高中数学选修推理与证明综合

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第1题

11

设x>0,y>a求证:(W+y2/>(W+y3户.

第2题

设x、v、z都是实数，且a=x2-2y+：,b=y2-2z+^,c=N—2x+[,求证：a、

236

b、c中至少右•个不大]-0.

第3题

设a、b都是正数，且awb,比较与的大小.

第4题

设sinx4<josx=L求证：sin6x+co^x=l.

第5题

已知x>0,y>0,且X4y=l,求证(1+工)(1+工)N9.

xy

第6题

己知函数f(x)=tanx,xw(0,1),当％、%£(0,5)，且天工5时，求证：

>

1[f(x1)+f(x2)]>f(-i^).

第7题

若定义在R上的函数f(x)时F任意的％与“使得f广)二f(xj+fJ?)]成立，则

称函数f(x)是R上的凹函数，已知二次函数f(x)=ax2+x(a€R,a*0).

(1)求证：当a>0时，函数f(x)是凹函数：

(2)设XG[0,1]时，|f(x)|〈L求实数a的取值范围.

第8题

在AABC中，求证：

(1)sinA+sinB+sinC>sin(A+B+C)：

(2)若AABC足锐角三角形，则sinA+sinB+sinC>cosA+GOsB+cosC>l.

第9题

已知a、b、c均为正数，a+b-»€=i,求证:

(1)(―-1)8；

abc

⑵?+F+F-27:

abcbecaab__

(3)——+——+——+——+——+——>10

becaababc

第10题

己知函数f(x)=ax+^-1(a>l).

x+1

(1)证明：函数f(x)在(—L+oc)上是增函数:

⑵用反证法证明方程f(x)=o没有负根.

试题答案

第1题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

t解析】因为x>0,y>0,

所以，要证X+y2户〉（今+y3户,

11

只需证［（』十，户］6>［（三+//F，

只需证（二"）3>（胃+9）2,

只需证x6+3x4y2+3x2y4+y6〉$+2）3/+黄,

只需证3X4y2+3必y4>2*3娟，

只需证3』+3/>2xy.

因为B^+By2〉+y2>2xy,

所以B^+Sy2>2xy.

综上，原不等式成立.

第2题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

【解析】假设a、b、c都不大于0,

即a«0,b<0,c<0.a+b+c<0,

a+b+c=(x2-2y+^)+(y2-2z+^)+(z2-2x+^)

=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+^

=(x-l)2+(y-D2+(z-l)2+^-3,

因为x、y、z都是实数付，(x-1)2>0.(y-1)2>0»(z-1)2>0.且万一3>0,

所以a+b+c>0,

上式与假设a+b+cwO矛盾,

所以a、b、c中至少有个大］••0.

第3题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

【解析】需=葭廿=(凯,

当a>b>0时，有W>0，a-b>0,

b

(铲b>i,

当b>a>0,有0<亘<1,a<b<0,(自产b>i,

bb

综上，得

第4题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

【解析】

sin6x+cos6x=(sin2x)3+(cos2x)3=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcosFx+egx)

=sin4x+2sin2xcos2x+egx-3sin2xcos2x

=(sin2x+cos2x)2-3sin2xc亩x=1-3sin2xcos2x,

要证sirfxcos2x=0.

只需证sinxcosx=0,

ihsinx+cosx=l,

^sin2x+cos2x+2sin2xcos2x=l,

所以sinxcosx=0.

综上，可得sin6x+cos6x=l.

第5题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

【解析】要证(1+工)(1+工)29,

xy

只需证Q+N)(1+3)N9,

X1-X

只需证(x+l)(l-x+l)>9x(1-x),

只需证2+x—x229x(1-x).

只需证（2乂一1220,

显然（2x-1产20成五,

所以（1+工）（1+工）29.

xy

第6题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

【解析】要证5[f(xj+f(x2)]>f(412),

即证"I(tan为+tan&)>tar心手2,

.X+X._X.+X,.X,+X,

sinG广2cos■#■sin个？

「-1/Sinx.sinx,.

只需证式(——+——)2=22

2cosA8s5x>+x>__2%+%

005、「2GOS2I「

22

sinxcos%+oos%sin%二sin(%+&)

只需证

2COSX1COSX2l+gjq+x)

只需讯.(1+%)sin(%+X2)

、’2cos\cosl+C0S(Xi+X2)

因为不、\G(0,^),%+为£(0,打)，

所以sin(Xi+X2)>0，cos%>。，cos5>0，l+cos(x1+)^)>0.

所以，只需证l>cos%cos%+sinx1sin%,

即证1>85(%一修),

因为％所以cos(%-%)<1恒成立,

所以原不等式成立，即,[f(xj+f(X2)]>f(土产).

第7题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

【解析】(1)对任意的％、％wR,a>0,

因为f(xj+f(x2)-2f(2i±2i)

=(时+%)+(第+5)-2[a(^^)2+

1

二叼+/-六优+考+次修)

i,

=-a(\-X2)2>0,

所以f(2i±?i)<l[f(x1)+f(x2)],所以函数f(x)是凹函数:

⑵|f(x)|wlo-lwf(x)〈lo-14aj^+xwl,

当x=0时，a可以取任意实数：

1111\21

a>-+—)+-

rcnd^+X>-lx2xx2恒成立,

当XG[Q4时，],恒成立，即4,

ax^+x<l11,1_工)2」

a-3?-x=(x

24

因为xe［O,l］，所以工21，

X

所以当工=1,即x=l时，—(工+与产+a取得最大值_2：

xx24

(三)2—下取得最小值0.

x24

-2<a<0,又awO,

综上a的取值范围是［-2,0).

第8题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

【解析】(1)因为sin(A+B)=sirAcosB+cosAsinB<sirA+cosB,所以

sin(A+B+C)=sin(A+B)casC+cos(A+B)sinC<sin(A+B)+sinc<sinA+sinB+sinC

(2)因为A、B,C是锐角三角形的三个内角，

所以工>A>--B>0.

22

jr

所以sinA>sin(--B)=cosB,

同理川证sinB>cosC,sinC>cosA,

所以9nA+sinB+sinC>cos^+cosB+co9C,

ABC

乂cosA+G0sB+caC=l+4sin—sin—sin—>1,

222

所以9nA+sinB+9nC>cosA+cosB+cosC>l.

第9题：

正确答案：

第1项:参看解析

答案解析

【答案】参看解析

【解析】(1)(-----1)(——1)(-----1)

abc

/a+b+c-a“a+b+c-b\/a+b+c-C\

=(-----------------)(------------------)(------------------)

abc

b+ca+ca+b

=_______________

abc

N2x/sb•2Jac•>/bc—■—=8,

abc

111

所以仁—1)件一1)(上一1)28；

abc

⑵小尚+：6+*，(a+b+c)2

*西.(螃)"；

abcbecaaba2+b2+c2a2b2+tfc2+c2a2

becaababcabcabc

因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)<3(a2+tf+c2),

所以a^^+c2>-,

又救"千）』扪/所以+综

所以驾邑打7=9,

abc3

因为a2b2+b2(f>2ab2c,tfc2+c2a2>2abc2,c2a2+a2b2>2a2bc,

所以2(a2tf+a2c2+c2a2)>2abc(a+b+c)=2abc,

a2b2+a2c2+da2

所以>a+b+c=l.

abc