初中数学-勾股定理

聚智堂学科教师辅导讲义

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课题勾股定理

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2=c2)

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b?=c2,那么这个三角形是

教学目的直角三角形。

3、满足/+/=°2的三个正整数，称为勾股数。

教学内容

、日校回顾

二、知识回顾

1.勾股定理

如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形

面积之间存在这样的关系：即C的面积=B的面积+A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直

角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。

勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么

222

a+1b7=c

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

说明：

(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。

A

勾\

B~~c

(2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下,

直角三角形中，a,b是直角边，c是斜边，但有时也要考虑特殊情况。

(3)除了利用a,b,c表示三边的关系外，还应会利用AB,BC,CA表示三边的关系，在AABC中，/B=90°,利

用勾股定理有AB-+BC2=AC2.

2.利用勾股定理的变式进行计算

由/+/=。2,可推出如下变形公式：

(1)a2=c22；

(2)b2=c2-a2

(3)a=Vc2-b2

(4)b=Vc2-a2

(5)c=^a2+b2(平方根将在下一章学到)

说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。

三、知识梳理

1、勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：

(1)已知直角三角形的两边求第三边

(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边

(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形

(1)先确定最大边(如c)

(2)验证与+〃是否具有相等关系

(3)若。2=/+",则AABC是以NC为直角的直角三角形；若c2¥a2+〃

则4ABC不是直角三角形。

3、勾股数满足。2+/=02的三个正整数，称为勾股数

如(1)3,4,5；(2)5,12,13；(3)6,8,10；(4)8,15,17

(5)7,24,25(6)9,40,41

四、例题讲解

（一）基本知识

勾股定理求边长

例1、如图所示，已知Rt/XABC中，ZACB=90°,CD±AB,若AC=4,BC=3,求CD的长。

c

例2、如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB。

A

例3、如图所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽2米,

每平、方米地毯需50元，那么这块地毯需花多少元?

B

AC

例4、如图,在△ABC中,ZACB=90°,CD±AB,D为垂足,AC=6cm,BC=8cm.

求①4ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。

A

D

B

练习C

1.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长的平方为（）

A.169B.169或ngC.169或225D.225

2.直角三角形的周长为12,斜边长为5,则面积为（）

A.12B.10C.8D.6

3.如果一个等腰直角三角形的面积是2,则斜边长的平方为（）

A.2B.4C.8D.472

4.若直角三角形两条直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为（）

8060

A.6cmB.——cmC.8cmD.——cm

1313

5.等腰三角形底边长10,腰长为13,则此三角形的面积为（）

A.40B.50C.60D.70

6.直角三角形中两条直角边之比为3：4,且斜边为20cm,求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长

直角三角形的判定

例1、满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是（）

A.b2=c2—a2

B.a：b：c=3：4：5

C.ZC=ZA-ZB

D.ZA：ZB：ZC=12：13：15

例2、三角形的三边长为（〃+b）2=/+2〃~,则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

例3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的NA和NBDC都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注

在图中，由此可知（）

A.NA符合要求

B.NBDC符合要求

C.ZA和ZBDC都符合要求

D.NA和/BDC都不符合要求

例4、如图己知AB±BC,A3=3,3C=4,CD=12,AD=13求四边形ABCD的面积

练习

1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7

2.三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）

A.a:b:c=8：16：17B.a2-b2=c2

C.a=（b+c）（b-c）D.a:b:c=13：5：12

3.三角形的三边长为伍+0）2=c?+2",则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.

4、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,ZB=90°,求证：ZA+ZC=180°。

简单应用

例1、一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高（）

A.10.5米B.7.5米C.12米D.8米

例2、如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分

米，那么梯子将平滑（）

A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米

例3.、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为

（一）类型题目

题型1、求最短距离。（折叠与展开）

例1、如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点8,如果圆

柱的高为8cS，圆柱的底面半径为色cm,那么最短

的路线长是（）

第19题

A.6cmB.8cmC.10cmD.lOzrcm

例2、如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程

的干方是______________

练习

1、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B，点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是.

2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿

直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长

为。

题2图

3、如图，在矩形A5CD中，43=6,将矩形458折叠，使点8与点口重合，C落在C'处，若AE：BE=1：2,

则折痕AD的长为o

4、如图，CD是RtAABC的斜边AB上的高，若AB=17,AC=15,求CD的长（

120123

A、VB、"17C、17D、7

（二）主要数学思想。

1、方程思想

例3、如图，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将4ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点

F,求CE的长.A_____________________八

例4、已知：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13.求△ABC的面积.

A

练习

1、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C处，折痕EF

与BD交于点0,已知AB=16,AD=12,求折痕EF的长。

B

2、已知：如图，△ABC中，ZC=90°,是角平分线，CD=15,BD=25.求AC的长.

2、分类讨论思想（易错题）

例题5、在RtZkABC中，已知两边长为3、4,则第三边的长为

例题6、已知在△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高等于8,则△ABC的周长为

练习

1、在RtaABC中，已知两边长为5、12,则第三边的长为

2、等腰三角形的两边长为10和12,则周长为,底边上的高是,面积是o

（三）勾股定理的应用

1、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hem,

则h的取值范围是

2、如图，四边形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,DA=13cm,且NABC=90。，则四边形ABCD的面积是

cm2„

五、课堂小结

知识结构

定理：a2+6,=c

直角三角形的性质:勾股定理//

\\直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足a?+万2=。2则

它是一个直角三角形.

六、家庭作业

一.选择题

1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）

A.25B.14C.7D.7或25

2.若线段a,b,c组成双△,则它们的比为（）

A.2：3：4B3：4：6C.5：12：13D.4：6：7

3.Rt△一直角边的长为11,另两边为自然数，则Rt△的周长为（）

A.121B.120C.132D.不能确定

4.如果Rt△的两直角边长分别为r?—1,2n（n>l）,那么它的斜边长是（）

A.2nB.n+1C.n2—1D.n2+l

5.已知Rt^ABC中，NC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则RtZ\ABC的面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

6.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

7.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则△ABE的面

积为（）

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

8.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港DA出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港

口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）

A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里

---------A东

IW

二.填空题

1.在RtZXABC中，/C=90°