七年级数学下册-第09讲 多项式乘多项式（6种题型+强化训练）（解析版）

第09讲多项式乘多项式理解多项式乘多项式运算的算理，会进行多项式乘多项式的运算（仅指一次式之间以及一次式与二次式之间相乘）；经历探究多项式乘多项式运算法则的过程，感悟数与形的关系，体验转化思想，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．多项式乘多项式法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.2.多项式与多项式相乘的几何解释如图大长方形的面积可以表示为(a+b)(m+n)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn.所以(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.3.拓展:本法则也适用于多个多项式相乘，按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，以此类推4.易错警示:(1)在多项式的乘法运算中,容易漏乘项.(2)计算结果中还有同类项没有合并题型一:利用多项式乘多项式法则计算1．（2023下·江苏·七年级专题练习）计算：．【答案】【分析】根据多项式乘多项式的运算法则即可得．【详解】．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．2．（2023下·江苏·七年级专题练习）计算：．【答案】【分析】直接根据多项式乘以多项式的法则进行计算；先去括号，再合并同类项．【详解】解：【点睛】本题考查了多项式乘以多项式；根据乘法分配律，去括号，再合并同类项是关键．题型二：先化简再求值3．（2023下·江苏·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：原式；当时，原式．【点睛】本题考查了多项式的乘法的化简求值，正确的去括号是解题的关键．题型三：利用多项式乘多项式的积中项的特征求待定字母的值4．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知的展开式中不含项，项的系数为，求的值．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据展开式中不含项，得出，，进而即可求解．【详解】解：∵展开式中不含项，项的系数为，∴，，整理得：，∴．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．5．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把、看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．【理解应用】(1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值；(2)已知，，且的值与无关，求的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案．【详解】（1）解：，其值与的取值无关，，解得，，答：当时，多项式的值与的取值无关；（2），，，的值与无关，，即．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键．6．（2023下·江苏·七年级期中）已知多项式与的乘积不含和两项．求代数式的值．【答案】2【分析】先计算，根据乘积不含和两项，求出的值，再代入代数式进行计算即可．【详解】解：，；∵乘积不含和两项，∴，∴，∴．【点睛】本题考查多项式乘积不含某项的问题．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．题型四：利用整式的乘法解方程7．（2023下·浙江·七年级专题练习）若，求的值．【答案】【分析】本题考查了多项式的乘法法则以及多项式相等的条件，理解多项式的乘法法则是关键．首先把利用多项式的乘法公式展开，然后根据多项式相等的条件：对应项的系数相同即可得到m、n的值，从而求解．【详解】解：，则，解得：．．题型五：利用整式乘法解决看错类问题8．（2023上·重庆·七年级校联考期中）小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为．(1)当时，求多项式A的值；(2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则．（1）将错就错，把与错误结果代入确定即可；（2）化简，根据不含项和x项求出结果．【详解】（1）解：根据题意得：，当时，原式；（2）解：，，，结果不含x2项和x项，，．9．（2023下·江苏·七年级期中）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算的结果．【答案】(1)，(2)【分析】(1)根据题意可得出，，求出a、b的值即可；(2)把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则计算即可．【详解】（1）解：根据题意得：，，所以，，，解得：，；（2）解：把，代入，得．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，等式的性质，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．题型五：利用数形结合思想巧解整式的运算10．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期中）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．

(1)请写出图（3）所表示的代数恒等式：________；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示等式；(3)请仿照上述方法另写一个含有的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．【答案】(1)(2)见解析(3)，图见解析【分析】（1）图（3）中大长方形的长为，宽为，根据题意列出恒等式；（2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可；（3）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可．【详解】（1）解：；（2）解：如图所示：

；（3）解：恒等式，如图所示：

．【点睛】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，应从整体和部分两方面来理解多项式乘法的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．11．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）小兰和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：．

(1)图③可以解释为等式：_________；(2)请在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并标出此长方形的长和宽；(3)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个长方形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的有（

）．A．个

B．个

C．个

D．个【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据③中图形确定边长，可求出面积，根据①中图形的面积，因为面积相等，由此即可求解；（2）根据长方形面积可确定有个边长为的正方形，个长为、宽为的长方形，个边长为的正方形组成，由此即可求解；（3）根据题意可得，，，根据几何图形的面积计算方法，图形结合即可求解．【详解】（1）解：根据图示可知，长方形的长为，宽为，∴长方形的面积为，∵根据①中图形的面积可知，③中图形的面积为：，∴两种方式计算的长方形的面积相等，即，故答案为：．（2）解：长方形面积为，∴长方形的两边长为：，，如图为其中一种图形；

（3）解：大正方形的边长为，小正方形的边长为，用表示四个长方形的两边长，∴①，故原命题正确；②∵，，∴，故原命题正确；③∵，，∴，故原命题正确；④∵用表示四个长方形的两边长，∴是每个长方形的面积，则四个长方形的面积为，∵表示大正方形的面积减去小正方形的面积，∴表示每个长方形的面积，∴成立，故原命题正确；故选：．【点睛】本题主要考查整式运算与几何图形面积的关系，掌握整式乘除法的运算法则，几何图形面积的计算方法是解题的关键．题型六：利用整式乘法探究规律12．（2023下·江苏·七年级专题练习）阅读以下材料：；；…(1)根据以上规律，；(2)利用（1）的结论，求的值；(3)利用（1）的结论，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）读懂题意利用规律填空即可：（2）利用（1）得到的规律把代入求解即可；（3）利用（1）得到的规律把代入求出，由此即可得到答案．【详解】（1）解：∵；；……，∴可以推出，故答案为：（2）解：∵，∴当时，，∴；（3）解：∵，∴当时，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．13．（2023下·江苏·七年级校联考期中）观察下列等式①；②；③；…(1)仿照上面的式子，写出一个符合以上规律的式子是：__________；(2)试用字母表示上述式子的规律，并说明结论的正确性．【答案】(1)；(2)，说明见解析．【分析】（1）根据题干中的等式找出规律，写出新的式子即可；（2）根据题干发现的规律，由特殊到一般，得出结论，再证明正确性即可．【详解】（1）解：通过观察，写出新的式子为，故答案为：；（2）解：，说明如下：左边右边，结论成立．【点睛】本题考查了数字类规律探索，关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行验证．14．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中）阅读以下材料，回答下列问题：小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：

也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数．延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算所得多项式的一次项系数为______．(2)计算所得多项式的一次项系数为______．(3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______．(4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．(5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．【答案】(1)7(2)(3)(4)5，10(5)10，【分析】（1）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解；（2）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解；（3）由所得多项式中不含一次项，可得，即可求解；（4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可．【详解】（1）解：，故答案为：7；（2），故答案为：；（3）由题意得，，也就是，，所以，；故答案为：；（4）一次项系数为：；二次项系数为：．故答案为：5，10；（5）．．一次项系数为：，二次项系数为：．故答案为：10；．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键．一．选择题（共10小题）1．（2023春•锡山区期中）若，则的值是A．6 B．4 C．2 D．【分析】将所给等式的左边展开，然后与等式右边比较，可得含有和的等式，求出、的值即可得答案．【解答】解：，，，，，．故选：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，明确多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．2．（2023春•淮安区期末）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各50张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．【解答】解：大长方形的面积为，类卡片的面积是，需要类卡片的张数是54，不够用，还缺4张，故选：．【点评】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，掌握多项式乘以多项式的计算方法是解题的关键．3．（2023春•丹徒区期末）已知，代数式的值是A．2 B． C．4 D．【分析】根据多项式乘多项式法则即可求出答案．【解答】解：，．原式，故选：．【点评】本题考查多项式乘多项式法则，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．4．（2023春•姜堰区期中）若，，则与的大小关系是A．由的取值而定 B． C． D．【分析】先将和别去括号计算，再根据即可得到答案．【解答】解：，，，，故选：．【点评】本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则．5．（2023春•工业园区期中）若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是A．0 B． C．2 D．【分析】根据多项式乘多项式的乘法即可求出答案．【解答】解：原式，由题意可知：，，故选：．【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是令含的系数为零，本题属于基础题型．6．（2023春•吴江区期中）已知，则，的值分别是A．， B．8，11 C．8，15 D．，11【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再进行解答即可．【解答】解：，，，，解得：，．故选：．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．7．（2023春•东台市期中）若，则A．， B．， C．， D．，【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：，，，，解得：，，故选：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解二元一次方程组，能正确运用多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．8．（2023春•邗江区期中）如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为A． B． C．0 D．1【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含的一次项得出，再求出即可．【解答】解：，与的乘积中不含的一次项，，解得：，故选：．【点评】本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．9．（2023春•吴江区校级期中）若，则A．， B．， C．， D．，【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：，，，，解得：，，故选：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解二元一次方程组，能正确运用多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．10．（2023春•东海县月考）计算的结果为A． B． C． D．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式，故选：．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2023春•镇江期中）已知，则的值等于．【分析】先将变形为，再根据多项式乘以多项式法则将进行运算并代入求值即可．【解答】解：，，．故答案为：．【点评】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．12．（2023春•淮安区校级期末）若且，则代数式．【分析】将计算后代入已知数据计算即可．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．13．（2023春•淮安期中）对于实数，，，，规定一种运算，如，那么当时，则22．【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于的方程，利用多项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简合并即可求出的值．【解答】解：，，，，；故答案为：22．【点评】此题考查学生理解新定义及灵活运用新定义的能力，同时也考查了学生会进行整式的混合运算及会利用平方差公式来化简运算，是一道中档题．14．（2023春•东海县月考），则．【分析】根据多项式乘以多项式法则展开后，根据对应项的系数相等即可得出的值．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，主要考查学生的化简能力．15．（2023春•宝应县期中）已知多项式与的乘积的结果中不含项，则常数的值是．【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含项，使其系数为0，从而可求解．【解答】解：结果不含项，，解得：．故答案为：．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确不含项，则其系数为0．16．（2023春•洪泽区期中）已知的计算结果中不含项，则的值为3．【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件求解即可．【解答】解：，结果中不含项，，解得：．故答案为：3．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．（2023春•泰兴市期末）图中三角形的面积为．【分析】根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意知，三角形的面积为，故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形的面积，列代数式．解题的关键在于熟练掌握三角形的面积为：．18．（2023春•广陵区校级期中）如图，现有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片5张．【分析】通过计算的结果可得此题结果．【解答】解：，需要类卡片5张，故答案为：5．【点评】此题考查了整式乘法几何背景问题的解决能力，关键是能将代数算式与几何图形面积相结合应用．三．解答题（共10小题）19．（2023春•未央区校级月考）计算：．【分析】按多项式乘以多项式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：．【点评】本题考查多项式乘多项式，熟记“多项式乘以多项式的运算法则”是解答本题的关键．20．（2022秋•岳麓区校级期末）计算：．【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．21．（2023春•工业园区校级月考）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．（1）请用含和的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）（2）若，，求休息区域的面积．【分析】（1）利用长方形土地的面积减去游泳池的面积，化简后即可得出结论；（2）将，的值代入（1）中的结论计算即可．【解答】解：（1）休息区域的面积；休息区域的面积为：；（2）当，时，．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，长方形的面积，列代数式，求代数式的值，依据题意列出代数式是解题的关键．22．（2023春•吴江区期中）在与的乘积中，的系数为，的系数为，求的值．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据题意得出，，再根据，然后代值计算即可．【解答】解：根据题意得：，乘积中含的项的系数为3，含项的系数为6，，，．【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（2023秋•铁西区期中）回答下列问题：（1）计算：①；②．③；④．（2）总结公式（3）已知，，均为整数，且．求的所有可能值．【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算①②③④这四个式子即可；（2）根据（1）中的结果总结公式即可；（3）运用（2）中的结论计算等式的左边，然后根据左右两边相等得到，，再根据，，均为整数，得出，或，或，或，，最后计算即可得出的所有可能值．【解答】解：（1）①；②；③；④；故答案为：；；；；（2），故答案为：；（3），，，，，，均为整数，，或，或，或，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；综上，的所有可能值为6或．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，注意不要漏项，漏字母，有同类项的要合并同类项．24．（2023春•昭平县期末）已知的展开式中不含项，常数项是．（1）求，的值．（2）求的值．【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式，由于展开式中不含项，常数项是，则且，解得：，；（2）由（1）可知：，，原式，．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．25．（2022秋•凤台县期末）在计算时，甲把错看成了6，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．（1）求出，的值；（2）在（1）的条件下，计算的结果．【分析】（1）根据题意得出，，得出，，求出、即可；（2）把、的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）根据题意得：，，