高中数学易错题解题模型

高中数学易错题解题模型

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高考数学易错题解题方法大全

一.选择题

【范例1】掷两颗骰子得两数.则事件“两数之和大于4”的概率为<

答案：D

【错解分析】此题主要考杳用枚举法计兑占典概型.容易错在不细心而漏解。

【解题指导】求古典概型的概率常采用用枚举法.细心列举即可。

【练习1】矩形.48。中，，48=6,。。=7,在矩形内任取一点P,则乙与的概率为()

“.3n门3兀-3九八,37r

A.1--B.-C.-D.1-----

28281414

【范例2】将锐用为/44。=60°11边长是2的菱形沿它的对地线6。折成60°的:而加，则

()

①异面直线4C与3D所成角的大小是.

②点C到平而ABD的距离是

A.90°,3B.90°,2C.60°,-D.60°,2

22

答窠：A

【错解分析】此题容易错选为C,错误原因是对空间图形不能很好的吃透一

【解题指导】设6。中点为。,则有BDJ.平面NOC,则B£>JL/C,及平面ABD，平面/OC.设

&40c是边长为石的正三角形，作CEI/O,则CC面于是异而直找8。与力。所成的角是

90°,点C到平面ZB。的距离是Cf=3.

2

【练习2】长方体ABCD—ARCD中，AB=AA,=2,U)-l.E为CC,的中点，则异面直线BC与AE所成角的余弦

值为()

710V30「向63屈

AA.----BD-----C.----D,-----

10101010

【范例3】已知P为抛物线)，=:一上的动点，点P在x轴

射影为M,点A的坐标是(6.?),则|"|+归训的最小值是

答案：B

【错解分析】此题容易错选为C,在籍决抛物线的问题时经常需要把到线点的距阳和到准线的距离。.相转

化.

【解题指导】抛物线X?=2y的焦点为尸1°，一!卜点P到准线的距离为d.则

|PJ|+\PM\=\PA\+ci-^=|PJ|+|PF|-1.所以"IP,A,F二点共线时最小为=孩.

【练习3】己知定点4(3,4),点P为抛物线)，2=4x上动点，点P到直线x=-l的距离为d,则|PA+d

的最小值为()

A.4B.14sC.6D.8-2石

【范例4】函数/(x)=sinx+2|sinx|.xw[0.2m的图臬与直线y=a方R仅:行两个不同的交点，则人的

取值范围是()

A.{*|-1<*<3}B.{k\l<k<3}C.{*|1<k<3}D.{jt|l<A<3}

答案：C

【错解分析】此题容易错选为A,错误原因是对函数f(X)不能合理的化为

,,,.‘讨.।[3sinx,xe[0,n]

/(A)=sinx-i-2sinx=<°

11(-sinx,x€(n,2n]

【解题指导】作函数/(x)和直线y=4的草图，借助数形结合，可得，

【蕉习4】函数/(x)=sinx在区间卜,“上是增函数,Hf(a)==1,则cos等的值为(;

A.0B.—C.1D.-1

2

【范例5】平面上彳j"个圆.其中每两个都相交于两点，每一:个都无公共点，它们将平面分成/5)块区域,

有/(1)=2/(2)=4,/(3)=&/(4)=14,则/(加的表达式为()

A、2"B、n'—n+2C、2"-(»—1)(/!-2)[n-3)D、n3—5n'+lOn—4

答案：B

【错解分析】此题容易错选为A.借误原因是在作回纳猜想时没有认真审题只看到

/(IHZ/QHa/G)=&导致结论太片面已不合理.

【解题指导】由/(2)-/。)=2,/(3)-/(2)=4./(4)-/(3)=6,…，猜想八〃+1)-/(”)=2"

利用累加法，得/(”)=/-”+2.

【练习5】古裕脐数学家把数I.3.6.10,15.21,……叫做」.角数，它TT一定的规律性，第30个：角

数与第28个三角数的甚为()

A.20B.29C.30D.59

【范例61函数f(x)=3'(xW2)的反函数的定义域是()

A.(-oo,9]B.[9,+oo)C.(0,91D.(0,+<»)

答案：c

【错解分析】此题容易错选为D,错误原因是对原函数与反函数理就不透，

【解题指导】反函数的定义域即为原函数的值域，所以求原函数的值域即可。

【练习6]若函数Mx）的反函数/T（X）=1+/（X<0）,则/（2）=（）

A.1B.-1C.1或一1D.5

二.填空题

【范例7]若4={xwZ|2i2*<8}.»={.r€/?|log,x>l}.则/c8=.

答案：{3}

【错解分析】此题容易错填为（1,3],错误原因是没行看清楚A中的元素要是整数：

【解题指导】/={l.2.3}.B={.r|x>2}

【练习71已知集合A=[xwN|三wA'},集合A的子集共有个.

【范例81给出下列命题

①向量G、E满足同咽叩-砧则々与的夹角为30°；

②a»b>0,是[右的夹角为锐角的充要条件：

③将函数y-卜-l|的图象按向敏「-（-1,0）平移.得到的图象时应的函数表达式为y-\x|；

④着（£一/2）=0，则&48c为等腰Y角形：

以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填1二）

答案：③©

【错解分析】此题容易错选为①②，错误原因是对一芈特殊情况考虑不周到c

【解题指导】利用向量的仃关概念，逐个进行判断切入，

对于①取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；

对②取特值夹角为直角错，认识数量枳和夹角的关系，命题应为£•]>（）,是5、3的夹角为锐角的

必要条件：

对于③，注意按向最平移的意义，就是图象向左移】个单位，结论正确：

对于④；向量的数5枳满足分配率运算，结论正确.

【练习8】已知£=（-；.g）,B=则|£+正!（“K）的最小值等于.

2

【范例9】已知抛物线产=2内（2>0）上一点M3，”）到其焦点的距离为5,双曲线1的左

a

顶点为A,若双曲线条渐近线与直线40垂直，则实数〃=.

答案：-

4

【错解分析】此题容易错在拗物线不能求对，下面就无法解决了。

【解题指导】抛物线为/=I6x,，"=±1.渐进线为_>，=士Gx.

【练习9】•个酒杯的轴截面是抛物线的部分，它的方程是X?=2)，(04y420).在杯内放入一个玻

璃球.要使球触及酒杯底部.则玻璃的*径/•的范围为.

【范例1。】若(X+')”展开式的项式系数之和为64,则展开式的常数项为.

X

答案：20

【偌解分析】此题容易错在找不对第几项是常数项.对二项展开式的基本性侦还要掌握好。

【解题指导】2"=64,〃=6,常数项为盘=20.

【练习10］若(x-京)”的展开式中第三项系数等F6,则n等于.

【范例11】如果复数(l+“i)(2+i)的实部和虚部相等，则实数“等于.

答案：|

【错解分析】此题容易错写1•切记：产=1.

【解题指导】(1+fl/)(2+i)=(2-a)+(l+2d)i.

【练习11】&.z=a+bi.a,b^Rz=a+bi.将一个骰了连续抛掷两次,第一次得到的点数为。，笫.

次得到的点数为b，则使蜕数j为纯虚数的概率为.

［范例12］已知函数/(x)=，，*'+lnx-2x在定义域内是增函立则实数，”的取值范愠为.

答案：加与；，

【情解分析】此题容易错填，”>•!•等,错误炊因是对利用r>。求解.

2

【解题指导】注意区别不等式有解与恒成立:

a>/(x)W成立。。>/mM(x)：。</(x)恒成立<=>«<fmm(x)：

Cl>/(x)有解O“>Znm(X)：a</(xMj解O<(X)

/■(x)=2，”x+4-220在(O.+oo)上恒成立，m>--1+L所以，”2(^-+—)nui

x2Vxlx'x

所以m21.

【练习12】已知函数/(x)的导函数/'(x)=2x-9,H/(0)的值为整数，''ixe(».nH］(ne；V)时.f(x)

的值为整数的个数仃口只有】个，则”.

三解答题

【范例13】设数列｛%｝的前n项和为S“=2〃2,｛“,｝为等比数列,且％="，&&-%)=%

(1)求数列｛«“；和也,｝的通项公式：

(2)设c“=¥，求数列｛c〃｝的前n项和7；.

瓦

【错解分析】(D求数列｛4｝的通项公式时,容易遗忘对n=l情况的检览.

(2)错位相减法虽然是种常见方法,似同时也是容易出错的地方.一定要仔细.

解：(1)当”=1时,q=$=2;

当”22时,a“=5,-5.」=2/-2(〃-1尸=4〃-2,

故｛明｝的通项公式为a„=4n-2,即｛”,｝是“产2.公差4=4的等差数列.

设｛，,｝的通项公式为明则々夕〃=b.d=4;g=—.

t4

故"一“-2x击,即也J的通项公式为"一白.

⑵•・,q=匕=<"J=(2"-1)4"，

A3

4"।

12

，Tn=G+C+…+q=[l+3x4+5x4+・・・+(2〃-l)4"”],

47；=[1x4+3x4?+5x4、+…+(2〃-3)4"।+(2〃-1)4"]

两式相战得：

3T„=-I-2(4'+4?+4-+…+4"-')+(2w-1)4*=1[(6n-5)4"+5]

/.7；=-[(6n-5)4"+5].

【练习13］谀等比数列｛”“｝的前”项和S“，首项%=1,公比</=/a)=3(/lH-l,0).

⑴证明：*=(1十/)一4外；

⑵若数列｛4｝满足4=；,b,=/(/)„.,)(«€N\n>2).求数列｛a｝的通项公式；

(3)若2=1.记与=《,(」•-1),数列｛6｝的前项和为7；.求证：当”22时.2<7；<4,

h

【范例14】已知斜一棱柱IBC-48cl的各棱长均为2,恻楂8瓦与底面48。所成例为

且侧面ABBtAt1底面ABC.

(1)证明：点4在平面上的射影O为的中点:

5

(2)求一.面角C-力与-8的大小；

(3)求点£到平面CB/的距离.

【错解分析】对于汇体几何的用和距离，•定要很好的理解“作.证，”.个字C

你做到了吗？

解：(1)证明：过Bl点作&O_LBA。♦・,便面ABBA_L底面ABC

・・・%0_1_面ABC，NB,BA是侧面BB,与底面ABC倾斜角，ZB.BOy

在RtZSBQB中,BB52./.BO=-BB=1

2'

乂・・・BB-AB,Z.BO--\B1.0是AB的中点，

2

即点B,在平面ABC上的射影。为AB的中点.

(2)连接AB,过点。作OM_LAB,,连线CM,0C.C

VOC±AB.T'lftiABC±T'rfnAABB,...OC，平面AABB.；.0M是斜线CM在平面AA：B,B的射影VOMIAB,

.•.AB,±CM.'.ZOMC是：面角C—AB,—B的平面向

在RtZXOCM中，OC-JL0M-与…"MC=Q

ZOMC=arctan2.：［fflftCAB,B的大小为arctan2.

<3）过点0作ON±CM,VAB,_平而OCM.AAB.XON

...（）、一平面AB^.AON是0点到平面AB£的距离

任&/AOMO|',OC=&OM=3cM=RT

,加=。”.。。=学A旦=在

CM叵5

F

连接的与B£相交于点H,则H是BC,的中点，.'B与C,到平面MB,的相导.

XVO是AB的中点...B到平面ABC的距离是0到平面ABC跟离的2倍

A点G到平面ABC距离为#5.

【练习14］如图，在长方体ABCD—A,B,CR中，ADAA1.AB=2,点E在棱AB上移动.

(I)证明：0.E1M：

(2)当E为AB的中点时,求点A到面ECD,的距离：

<3)AE等于何位时，二面角D,-EC⑴的大小为£.

4

【范例15】设函数/(X)=Inx-px+1

H

<1)求函数/(外的极值点:

(2)当p>0时，若对任意的x>0.恒行/(K)40.求P的取值范围;

In2?In32ln/r2/r-w-l

(3)证明:..-4..-4----F---<----------(〃eN,n/2).

2232n22("+1)

储解分析】<1)对于p的正负的讨论是容易出错的地方。

2)恒成立间题的解决要灵活应用

3)放缩法在数列中的应用是此题的难点

!：(I)•.•/(x)=lnK-px+l「./(X的定义域为0.+<»)，

f'(x)=--/>=-■——?l，ip40U寸，f'(x)>0.，(x)在(0,+oc)上无极值点

XX

当p/0时，令f\x)=o,.-.X=-e(O,+OC),f(x)随X的变化情况如下表:

P

(0,L

X(-,+¥)

pp

/V)+0—

f(x)/极大值、

从上表可以看出：当P>0时,/(K)有唯的极大值点X=L

P

(2)当p〉0时在x=L处取得极大值/■(')=\n-.此极大值也是最大值,

PPP

要使/'(x)£0恒成立，只需/(■!")=ln，£0,p31

PP

；・P的取值范围为[1，*8)

(3)令p=1,[h(2)知，Inx-x4-1<Inx<x-hvnGn>2

/.Inw24/J-1,

.ln/r//-111

—————=1--r

/r/r

.In22In311「1、

..-^-+丁+..+-^-4(1-»)+n(1-歹+...+(1-萨)

n

<(“-1)-(—!—+—J—+…+—!—)

2x33x4〃(〃+】)

,八/11I11

=(71-])—(———+———

2334nn+l

112,「-〃-1

・••结论成立

【练习15]设/(x)=ge7(2x2+4ax+4”).

（1）求a的值,使/（x）的极小值为0；

（2）证明：.当旦仅肖a二3时，/⑴的极大值为4.

练习题参考答案:

1.D2.B3.B4.C5.D6.B7.88.—9.0<rS110.1211.-

26

含门

13.解（1）$"=皿二也=)»]=(i2)-x(^-r'

=(l+/i)[l-(+

"q

而4=卬匕产=（£"）"'所以Z=。+义）-而“

1+41+人

11,

⑵“卜含.，4二袅—=---+1.

bitb”T,

是首项为：=2,公差为1的等差数列,所以，=2+（〃-1）="+1.即4=一彳

(3)A=1时，勺=

:

相诚得,17；=1+(1)+(1)+-+(1)-'-«(1)"=2[i-(lri-n(1r

...7；=4一(；)"-2-“(；广]<4,

乂因为c“=”(；)"T>0,，7；版调递增，7；24=2,

故当”22时，2<7；<4.

11.(1)证明：连/A，

在长方体ABCD-A.BC.R,ADy为DXE在平面ADl的射影,

而AD-AA,=l,则四边形ADD}A,是正方形=>A]1)1AD,.

由三垂线定理得，E.A,l)

(2)解：以点D为原点，DA为x轴,DC为y轴比士如图所示的白.角坐标系”则41,0.0)

凤1,1.0)、5(1.2.0).C(0,2,0),"(0,0,1)则近=(0,1.0),£C=(-L1,O).

T\C=(0,2,-1).设平面。EC的法向。为nt=(x,y,二)

(n.-EC=0(-x+y=0—

标年=0=羯一=0-e：2,记〃尸口2)

|1_瓜

・••点A到面ECD的距离d=

i«i।m6

(3)解：设£(l,%0)则的=(-1、2-.％,0),设平面0EC的法向盘为1=(x,j，,z)

.[n.■EC=0[-.r+v(2-y0)=0—

-1--------=>{..nx:y:z=(2-打)：1:2，记多=((2-必),1,2)

|[M,D,C=0\2y-z=Q

TC

而平面ECD的法向量%=(0,0,1),则•面角D]一EC—D的平面角々，公>=­