新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：7.3.2三角函数的图象与性质

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7.3.2三角函数的图象与性质

第1课时正弦函数.余弦函数的图象

课程1.借助单位圆能画出•:用函数的图象.

标准2.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.

为基础认知•自主学习《

概念认知

1.正弦曲线

⑴正弦曲线

正弦函数y=sinx,xeR的图象叫正弦曲线.

(2)正弦函数图象的画法

①几何法：

(i)利用正弦线画出y=sinx,x£[0,2冗]的图象；

(ii)将图象向左、向右平行移动(每次2Tl个单位长度).

②“五点法

(i)画出正弦曲线在［0,2冗］上的图象的五个关键点(0,0),应

(Ji,0),(j,-1)_,(2TI,0),用光滑的曲线连接；

(ii)将所得图象向左、向右平行移动(每次271个单位长度).

2.余弦曲线

⑴余弦曲线

余弦函数丫=3*,x£R的图象叫余弦曲线.

⑵余弦函数图象的画法

JT

①要得到y=cosx的图象，只需把y=sinx的图象向左平移/个单位

长度即可.

②用“五点法”画余弦曲线y=cosx在［0,2冗］上的图象时，所取的五个

关键点分别为(0,1),七，。］,(冗,-1)，修，,3,1),再用

光滑的曲线连接.

自我小测

1.函数y=1-sinx,xe［o,2TI］的大致图象是()

Jr

选B.当x=0时，y=l；当x=]时，y=0；当x=7i时，y=l；x

3jr___

=y时，y=2；当X=2TI时，y=l.结合正弦函数的图象可知B正确.

2.函数y=cosx与函数y=-cosx的图象()

A.关于直线x=1对称B.关于原点对称

C.关于x轴对称D.关于y轴对称

选C.由解+析式可知y=cosx的图象过点(a,b),则y=-cosx的图

象必过点(a,-b),由此推断两个函数的图象关于x轴对称.

3.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx,x引0,2汨与y=sinx,

X£[2TI,4兀]的图象()

A.重合

B.形状相同，位置不同

C.关于y轴对称

D.形状不同，位置不同

选B.根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx,xe[0,2汨与y=sinx,

X£［2TI,4兀］的图象只是位置不同，形状相同.

3

4.y=1+sinx,x£［0,2冗］的图象与直线y=］交点的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

选C.用“五点法”作出函数y=1+sinx,xW［0,2冗］的图象，作出直线

3_

y=2的图象如图所示，

4yv=l+sinx

O匹n3兀27cx

2T

由图可知，这两个函数的图象有2个交点.

sinx<0,

5.不等式组1冗的解集是________.

〔声5

当方<x<7i时，OgsinxSl,当71<x<5时sinx<0,

所以原不等式的解集为（冗,5］.

答案：（Ji,5］

6.函数y=cosx+4,x£［0,2冗］的图象与直线y=4的交点的坐标为

y=cosx+4,7i、3兀

由彳得cosx=0,当xW[0,2冗]时，x=5或7，

ly=422

所以交点坐标为*,4］，［当，41.

答案：，4

7.用“五点法”作出下列函数的简图.

(l)y=1+2sinx,xG[0,2TI]；

(2)y=2+cosx,x£[0,2瓦].

⑴列表:

71371

X071271

2T

sinx010-10

1+2sinx131-11

在直角坐标系中描出五点(0,1)《，，(冗，1),作，-1],(2兀,

1),然后用光滑曲线顺次连接起来，就得至I」y=1+2sinx,xG[0,27i]

的图象.

⑵列表:

3

X0匹71271

2271

cosX10-101

2+cosx32123

描点连线，如图,

除学情诊断•课时测评＜33

基础全面练

一、选择题

1.函数y=sinx,xe［0,兀］的图象与直线y=0.99的交点有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

选B.观察图象(略)易知：有两个交点.

2.已知f(x)=sin(X+2,g(x)=cos(x-,,则f(x)的图象()

A.与g(x)的图象相同

B.与g(x)的图象关于y轴对称

.7T

C.向左平移］个单位，得g(x)的图象

D.向右平移冷个单位，得g(x)的图象

选D.f(x)=sinIx+2,g(x)=cos(x-2

的图象向右平移方个单位得到g(x)的图象.

3.方程|x|二cosx在(-00,+8)内()

A.没有根B.有且仅有一个根

C.有且仅有两个根D.有无穷多个根

选C.求解方程|X|二COSX在(-8,+8)内根的个数问题，可转化为求

解函数f(x)=|x|和g(x)=COSX在(-oo,+8)内的交点个数问题.f(x)

=|x和g(x)=COSX的图象如图,

显然有两交点，即原方程有且仅有两个根.

4屈数y=-cosx(x〉0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()

A.B.(71,1)

C.(0,1)D.(271,1)

选B.用“五点法”作出函数y=-cosx,x>0的图象如图所示，可知B

正确.

5.将余弦函数y=cosx的图象向右至少平移m个单位，可以得到函

数丫=-sinx的图象，则m=()

兀一3兀3兀

A.2B.7iC.D.丁

选c.根据诱导公式得，y=-sinX=cos碍-x)=cos[x-雪,故

3JT

欲得至I」y=-sinx的图象，需将y=cosx的图象向右至少平移了个

单位长度.

6.(多选)用“五点法”画y=3sinx,xQ[0,2冗]的图象时，下列哪些点

是关键点()

A.(I，1]B.R3)

C.(71,0)D.(271,0)

选BCD.五个关键点的横坐标依次是04,7i,y,2兀代入横坐标,

计算得B,C,D正确.

COSX(-71sx<0),i

若y=5，贝口x的可能

{sinx(0<X<TI).

取值为()

717171—571

A.-3B.4C,3D.y

选ABD.作出函数

cosX(-7I<X<0),1

的图象，再作直线y=y,如图所示，则当

{sinx(0<x<7i)

-7I<X<0时,

由图象知X=，当0<X<7I时，x=看或x=朗.

【光速解题】根据题意，画出函数f（x）的图象及直线y=；的图象，

分别求出交点坐标即可.

二、填空题

8.利用余弦曲线，写出满足cosx>0,xG[0,2汨的x的区间是

画出y=cosx,x£[0,2兀]上的图象如图所示.

cosx>0的区间为0,U0.

答案:〕。周噌，2冗）

9.（2021.淮安高一检测）函数y=lgb”-；）+个小-2sinx的定

义域为.

要使原函数解+析式有意义,必须满足;<sinx当•首先作出y=sin

x在[0,2兀]上的图象,如图所示,

作直线y二;，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y=sinx,xQ[0,

2汨的交点横坐标为”喏；

作直线y邛，该直线与y=sinx,xe[O,2同的交点横坐标为全和

2n

T.

观察图象可知，在[0,2汨上,笺<x<|或'SX蜷时，不等式;

<sinxW半成立，

所以;<sinxg坐的解集为｛x6+2k?i<x<^+2k7i或与+2k7i<x<

5n

石+2k?i,kWZ｝.

兀兀、2兀5兀

答案：｛x|&+2k7i<x<j+2k?i或+2k7i<x<+2kn,k^Z)

三、解答题

10.用“五点法”画出y=-2cosx+3(0SxS27i)的简图.

列表：

匹3兀

X0712K

2T

cosX10-101

-2cosx+

13531

3

描点、连线得出函数y=-2cosx+3(0SXS2TI)的图象.

zv

5

4

3j=-2cosx+3

2

1

oM

'227t

7_t

11.在同一坐标系中，作函数y二sinx和y=1gx的图象，根据图象

判断出方程sinx=1gx的解的个数.

建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y=sinx,xwR的图

象.

描出点（1,0）,（10,1）,并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象，如

图所示.

由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.

综合突破练

一、选择题

1.点,-m］在函数y=sinx的图象上，则m等于（）

A.0B.1C.-1D.2

JT

选C.由题意得-m二sin5,

所以-m=1,所以m=-1.

2.侈选）函数y=sinx-1,xQ[0,2兀]与y=a有一个公共点,则a

的值可以为（）

A.-1B.0C.1D.-2

选BD.画出y=sinx-1的图象.如图.

依题意a=0或a=-2.

3.与图中曲线倍B分）对应的函数解+析式是（

-2nx

A.y=|sinx|B.y=sin|x|

C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|

选C.注意图象所对应的函数值的正负，可排除选项A,D.当xe（O,

兀）时，sin|x|>0,而题图中显然小于零，因此排除选项B.

4若函数y=2cosx（0WxS2?i）的图象和直线y=2围成一^封闭的平面

图形，则这个封闭图形的面积是（）

A.4B.8C.2加D.4兀

选D.作出函数y=2cosx,xe[0,2兀]的图象，函数y=2cosx,xQ[0,

2句的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.

O

-2

利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,

又因为0A=2,0C=2TI,

所以s阴影部分=S矩形OABC=2X2K=4兀

【误区警示】解此题，往往忽视对称，我们需要将不规则图形转化为

规则图形.

二、填空题

5.关于三角函数的图象，有下列说法：

@y=sinx+1.1的图象与x轴有无限多个公共点；

②y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同；

③y二|sinx|与y=sin(-x)的图象关于x轴对称；

④y=cosx与y=cos(-x)的图象关于y轴对称.

其中正确的序号是________.

对②,y=cos(-x)=cosx,y=cos|x|=cosx,故其图象相同；

对④,y=cos(-x)=cosx，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③

均不正确.

答案：②④

6.函数y=2sin2x+sinx-1的定义域是________.

由2sin2x+sinx-GO彳导sinx>^或sinx=-1,

所以2k?i+看<x<2k;i+•或x=2kn-方，kwZ.

jrjrjr

答案：{x|2k兀<x<2k?i+或x=2k7i-5,k£Z}

uu乙

7.已知函数f(x)=2cosx+1,若f(x)的图象过点&，m］，则m=

；若f(x)<0,则x的取值集合为.

、［/7T_I7T

当x=1时，f(x)=2cos2+1=1,

所以m=1.

f(x)<0即cosx<-；,

作出y=cosx在x£［0作冗］上的图象,如图所示.

__27r4Ji

由图知X的取值集合为{x|§+2k7i<x<-y+2k7i,keZ}.

2兀4兀

答案：1x|、+2k兀+2k兀,kQZ

8当xw[-7i同时,y=gx-^y=sinx的图象交点的个数为

这些交点的横坐标之和