高中数学-直线与平面垂直的判定教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

一、教学内容的分析

本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂

直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；

这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义一一判定一一，性质为主线.判

定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，

培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要

任务.

二、教学目标的确定

新课标中立体几何的体系和内容都发生了较大的变化，要求能通过直观感知、

操作确认，归纳出直线和平面垂直的判定定理.

根据教材特点、新课标的教学要求和学生的认知水平，我确定了如下教学目

标：

1.通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面垂直的定义，归纳和

确认直线与平面垂直的判定定理，并能对定义和判定定理进行简单应用；

2.通过对判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概

括能力；

3.通过对探索过程的引导，努力提高学生学习数学的热情，培养学生主动

探究的习惯.

三、教学方法的特点

本节课采用启发式与试验探究式相结合的教学方式.

在启发式教学过程中，以问题引导学生的思维活动.教学设计突出了对问题

链的设计，教学中，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思

考逐步深入，思维水平不断提高.

尝试通过试验的方法进行立体几何的教学.本节课主要是通过直观感知、操

作确认归纳出直线和平面垂直的判定定理.但借助什么去感知？怎样操作才能归

纳出判定定理？确认到什么程度，才能在不对定理进行证明的情况下，不失数学

的逻辑性和严谨性？本节课立足教材，重视对具体实例的观察、分析，并且给学

生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，

把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中.

学情分析

在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，学习本课前，学生又通过直观感

知、操作确认的方法，学习了直线、平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础，因

而，可以采用类比的方法来学习本课。但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。

线面垂直的定义比较抽象，平面内看不到直线，要让学生去体会”与平面内所有直线垂直”

就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。因而，

我将本节课的教学难点确立为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。二、

教学目标设计

《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判

定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生在构建线面垂直定义的基础上探究

线面垂直的判定定理，并进行定理的初步运用，灵活运用定理解决相关问题将安排在下节课。

故而确立本节课的教学目标为：

1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与

平面垂直的定义。

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明

一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

布鲁纳认为：“在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是要形成一种学

生能够独立探究的情境，帮助学生形成丰富的想象，防止过早语言化，注重直觉思维。”基

于此，本课是概念、定理的新授课，设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心，提高

课堂教学质量为目标的课堂结构。

2.3.1直线与平面垂直的判定练习题

1.如果一条直线/与平面a的一条垂线垂直，那么直线/与平面a的位置关系是（）

A./uaB./_LaC.I//a.D.

Iua或I//a

2.若两直线a，b,且aJ_平面a,则b与a的位置关系是（）

A.相交B.b〃aC.bua

D.b〃a,或bua

3.a〃a,则a平行于a内的（）

A.一条确定的直线B.任意一条直线C.所有直线D.

无数多条平行线

4.若直线1上有两点P.Q到平面a的距离相等，则直线1与平面a的位置关系是

（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.平行.

相交或在平面a内

5.两异面直线在平面a内的射影（）

A.相交直线B.平行直线C.一条直线一个点D.以上

三种情况均有可能

6.下面各命题中正确的是（）

A.直线a,b异面，aca,匕.p,贝Ua〃田；B.直线a//b,aca,

则a〃生

C.直线al.b,a_La,6_L（J,则a_L。；D.直线aca,Zcp,

a〃（3,则a,6异面.

7.已知.两条直线叫〃，.两个平面a,£,给出下面四个命题：

①mHn,mLa=>nA.a②all0,mua,nu0nmHn③

mHn,mHannila

@aH（3,mlln,ml.a^nX.（3其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②④C.①④

I）.②③

8.若三条直线OA,0B,8两两垂直，则直线以垂直于（）

A.平面OABB.平面OACC.平面OBC

D.平面4a1

9.过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行

平面有个.

10.过平面外一点作该平面的垂线有条;垂面有个;平行线有条;

平行平面有个.

11.如图，在直三棱柱ABC—ABG中，AC_L3C,点D是AB的中点,

求证：(1)ACL8G(2)ACi〃平面CDBi；

12.如图，在四棱锥P—ABC。中，Q4J_平面ABC。,底面ABC。是菱形，求证：BDA.

平面南C;

p

本节选自：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修2,“2.3.1直线

与平面垂直的判定”第一课时:

本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。其中，线面垂直的定

义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判

定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是

连接线线垂直和面面垂直的纽带！（如图）学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现

从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。

本节课中，学生将按照“直观感知一操作确认一归纳总结”的认知过程展开学习，对大

量图片、实例的观察感知，概括出线面垂直的定义；对实例、模型的分析猜想、折纸实验,

发现线面垂直的判定定理。学生将在问题的带动下，进行更主动的思维活动，经历从现实生

活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解

决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精

神。

根据《课程标准》，线面垂直判定定理的严格证明安排在选修系列2中进行，这样降低

了难度，符合学生的认知规律。因而，我将本节课的教学重点确立为：操作确认并概括出直

线与平面垂直的定义和判定定理。

教学设计

1.直线与平面垂直定义的建构

本环节是教学的第一个重点，是后面探究活动的基础，分三步进行：

（1）动体的特征，对“线面垂直”有了一些初浅认识和感知，在高中阶段，创设情境

—感知概念①展示图片：学生收集的一组图片和教师提供的两张图片。

②观察实例：学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系。

③提出思考问题：如何定义一条直线与一个平面垂直？（2）观察归纳一形成概念

①学生画图：将旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

②提出问题：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂

直呢？（学生讨论并交流）③动画演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体

会直线与平面内不过垂足的直线也垂直。

④归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并要求学生用符号语言表示。（3）辨析

讨论一深化概念判断正误：

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

②若a，a,ba,则a，b。（学生利用铁丝和三角板进行演示，讨论交流。）

这一环节是本节课的基础。线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背,

这样，不利于学生思维能力的发展。如何使学生从“线面垂直的直观感知”中抽象出“直线

与平面内所有直线垂直”是本环节的关键，因此，在教学中，充分发挥学生的主观能动性,

先安排学生课前收集大量图片，多感知，然后，通过学生动手画图、时论交流和多媒体课件

演示,使其经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念,最后，

通过辨析讨论加深学生对概念的理解。这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般,

由具体到抽象，既有助于学生对概念本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生

的几何直观能力。

2.直线与平面垂直的判定定理的探究

这个探究活动是本节课的关键所在，分三步进行：

（1）分析实例一猜想定理

问题①在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1

与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1_L底面ABCD的条

件是什么？

问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？

问题③由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

学生提出猜想：

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）动手实验一确认定理

折纸实验：过aABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,再将翻折后的纸片竖起

放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：

问题④折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

问题⑤由折痕ADLBC,翻折之后垂直关系发生变化吗？（即ADLCD,AD1BD

还成立吗？）由此你能得到什么结论？

学生折纸可能会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，分析

“不垂直”的原因，从而发现垂直的条件一折痕AD是BC边上的高，进而引导学生观察动

态演示模拟试验，根据“两条相交直线确定一个平面”的事实和实验中的感知进行合情推理，

归纳出线面垂直的判定定理，并要求学生画图，用符号语言表示。

（3）质疑反思一深化定理

问题⑥如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线与此平面垂直

吗？

由于两条平行直线也确定一个平面，这个问题是学生会问到的。可以引导学生通过操

作模型（三角板）来确认，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两

条”、“相交”缺一不可！

在本环节中，借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，引导学生分析，将

“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，并以此为基础，进行

合情推理，提出猜想，使学生的思维顺畅，为进一步的探究做准备。

由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，

注重合情推理。因而，安排学生动手实验，讨论交流、为便于学生对实验现象进行观察和分

析，自己发现结论，还增设了动态演示模拟试验，让学生更加清楚地看到“平面化”的过程。

学生在已有数学知识的基础上，加之以公理的支撑，便可以确认定理。

教学中，让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想

象能力。与此同时，鼓励学生大胆尝试，不怕失败，教训有时比经验更深刻，使学生在自己

的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。在讨论交流中激发

学生的积极性和创造性，为今后自主学习打下基础。

3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用

考虑到学生处于初学阶段，补充了练习（1）和练习（2）做铺垫。学生先尝试去做并板

演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理。练习

（3）使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的联系，给

出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。根据学生的实际情况,

本题可机动处理。

4.总结反思一提高认识

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

（3）本节课你还有哪些问题？

学生发言，互相补充，教师点评。本环节侧重三点：（1）以知识结构图归纳出判断直线

与平面垂直的方法（如图）；（2）说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，

强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路；（3）鼓励学生反思，大胆质疑。

通过小结使本节课的知识系统化,使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用,

培养学生认真总结的学习习惯，使学生在知识、能力、情感三个维度得到提高，并为下节的

学习提供改进方向。

5.布置作业一自主探究

（1）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，

且PA=PC,PB=PD.求证：POJ_平面ABCD

（2）课本P74练习1

（3）探究：如图，PA，。。所在平面，AB是。O的直径，C是圆周上一点，则图中

有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？

为作好铺垫，补充第（1）题直接运用线面垂直判定定理。第（3）题是一道开放性题目，

有助于培养学生的发散思维，为学有余力的学生安排的，这样，使不同程度的学生都有所获，

巩固新知识并培养应用意识。第（3）题还为下节课灵活运用线面垂直判定定理埋下伏笔。

效果分析

本节课的实施从整体上说是比较顺利的，学生的思维活动在教师的引导下展

开的比较充分，基本达到了教学目标.具体给出两个教学片断加以说明.

教学片断一：

在折纸试验的过程中，教师提出问题1:折痕与桌面一定垂直吗？

生：不一定.（学生手拿纸片，折出不与桌面垂直的折痕）

师：为什么你认为这条折痕不与桌面垂直？

生：因为它与3。不垂直，与C。也不垂直.

师：这能说明它与桌面不垂直吗？

生：能，因为定义说如果折痕与桌面垂直，那么它就和桌面的任意一条直线

都垂直.

师：非常好，其实这也是从另一个角度对定义进行理解：如果想说一条直线

与平面不垂直，只要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了.

通过这个片断的教学，使学生加深了对定义的认识和理解.

教学片断二：

仍然是在折纸试验过程中，教师提出问题2:如何翻折才能使折痕与桌

面所在的平面a垂直？

生1:当折痕是边上的高时，4。所在直线与桌面所在平面戊垂直.

师：如何保证此时折痕和桌面是垂直的？

生1:因为折痕与6。、8所成的角都是直角.

师：那折痕与80、CO两条直线垂直，就能说它与平面a垂直吗？

生1:因为3D、是两条相交直线，所以它们确定一个平面.

师：两条平行直线也确定一个平面，能说如果一条直线与两条平行直线都垂

直，那么就和平面垂直吗？

生2：以边为轴将三角形纸片绕轴旋转，刚才已经说明了折痕与8。、

CO两条直线垂直，旋转的过程中与3D、AO与CD的垂直关系没有发生改

变，从而保证AO与桌面上过。点的直线都垂直，其他不过。点的直线可以平行

移到。点说明与A£＞垂直，满足直线与平面垂直的定义.

以上的教学过程中，通过老师的不断追问，促使学生对问题深入思考，在发

现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高了几何直观能力，而且通过理性的

说理，增加了逻辑思维的成分.

在教师的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，学生在课堂上认真参与，

积极探索，学习热情较高，在基础知识的理解、基本思想的体会、以及几何直观

能力和抽象概括能力的提高等方面都有较大的进步.