新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题二三角函数解三角形第一讲三角函数的概念三角恒等变换-小题备考微专题2三角恒等变换

微专题2三角恒等变换常考常用结论1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.3．常用公式(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．(4)帮助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.1.[2024·河南许昌二模]已知α为锐角，且sinα＝，则tan(＋α)＝()A．－2B．2C．－3D．32．[2024·江西九江三模]已知0<α<<β<π，且sinα＝，cosβ＝－，则cos(α－β)＝()A．－B．－C．－D．3．[2024·江西南昌二模]设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝2cos240°－1，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b4．[2024·山东潍坊一模]已知角α在第四象限内，sin(2α＋)＝，则sinα＝()A．－B．C．D．－2. (1)[2024·安徽安庆二模]已知其次象限角α满意sin(π＋α)＝－，则sin2β－2sin(α＋β)cos(α－β)的值为()A．－B．－C．D．(2)[2024·山西晋中三模]已知α，β为锐角，且tanα＝2，sin(α＋β)＝，则cosβ＝()A．－B．C．－D．(3)[2024·山东德州三模]若α，β为锐角，且α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________．技法领悟1．解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，留意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特别角的三角函数相约或相消，从而转化为特别角的三角函数；二是结构变换，在熟识各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．2．给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要留意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入，从而达到解题的目的．3．实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．[巩固训练2](1)[2024·广东深圳二模]已知tan＝2，则的值是()A．B．2C．D．(2)[2024·安徽宣城二模]已知sinα－sin(α＋)＝，则cos(－2α)＝()A．－B．C．D．(3)[2024·河南校联考]已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为()A．B．C．D．微专题2三角恒等变换保分题1．解析：因为sinα＝，α为锐角，所以cosα＝，tanα＝3，所以tan(＋α)＝＝－2.故选A.答案：A2．解析：∵0<α<<β<π，sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝＝－.故选A.答案：A3．解析：因为a＝(sin56°－cos56°)＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°＝－sin40°sin38°＋cos40°cos38°＝cos(40°＋38°)＝cos78°＝sin12°，c＝2cos240°－1＝cos80°＝sin10°，因为sin12°>sin11°>sin10°，所以b>a>c.故选B.答案：B4．解析：由已知可得，sin(2α＋)＝cos(2α＋π)＝－cos2α＝，所以cos2α＝－，所以sin2α＝＝.又角α在第四象限内，所以sinα＝－＝－.故选D.答案：D提分题[例2](1)解析：因为sinα＝，且α为其次象限角，所以cosα＝－＝－，于是sin2β－2sin(α＋β)cos(α－β)＝sin[(α＋β)－(α－β)]－2sin(α＋β)cos(α－β)＝－[sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)]＝－sin2α＝－2sinαcosα＝－2×＝.故选D.(2)解析：因为tanα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，所以sinα＝，cosα＝，且α>.因为α，β为锐角，α>，所以<α＋β<π，又sin(α＋β)＝，所以α＋β＝，故cosβ＝cos(－α)＝coscosα＋sinsinα＝.故选D.(3)解析：因为tan(α＋β)＝，所以(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝1＋tan(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.答案：D答案：D(3)2[巩固训练2](1)解析：由tan＝2，则＝＝＝＝.故选D.(2)解析：由题意可知，sinα－sin(α＋)＝sinα－(sinα＋cosα)＝sinα－cosα＝sin(α－)＝，所以cos(－2α)＝cos(π＋－2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(α－)]＝－[1－2sin2(α－)]＝－[1－2×]＝.故选C.(3)解析：tanα