吉林省长春汽车经济技术开发区第九中学2025届数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析

吉林省长春汽车经济技术开发区第九中学2025届数学九上期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切2．若，则的值等于（）A． B． C． D．3．要得到函数y＝2(x－1)2＋3的图像，可以将函数y＝2x2的图像（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度4．方程的解是（）A．0 B．3 C．0或–3 D．0或35．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（）A．2 B．2.5 C．3 D．46．若，则的值为（）A．0 B．5 C．-5 D．-107．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不是8．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（）A．（-3，-1） B．（-2，-6） C．（2，6）或（-2，-6） D．（-1，-3）9．把抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线().A． B． C． D．10．下列选项的图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在平行四边形中，点、在双曲线上，点的坐标是，点在坐标轴上，则点的坐标是___________.12．一元二次方程配方后得，则的值是__________．13．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）．投篮次数（n）50100150200250300500投中次数（m）286078104123152251投中频率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.5014．若抛物线y＝x2﹣4x+m与直线y＝kx﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），则关于x的方程x2﹣4x+m＝k（x﹣1）﹣11的解为_____．15．如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路的宽为_______16．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．17．如图，在Rt△ABC中，，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝__________．18．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，AD是高．（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求线段AD，BD与弧所围成的封闭图形的面积．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=1．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣3时，求方程的根．21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（点C不与A，B重合），连接CA，CB．∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D．（1）求∠ACD的度数；（2）探究CA，CB，CD三者之间的等量关系，并证明；（3）E为⊙O外一点，满足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若点P为AE中点，求PO的长．22．（8分）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情．(1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是；(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB＝AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为5，sinB＝，求DE的长．24．（8分）三个小球上分别标有数字﹣2，﹣1，3，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为m，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为n，这样确定了点(m，n)．（1）请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点(m，n)所有可能的结果；（2）求点(m，n)在函数y＝x的图象上的概率．25．（10分）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．26．（10分）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可.【详解】圆的直径是13cm，故半径为6.5cm.圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm，因此直线与圆相切或相交.故选D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为6.5cm，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm是指圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm.2、B【分析】将整理成，即可求解．【详解】解：∵，∴，

故选：B．【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．3、C【解析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．4、D【解析】运用因式分解法求解.【详解】由得x(x-3)=0所以，x1=0,x2=3故选D【点睛】掌握因式分解法解一元二次方程.5、B【解析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．6、C【分析】将转换成的形式，再代入求解即可．【详解】将代入原式中原式故答案为：C．【点睛】本题考查了代数式的运算问题，掌握代入法是解题的关键．7、A【详解】∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限，∴k﹣1＜0，即k＜1．故选A．8、C【解析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求出答案.【详解】由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点的对应点的坐标是或，即点的坐标是或故选：C.【点睛】本题考查了位似变换中对应点坐标的变化规律，理解位似的概念，并熟记变化规律是解题关键.9、D【分析】直接根据平移规律（左加右减，上加下减）作答即可．【详解】将抛物线y=x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y=（x-1）2+1．

故选：D．【点睛】此题考查函数图象的平移，解题关键在于熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．10、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查的是中心对称图形，理解中心对称图形的定义是判断这四个图形哪一个是中心对称图形的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】先根据点A的坐标求出双曲线的解析式，然后根据点B,C之间的纵坐标之差和平行四边形的性质求出点D的坐标即可.【详解】∵点在双曲线上∴∴∴∵点B,点在坐标轴上∴B,C两点的纵坐标之差为1∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，AD=BC∴A,D两点的纵坐标之差为1∴D点的纵坐标为∴∴∴的坐标是故答案为【点睛】本题主要考查反比例函数及平行四边形的性质，掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键.12、1【分析】将原方程进行配方，然后求解即可.【详解】解：∴-m+1=nm+n=1故答案为：1【点睛】本题考查配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键.13、0.1【解析】利用频率的计算公式进行计算即可.【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1110次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.1．故答案为0.1．【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度不大．14、x1＝2，x2＝1【分析】根据抛物线y＝x2﹣1x+m与直线y＝kx﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），可以求得m和k的值，然后代入题目中的方程，即可解答本题．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣1x+m与直线y＝kx﹣13（k≠0）交于点（2，﹣9），∴﹣9＝22﹣1×2+m，﹣9＝2k﹣13，解得，m＝﹣5，k＝2，∴抛物线为y＝x2﹣1x﹣5，直线y＝2x﹣13，∴所求方程为x2﹣1x﹣5＝2（x﹣1）﹣11，解得，x1＝2，x2＝1，故答案为：x1＝2，x2＝1．【点睛】本题主要考查的是二次函数与一次函数的交点问题，交点既满足二次函数也满足一次函数，带入即可求解.15、1【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设道路宽为x米，

根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积得：，

解得：x1=1，x2=1．

∵1＞20，

∴x=1舍去．

答：道路宽为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．16、（2，﹣1）．【解析】先把函数解析式配成顶点式得到y=（x-2）2-1，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．解：y=（x-2）2-1，

所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）．

故答案为（2，-1）．“点睛”本题考查了二次函数的性质．二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=（x-h）2+k；两根式：y=a（x-x1）（x-x2）．17、9【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.【详解】解：∵，,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,∴△BCD∽△BAC,∴,∴,∴BD=9.故答案为：9.【点睛】本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.18、.【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴.∴可设.∴根据勾股定理可得.∴.考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）【分析】（1）作BH⊥AC交AD于O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．（1）线段AD，BD与所围成的封闭图形的面积＝S扇形OAB+S△BOD．【详解】解：（1）如图，⊙O即为所求．（2）∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BH⊥AC，∴BD＝CD＝3，∠OBD＝∠ABC＝30°，∠AOB＝2∠C＝120°，∴OD＝BD•tan30°＝，OB＝2OD＝2，∴线段AD，BD与所围成的封闭图形的面积＝S扇形OAB+S△BOD＝×3×＝2π+．【点睛】本题考查的知识点是作圆以及求不规则图形的面积，熟记扇形的面积公式是解此题的关键．20、（1）原方程无实数根.（2）x1=1，x2=﹣3.【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号即可判断：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根.（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.【详解】解：（1）∵当m=3时，△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜1，∴原方程无实数根.（2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=1，∵（x﹣1）（x+3）=1，∴x﹣1=1，x+3=1.∴x1=1，x2=﹣3.21、（1）∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，见解析；（3）OP＝．【分析】（1）由圆周角的定义可求∠ACB＝90°，再由角平分线的定义得到∠ACD＝45°；（2）连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；先证明△BGF是等腰直角三角形，得到BG＝BF，AG＝BF，再证明△CDF是等腰三角三角形，得到CF＝CD，即可求得BC+AC＝CD；（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；先证明Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），再证明△AED是等腰三角形，分别求得EN＝，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，OP＝BN＝．【详解】解：（1）∵AB是直径，点C在圆上，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D，∴∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；∴∠CDG＝∠CBG＝90°，∵∠ACB＝90°，∴AC∥BG，∴∠CGB＝∠ACG，∴∠CGB＝45°+∠DCG，∵∠CBF＝90°+∠DCG，∴∠BGF＝45°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BG＝BF，∵△ACO≌△BGO（SAS），∴AG＝BF，∵△CDF是等腰三角三角形，∴CF＝CD，∴BC+AC＝CD；（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，∴AD＝BD，∵AB＝5，∴BD＝AD＝，∵∠MAD＝∠BDN，∴Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），∴AM＝DN，MD＝BN，∵ED＝BD，∴△AED是等腰三角形，∵AE＝3，∴AM＝，DM＝，∴EN＝，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，∵P是AE的中点，O是AB的中点，∴OP＝BN，∴OP＝．【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，考查了等腰三角形的性质、圆周角定义、角平分线、全等三角形的判定及性质，勾股定理等多个知识点，根据题目作出适合的辅助线是解此题的关键．22、（1）；（2）【分析】（1）根据甲、乙两所医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画图如下：共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，则所选的2名教师性别相同的概率是：；故答案为：.（2）将甲、乙两医院的医生分别记为男1、女1、男2、女2，画树形图得：所以共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．∴P(2名医生来自同一所医院的概率)＝．【点睛】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．23、（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据线段垂直平分线的性质证明；（2）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，得到DE⊥OD，证明结论；（3）解直角三角形求得AD，进而根据勾股定理求得BD、CD，据正弦的定义计算即可求得．【详解】（1）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又DC＝BD，∴AB＝AC；（2）证明：如图，连接OD，∵AO＝BO，CD＝DB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线；（3）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵⊙O的半径为5，∴AB＝AC＝10，∵sinB＝＝，∴AD＝8，∴CD＝BD＝＝6，∴sinB＝sinC＝＝，∴DE＝．【点睛】本题考查的是圆周角定理、切线的判定定理以及三角形中位线定理，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．24、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意列表，然后写出点（m，n）所有可能的结果即可；（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种，由概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）列表如下：点（m，n）所有可能的结果为：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣1），（3，﹣1），（﹣2，3），（﹣1，3）（3，3）；（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1），（3，3），∴点（m，n）在函数y＝x的图象上的概率为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及一次函数的性质等知识；列表得出所有结果是解题的关键．25、（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或．【解析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；

（2）S△DAC=2S△DCM，则，，即可求解；

（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）二次函数表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：…①，则点，将点的坐标代入一