备考2025届高考数学一轮复习好题精练第七章立体几何与空间向量突破1球的切接问题

突破1球的切、接问题1.[2024辽宁省模拟]“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积的比值为（B）A.2 B.32 C.3 D.解析设球的半径为R，由题意得，圆柱的高及底面圆的直径等于球的直径，则圆柱的体积为πR2·2R＝2πR3，球的体积为43πR3，所以该圆柱的体积与球的体积的比值为2πR32.[2024湖北省武汉市青山区检测]在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝3，PB＝AC＝2，PC＝AB＝5，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（C）A.2π B.3π C.6π D.6π解析如图所示，可将三棱锥P－ABC放到长方体中，可得长方体的三条面对角线长分别为3，2，5.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则a2＋b2＝3，a2＋c2＝2，c2＋b2＝5，得a＝1，b＝2，c＝3，所以三棱锥P－ABC外接球的半径R＝12×12＋（2）23.[2024青岛检测]已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为35π，则该圆台外接球的半径为（B）A.1055 B.654 C.1854 解析设圆台的母线长为l，则由题意，得π×（1＋2）l＝3πl＝35π，解得l＝5.所以圆台的高h＝（5）2－（2－1）2＝2.设该圆台外接球的球心到上底面圆心的距离为设圆台外接球的半径为R，则R2＝d2＋1＝｜d－2｜2＋22，解得d＝74，所以R2＝6516，所以R＝654.[2024高三名校联考（一）]在四面体ABCD中，BA，BC，BD两两垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，则四面体ABCD内切球的半径为（C）A.4－610 B.5－610 解析因为BA，BC，BD两两垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，所以AC＝AD＝5，CD＝22.如图，取CD的中点为E，连接AE，则AE⊥CD，所以AE＝AD2－DE2＝3，△ACD的面积S1＝12×22×3＝6，所以四面体ABCD的表面积S＝12×1×2×2＋12×2×2＋6＝4＋6.四面体ABCD的体积V＝13×12×2×2×1＝23.设四面体ABCD的内切球的半径为r，则V＝13S5.[2024四川成都高三模拟]在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（C）A.103π B.18π C.20π D.93π解析三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，故该三棱锥可补形为正六棱柱，如图，所以该三棱锥的外接球即为该正六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R＝42＋22＝25，则R＝5，所以该球的表面积为S＝4πR2＝4π×（5）2＝6.[2024重庆市巴蜀中学模拟]已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为42，PA＝45，则平面PCD截四棱锥P－ABCD外接球所得截面的面积为（C）A.100π9 B.50π3 C.200解析设正方形ABCD的中心为E，CD的中点为F，连接PE，EF，PF，CE，如图所示，易知PE⊥底面ABCD，PC＝45，EF＝22，CE＝4，PE＝8，记正四棱锥的外接球球心为O，则点O在PE上，连接OC，OF，设外接球半径为R，则OP＝OC＝R.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋EC2，所以R2＝（8－R）2＋16，解得R＝5，即OP＝5.在Rt△PEF中，PF＝PE2＋EF2＝82＋（22）2＝62.过O作OQ⊥PF，则OQ为点O到平面PCD的距离，且Q为平面PCD截其外接球所得截面圆的圆心，易知△PEF∽△PQO，则PQPE＝OPPF，即PQ8＝567.[2024湖南省衡阳八中模拟]如图，在三棱锥S－ABC中，SA＝SC＝AC＝22，AB＝BC＝2，二面角S－AC－B的正切值是2，则三棱锥S－ABC外接球的表面积是（A）A.12π B.4π C.43π D.43解析设E是AC的中点，连接EB，ES，由于SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SE，AC⊥BE，所以∠SEB是二面角S－AC－B的平面角，所以tan∠SEB＝2，所以cos∠SEB＝33.在△SAC中，SE＝SA2－AE2＝（22）2－（2）2＝6，在△ABE中，BE＝所以BS＝BA＝BC＝2，由SA＝SC＝AC＝22，易知BS，BA，BC两两垂直.由此将三棱锥S－ABC补形成正方体如图所示，正方体的棱长为2，则体对角线长为23.设正方体外接球的半径为R，则R＝3，所以所求外接球的表面积为4πR2＝12π，故选A.8.[2024江西分宜中学、临川一中等校联考]蹴鞠[cùjū]，又名“蹴球”“蹴圆”，传言黄帝所作（西汉·刘向《别录》）.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球，因而“蹴鞠”类似今日的踢足球活动，如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，平面ABD⊥平面BCD，直线AC与平面BCD所成角的正切值为13，AB＝AD＝2，CD＝CB＝23，则该“鞠”的表面积为（A）A.20π B.16π C.12π D.8π解析如图，取DB的中点E，连接AE，CE，设BE＝x.因为AB＝AD，所以AE⊥DB，所以AE＝AB2－BE2＝4－x2.因为CD＝CB，所以CE⊥BD，CE＝BC2－BE2＝12－x2.因为AE⊂平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，所以∠ACE为直线AC与平面BCD所成的角，则tan∠ACE＝AECE＝4－x212－x2＝13，得x＝3，BD＝23，所以AE＝1，∠BAD＝2π3，∠BCD＝π3.设△BCD的外心为O1，△ABD的外心为O2，△BCD外接圆半径为r1，△ABD外接圆半径为r2，则r1＝BD2sinπ3＝2，r2＝BD2sin2π3＝2，所以CO1＝2.可知点O2在AE的延长线上，连接O2E，则O2E＝AO2－AE＝1.过O2，O1分别作平面ABD，平面BCD的垂线，则两垂线的交点O为三棱锥A－BCD外接球的球心，则四边形O2EO1O为矩形，所以OO1＝O2E＝1.连接OC9.[多选/2024青岛市检测]正四棱锥P－ABCD的底面边长是4，侧棱长为42，则（BCD）A.正四棱锥P－ABCD的体积为326B.侧棱与底面所成角为πC.其外接球的半径为4D.其内切球的半径为6解析如图所示，设点O1为正方形ABCD的中心，连接PO1，则PO1⊥平面ABCD.因为AB＝4，所以AO1＝22，因为PA＝42，所以PO1＝（42）2－（22）2VP－ABCD＝13×16×26＝3263，选项∠PAO1是侧棱与底面所成的角，tan∠PAO1＝PO1AO1＝2622＝3，所以∠设点O为正四棱锥P－ABCD外接球的球心，则点O在线段PO1或在线段PO1的延长线上，连接AO，设外接球的半径为R，则OA＝OP＝R，OO1＝｜26－R｜，OA2＝O1A2＋O1O2，即R2＝（22）2＋（26－R）2，解得R＝463，选项C设正四棱锥P－ABCD内切球半径为r，取BC的中点M，连接O1M，PM，则PM⊥BC，且PM＝PO12＋O1M2＝（2616＋12×4×27×4＝16（1＋7），因为13S·r＝VP－ABCD，所以13×16（1＋7）·r＝3263，解得r＝267+110.[多选/2024惠州市一调]已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以正方体中心O为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（BD）A.球O的半径R＝1B.球O在正方体外的部分的体积大于23π－C.若点P在球O位于正方体外的部分（含正方体表面）上运动，则PA·PB∈[－14，3D.若点P在球O位于正方体外的部分（含正方体表面）上运动，则PA·PB∈[－14，7解析对于A，正方体的棱切球O的半径R＝12＋122＝2对于B，如图，易知球O在正方体外的部分的体积V＞V球O－V正方体＝43π×（22）3－13＝23π－1，故对于C，D，取棱AB的中点E，可知E在球面上，EB＝－EA，连接PE，则PA·PB＝（PE＋EA）·（PE＋EB）＝PE2－EA2＝｜PE｜2－14＝｜PE｜2－14.因为点P在球O位于正方体外的部分（含正方体表面）上运动，所以0≤｜PE｜≤2，所以PA·PB∈[－14，74]，C11.将一个棱长为acm的正方体铁块磨制成一个球体零件，若这个球体零件最大体积为36πcm3，则a＝6.解析由题意得，球内切于正方体时，球的体积最大，设球的半径为Rcm，则2R＝a，R＝a2，所以43πR3＝43π（a2）3＝36π12.[2024辽宁部分学校联考]在三棱锥A－BCD中，∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝2，AB＝4，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为16π.解析由∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝2，AB＝4，依据余弦定理可得AC＝AD＝23，则AC⊥BC，AD⊥BD，所以AB的中点E到三棱锥各顶点的距离相等，则三棱锥A－BCD外接球的直径为AB＝4，故三棱锥A－BCD外接球的表面积为4π×（AB2）2＝13.[2024广东佛山高三摸底考试]已知圆锥的内切球的体积为4π3，则当该圆锥体积取最小值时，其表面积为8π解析设圆锥的内切球的半径为r1，可得43πr12＝4π3，解得r1＝1，设圆锥的底面圆的半径为r，高为h（h＞2），圆锥的轴截面如图所示，由△AOE∽△ACF，可得OECF＝AEAF，即1r＝（h－1）2－12h，解得r＝hh2－2h，所以圆锥的体积V＝13πr2h＝πh23（h－2）＝π3[（h－2）＋4h－2＋4]≥π3[2（h－2）·4h－2＋414.[2024江西省新余市第一中学模拟]已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1，再放入一个球O2，使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为6π.解析如图，设该正四面体为A－BCD，点A在平面BCD上的投影为