2023-2024学年江苏省南通市高二上学期10月质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2023-2024学年高二上学期10月质量监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗.〖答案〗不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗化为，直线的斜率为，倾斜角为.故选：D.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.3.直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定〖答案〗A〖解析〗圆的圆心，半径，又圆心到直线的距离，所以直线与圆相交故选：A.4.已知直线与平行，则（）A.1 B. C.或 D.1或〖答案〗B〖解析〗因为直线与平行，所以，解得或，当时直线与，两直线重合，故舍去；当时直线与平行，符合题意.故选：B.5.已知向量，，，若，，共面，则（）A.4 B.2 C.3 D.1〖答案〗D〖解析〗因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，即，即，解得．故选：D.6.已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设点到平面的距离为，因为正方体的棱长为1，所以由题意可知，即，所以.故选：A.7.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直线，即，恒过定点，曲线，即，表示以点为圆心，半径为1，且位于直线上方的半圆（包括点，），当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为，分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.故选：B.8.已知平行六面体的所有棱长均为，，，分别为，的中点，则的长为（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为平行六面体的所有棱长均为，，所以，依题意可得，所以，所以.故选：D二、多项选择題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗分别设点，，，第四个顶点为，若，即，则，解得，即；若，即，则，解得，即；若，即，则，解得，即；故选：ACD.10.已知正方体，则（）A.直线与所成的角为B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为D.直线与平面所成的角为〖答案〗ABD〖解析〗如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则、、、、、，对于A：、，所以，即，所以直线与所成的角为，故A正确；对于B：，，所以，即，所以直线与所成的角为，故B正确；对于C：因为，，设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成的角为，则，又，所以，即直线与平面所成的角为，故C错误；对于D：平面的法向量可以为，设直线与平面所成的角为，则，又，所以，即直线与平面所成的角为，故D正确；故选：ABD.11.已知点在圆上，点在直线上，则下列各选项正确的是（）A.点到直线的距离最小值为6B.点到直线的距离最大值为8C.直线与圆相切时，的最小值为D.直线与圆相切时，的最大值为〖答案〗BC〖解析〗圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，又点在圆上，所以点到直线的距离最小值为，最大值为，故A错误，B正确；当直线与圆相切时，的最小值为，故C正确；当的最小值时，所以直线与圆相切时，的最大值小于，故D错误；故选：BC12.有一长方体容器，长，宽，高分别为40cm，30cm，20cm，另有下列物体，物体Ⅰ：直径为10cm的球；物体Ⅱ：底面直径为20cm，高为40cm的圆柱；物体Ⅲ：底面为直角三角形（两直角边长分别为15cm和20cm），高为40cm的三棱柱.则能整体放入长方体容器的物体可以是（）A.8个Ⅰ和1个Ⅱ B.16个Ⅰ和1个Ⅲ.C.1个Ⅱ和1个Ⅲ D.4个Ⅰ和3个Ⅲ.〖答案〗ABD〖解析〗因为圆柱和三棱柱的高均为40cm，可将长方体容器的长40cm视为长方体的高，长为30cm，宽为20cm，只需看长方体的底面和圆柱、三棱柱以及球的截面即可.对于选项A,如图1，先将圆柱放入长方体容器，因为球的直径为10cm，所以右边最底层可以放入2个直径为10cm的球，长方体的高度是40cm，则右边可放球的个数为个，所以长方体容器可以放入8个Ⅰ和1个Ⅱ，故A正确；对于选项B,如图2，先将三棱柱放入长方体容器，因为球的直径为10cm，三棱柱的底面是直角三角形，其内切圆的直径恰好是10cm,所以在三棱柱的底层可以放一个直径为10cm的球，然后在如图的长方形的其它区域还可以放入3个直径为10cm的圆，所以长方体最底层可以放4个直径为10cm的球，因为长方体的高度是40cm，则长方体容器可以放个球，所以长方体容器可以放入16个Ⅰ和1个Ⅲ，故B正确；对于选项C，如图3，长方体能单独放入圆柱或三棱柱，但是圆柱和三棱柱不能同时放入，故C错误；对于选项D，如图4，长方体的底面可以分成4个全等的两直角边长分别为15cm和20cm的直角三角形，即为三棱柱的底面，同时可以在每个直角三角形内可以放入1个圆，则长方体容器可以放入个球，4个三棱柱，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出过点且与圆相切的一条直线方程________.〖答案〗或（写出一条即可）〖解析〗依题意切线的斜率存在，设斜率为，则切线为，即，则圆心到直线的距离，解得或，所以切线方程为或.故〖答案〗为：或（写出一条即可）14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．〖答案〗〖解析〗方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故〖答案〗为：.15.直线被圆截得的最短弦长为________.〖答案〗〖解析〗直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又圆的圆心为，半径，因为，当时直线被圆截得的最短弦长，最短弦长为.故〖答案〗为：16.已知一块直角梯形状铁皮，其中，，，.现欲截取一块以为一底的梯形铁皮，点E，F分别在，上，记梯形的面积为，剩余部分的面积为，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗作于G，则，由题意知，则，而，；故，设，则，故，作于H，则，故，则，故，令，因为，故，则，而在上递增，故的最小值为，即的最小值为，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知两条直线，.（1）若直线过点，证明：直线与垂直；（2）若直线，关于轴对称，求，.解：（1）因为直线过点，所以，解得，所以直线，即，又直线，即，所以，所以直线与垂直.（2）直线，，因为直线，关于轴对称，所以，解得.18.如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.（1）证明：平面；（2）求直线和直线所成角的余弦值.解：（1）以为正交基底，建立空间直角坐标系，则，则，故，，即，又平面，故平面；（2）设直线和直线所成角为，因为，而，所以，即直线和直线所成角的余弦值为.19.已知圆C的圆心在直线上，且该圆与x轴相切.（1）若圆C经过点，求该圆的方程；（2）若圆C被直线截得的弦长为，求该圆的方程.解：（1）由圆C的圆心在直线上可设圆心为，由于该圆与x轴相切.，故圆的半径，故可设圆的方程为，又圆C经过点，故，即，解得或，所以圆的方程为或；（2）由（1）知圆的方程为，圆心到直线的距离为，圆C被直线截得的弦长为，故，即，解得，故圆的方程为或.20.如图，已知直三棱柱的所有棱长均相等，点D在棱上，平面与棱相交于点E.（1）证明：；（2）若二面角的大小为，求.解：（1）因为几何体为直三棱柱，所以它的两底面平行，即面面，又因为面，所以面，因为点D在棱上，平面与棱相交于点E，所以面，又注意到面，即面面，又面，面，所以.（2）过点作面，因为面，所以，因面，且面，所以，即两两垂直，所以以点为原点，以方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系：由题意直三棱柱的所有棱长均相等，不妨设所有棱长均为，所以为等边三角形，即，又因为，所以点的横、纵坐标分别为，设，同理有，所以，所以，由题意可取面的一个法向量，不妨设面的一个法向量为，所以，即，令，解得，即可取，由题意二面角的大小为，所以，整理得，又注意到，所以解得因此由，可知，综上所述：若二面角的大小为，求.21.已知圆，直线l过点且与圆C相交A，B两点.（1）若为等腰直角三角形，求l的方程；（2）当时，求的外接圆方程.解：（1）将圆化简为：，则圆心，，因为，，所以，因此圆心到直线l的距离为：若直线l的斜率不存在，所以，圆心到直线的距离为，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l为：，即，即，解得：，所以直线l为：，综上：l的方程为：或.（2）因为，，所以，因为，则，因为直线l过点，则直线l的方程为：，化简为：，因为的外接圆过直线l与圆的交点，设其方程为：，因为圆过点，代入可得，解得：，得，即，经经验，故所求的方程为：.22.在矩形中，、分别为、上的点，与交于点，，，.将四边形沿着翻折成四边形（不在平面内）.（1）若平面平面，求棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的取值范围.解：（1）在矩形中，，，，所以，，因为且，所以为平行四边形，又与交于点，所以为、的中点，则，所以，所以，所以，即，棱锥中，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以.（2）设、、，则、、、，设，，则，，所以，则，，由（1）可知，，，平面，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，因为，所以，则，所以，又，所以，即直线与平面所成角的取值范围是.江苏省南通市2023-2024学年高二上学期10月质量监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗.〖答案〗不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗化为，直线的斜率为，倾斜角为.故选：D.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.3.直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定〖答案〗A〖解析〗圆的圆心，半径，又圆心到直线的距离，所以直线与圆相交故选：A.4.已知直线与平行，则（）A.1 B. C.或 D.1或〖答案〗B〖解析〗因为直线与平行，所以，解得或，当时直线与，两直线重合，故舍去；当时直线与平行，符合题意.故选：B.5.已知向量，，，若，，共面，则（）A.4 B.2 C.3 D.1〖答案〗D〖解析〗因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，即，即，解得．故选：D.6.已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设点到平面的距离为，因为正方体的棱长为1，所以由题意可知，即，所以.故选：A.7.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直线，即，恒过定点，曲线，即，表示以点为圆心，半径为1，且位于直线上方的半圆（包括点，），当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为，分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.故选：B.8.已知平行六面体的所有棱长均为，，，分别为，的中点，则的长为（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为平行六面体的所有棱长均为，，所以，依题意可得，所以，所以.故选：D二、多项选择題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗分别设点，，，第四个顶点为，若，即，则，解得，即；若，即，则，解得，即；若，即，则，解得，即；故选：ACD.10.已知正方体，则（）A.直线与所成的角为B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为D.直线与平面所成的角为〖答案〗ABD〖解析〗如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则、、、、、，对于A：、，所以，即，所以直线与所成的角为，故A正确；对于B：，，所以，即，所以直线与所成的角为，故B正确；对于C：因为，，设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成的角为，则，又，所以，即直线与平面所成的角为，故C错误；对于D：平面的法向量可以为，设直线与平面所成的角为，则，又，所以，即直线与平面所成的角为，故D正确；故选：ABD.11.已知点在圆上，点在直线上，则下列各选项正确的是（）A.点到直线的距离最小值为6B.点到直线的距离最大值为8C.直线与圆相切时，的最小值为D.直线与圆相切时，的最大值为〖答案〗BC〖解析〗圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，又点在圆上，所以点到直线的距离最小值为，最大值为，故A错误，B正确；当直线与圆相切时，的最小值为，故C正确；当的最小值时，所以直线与圆相切时，的最大值小于，故D错误；故选：BC12.有一长方体容器，长，宽，高分别为40cm，30cm，20cm，另有下列物体，物体Ⅰ：直径为10cm的球；物体Ⅱ：底面直径为20cm，高为40cm的圆柱；物体Ⅲ：底面为直角三角形（两直角边长分别为15cm和20cm），高为40cm的三棱柱.则能整体放入长方体容器的物体可以是（）A.8个Ⅰ和1个Ⅱ B.16个Ⅰ和1个Ⅲ.C.1个Ⅱ和1个Ⅲ D.4个Ⅰ和3个Ⅲ.〖答案〗ABD〖解析〗因为圆柱和三棱柱的高均为40cm，可将长方体容器的长40cm视为长方体的高，长为30cm，宽为20cm，只需看长方体的底面和圆柱、三棱柱以及球的截面即可.对于选项A,如图1，先将圆柱放入长方体容器，因为球的直径为10cm，所以右边最底层可以放入2个直径为10cm的球，长方体的高度是40cm，则右边可放球的个数为个，所以长方体容器可以放入8个Ⅰ和1个Ⅱ，故A正确；对于选项B,如图2，先将三棱柱放入长方体容器，因为球的直径为10cm，三棱柱的底面是直角三角形，其内切圆的直径恰好是10cm,所以在三棱柱的底层可以放一个直径为10cm的球，然后在如图的长方形的其它区域还可以放入3个直径为10cm的圆，所以长方体最底层可以放4个直径为10cm的球，因为长方体的高度是40cm，则长方体容器可以放个球，所以长方体容器可以放入16个Ⅰ和1个Ⅲ，故B正确；对于选项C，如图3，长方体能单独放入圆柱或三棱柱，但是圆柱和三棱柱不能同时放入，故C错误；对于选项D，如图4，长方体的底面可以分成4个全等的两直角边长分别为15cm和20cm的直角三角形，即为三棱柱的底面，同时可以在每个直角三角形内可以放入1个圆，则长方体容器可以放入个球，4个三棱柱，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出过点且与圆相切的一条直线方程________.〖答案〗或（写出一条即可）〖解析〗依题意切线的斜率存在，设斜率为，则切线为，即，则圆心到直线的距离，解得或，所以切线方程为或.故〖答案〗为：或（写出一条即可）14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．〖答案〗〖解析〗方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故〖答案〗为：.15.直线被圆截得的最短弦长为________.〖答案〗〖解析〗直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又圆的圆心为，半径，因为，当时直线被圆截得的最短弦长，最短弦长为.故〖答案〗为：16.已知一块直角梯形状铁皮，其中，，，.现欲截取一块以为一底的梯形铁皮，点E，F分别在，上，记梯形的面积为，剩余部分的面积为，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗作于G，则，由题意知，则，而，；故，设，则，故，作于H，则，故，则，故，令，因为，故，则，而在上递增，故的最小值为，即的最小值为，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知两条直线，.（1）若直线过点，证明：直线与垂直；（2）若直线，关于轴对称，求，.解：（1）因为直线过点，所以，解得，所以直线，即，又直线，即，所以，所以直线与垂直.（2）直线，，因为直线，关于轴对称，所以，解得.18.如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.（1）证明：平面；（2）求直线和直线所成角的余弦值.解：（1）以为正交基底，建立空间直角坐标系，则，则，故，，即，又平面，故平面；（2）设直线和直线所成角为，因为，而，所以，即直线和直线所成角的余弦值为.19.已知圆C的圆心在直线上，且该圆与x轴相切.（1）若圆C经过点，求该圆的方程；（2）若圆C被直线截得的弦长为，求该圆的方程.解：（1）由圆C的圆心在直线上可设圆心为，由于该圆与x轴相切.，故圆的半径，故可设圆的方程为，又圆C经过点，故，即，解得或，所以圆的方程为或；（2）由（1）知圆的方程为，圆心到直线的距离为，圆C