+3,%<0,

©/（%）=]

[x—1,冗35.

A.①②B.①④C.②④D.③④

答案B

解析对于②取％=2,式2）=3或4,对于③取％=1,/（1）=5或

1,所以②、③都不合题意.

2.已知集合A={R0«4},B={y|0WyW2},按对应关系了不

能构成从A到B的映射的是（）

A.f：B./：%fy=%—2

C.f：x-^y=ylxD.f：x-*y=\x~2\

答案B

解析因为在对应关系/：%->y=%—2的作用下，A中元素。的

对应元素为一2,但一2不在集合8中，故按此对应关系不能构成从

A到B的映射.

1,%>0,

1%为有理数，,弘

3.设/(%)=<。，x=。，g（x）=|o,X为无理数，则力g（M的

、-1,x<0,

值为（）

A.1B.0C.-1D.7T

答案B

解析由题设，虱兀）=0,/[g（兀）]=<0）=0,故选B.

(2x,

4.函数兀r）=2,l<x<2,的值域是（）

、3,Q2

A.RB.[0,+8)

C.[0,3]D.[0,2]53}

答案D

解析作出y=/（x）的图象，如图所示.由图象知，“X）的值域是

[0,2]U{3}.故选D.

5.已知映射力A^B,其中A=8=R,对应为/：

+2,若对实数左£3,在集合中没有元素对应，则2的取值范围是()

A.(—8,1JB.(—8,1)

C.(1,+8)D.[1,+8)

答案B

解析设上=%2—2%+2,即%2—2%+2—k=0,人在集合中没有元

素对应，即上述方程无解，/<0,(—2)2—4(2—%)<0,「.kl.故选B.

二、填空题

/+2,xW2,

6.设函数c若/Uo)=8,则％0=.

答案4或一水

解析当％>2时，有2%o=8,得％()=4；

当％W2时，有而+2=8,得出=一般或册(舍去).

综上％o=4或％o=一#.

7.如图，函数八x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标

分别为(0,4),(2,0),(6,4),贝1)/员0)]=.

答案2

解析由函数式幻的图象可知，/(0)=4,1/[/(0)]=X4)=2.

2,x引一1,1],

8.已知函数兀¥)=«若州%)]=2,则%的取值

X,居[一1，1]»

范围是.

答案{2}U[—1,1]

解析设危)=r.\A《=2,当时,满足财=2,此时

—1W危)W1,无解,当t=2时，满足式。=2,此时式x)=2即TWxWl

或x=2.

三'解答题