高中数学1理 第一章

第一章

DIYlZHANG集合与常用逻辑用语

1.从近S年高考情况来看.集合是必考内

容,常用逻辑用语较少单独命题.

2.本章考查的重点是集合的交、并、补

运算.给出的集合既有离散型的数集.

也有连续型的实数集.

3.命题的交汇处为集合与方程或集合与

不等式.

I.集合每年必芍.通常是选择题的第一

题或第二题.难度不大.分值为5分.

2.常用逻辑用语偶尔出现.难度屈容易.

分值为5分.

1.集合的交、并、补运算是高频考点，

元素与集合间的关系儡有出现.难度

较小.

2.充分、必要条件的判定,命题及其真

假判定.逻辑联结同等内容出现较少.

难度以中等偏下为主,一般是“小综3.充分、必要条件更多地与函数、立体几何关

合”类型.联.

第一节集合的概念与运算

■梳教行•固基他----基固为根必备知识

［基础自梳］

1.集合的相关概念

(1)集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性.

⑵元素与集合的两种关系：属于，记为且,不属于，记为«

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)五个特定的集合：

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N-ZQR

点拨①元素的确定性：集合中的元素有什么特性(点、数)，有多少；是否属于该集合

都是确定的.

②元素互异性：集合中不可能出现相同的元素.此性质常用于题目中对参数的取舍.

③N为自然数集(即非负整数集)，包含0,而N*或N+表示正整数集，不包含0.

2.集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言

AUB且BGA

相等集合A与集合8中的所有元素祖同

<=>A=B

子集A中任意一个元素均为B中的元素4a8或

A中任意一个元素均为B中的元素，且8中至

真子集42或BA

少有一个元素不是4中的元素

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的

空集

真子集

点拨(1)两个集合4、8之间的关系

f依=8(相等)《*4=8且428

AUB(子集乂=

<〔A8(真子集)OAU3且AWB

口。8

(2)任何集合是其自身的子集.

⑶空集

规定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

并集交集补集

图形演

表示

符号AUB=[*vGA,或xWACB={xlxGA,且xe

luA={MrCU,且xM}

表示BlBl

思考拓展

1.子集的个数

若A为有限集合，card(A)=n(«eN,),则:A的子集个数是2"；A的真子集个数是2"—1；

A的非空子集个数是2«-1；4的非空真子集个数是2"—2.

2.运算性质

并集交集补集

AUQA）=U；

AC&A）=0；

AU0=4400=0.

性[tXluA）=4;

AUA=A；AHA=A；

质『MAUB）=

AU8=8UA；AC\B=BQA；

AUB=A^>BQAAHB=A<^AQB

"（An8）=（lMU（C

uB）

［基础自测］

1.（教材改编）若集合A={xGN|xWji5）,。=2/，则下面结论中正确的是（）

A.{a}QAB.aUAC.［a}^AD.㈤A

［答案1D

2.（教材改编）设集合4="彦-16<0},B={x|3x-728—2r},则AC1B=（）

A.{x|-4<x<4}B.{x|一4WxW4}

C.{x|3Wx<4}D.{R3WxW4}

［答案］C

3.（教材改编易错题）在平面直角坐标系中，集合C={（x,y）|y=x},£>=］（x,y）±|=l、

则C与£>的关系为（）

A.C=。B.C2DC.CUOD.Cn/）=0

［答案］B

4.（教材改编）已知集合人={0,1,2},集合B满足AU8={0』,2},则集合B有

个.

［答案］8

5.（易错题）已知集合4={小2-4工+3=0},B={X|OL2=0},若8UA,则a=.

［答案］0,2或,

研考点.练方法-----点明为纲关键能力

考点一集合的基本概念

[例1](1)(2021.湖南郴州模拟，1)已知集合4={0,123,4,6},B={x[x=2",nSN},则

AAB的元素个数是()

A.0B.1C.2D.3

D•集合A={0,l,2,3,4,6},B={4r=2","GN}={1,2,4,8,…},ClB={1,2,4},

CB的元素个数是3.故选D.］

(2)(2020•全国III卷)已知集合集={(x,y)|x,yGN*,yex},2={(x,y)|x+y=8},则ADB

中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

C［AnB={(x,加+y=8,x,yGN*,y2x}={(l,7),(2,6),(3,5),(4,4)}.故选C.J

(3)若集合4="仁11|加一3;(:+2=0}中只有一个元素，则。等于()

99、9

A.7B.QC.0D.0或d

Zoo

D［若集合A中只有一个元素，则方程or2-3工+2=0只有一个实根或有两个相等实根.

2

当4=0时，x=2，符合题意.

9

当时，由/=(—3)2—8〃=0,得Q=d，

o

9

所以。的值为0或石，故选D」

O

(4)已知集合4={，〃+2,2，话+，〃},若3WA,则〃?的值为.

［解析］由题意得机+2=3或2机2+〃?=3,

3

则m=\或，〃=—5，

当〃?=1时，机+2=3且2m2+机=3,

根据集合元素的互异性可知不满足题意；

313

当，/时，m+2=y而2，"2+,〃=3,故〃?=一,

3

[答案]~2

方法指导与集合中的元素有关问题的求解策略

(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.

(2)看这些元素满足什么限制条件.

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足

元素的互异性.

[思维变式J

1.将本例⑵改为4={1,2,3},8={x-ykeA,y^A},则3的元素个数为()

A.1B.3C.5D.9

C[8={0,1,-1,2,一2}共5个元素.]

2.将本例(2)改为A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x6A,y^A},则B的元素个数

为()

A.1B.3C.5D.9

B[8={(2,3),(3,2),(3,3)}.]

3.已知小Z?eR,若卜，今1}={/，。+40},则4021+加021为()

A.1B.0C.-1D.±1

2021202120212021

C[Vtz^O,.\b=09且4Wl,Aa=-1.Aa+&=(—1)+o=-1.]

4.设集合A={x［（x—a）2<l},且2GA3S,则实数”的取值范围为.

(2—a)2<l,l<a<3,

［解析］由题意得，解得，

(3—a)221,aW2或a24.

所以lv?W2.

[答案J(1,2J

考点二集合间的基本关系

[例2](1)已知集合人二住片一x—2<0},B={x\-l<x<\),贝IJ()

A.ABB.BAC.A=BD.AClB=。

B\A={x\x2-x~2<0}={x|-1<x<2],B={x|-l<x<l},所以3A.]

(2)(2021•广东湛江测试(二)，2)已知集合人={1,2,3,4},B={y仅=2x—3,x&A},则集合

AC8的子集个数为()

A.1B.2C.4D.8

C「.乂={1,2,3,4},B={y|y=2r-3,xG4},，8={-1,1,3,5},C8={1,3},所以

集合AAB的子集个数为22=4.故选C.]

(3)已知集合A={xg/4T},B={x\a<x<a2-2}.若BUA,则实数a的取值范围为

［解析］当8=0时，a》4—2,即/一4•—2W0,—lWaW2,当B#。时，a<a2~2,

；.a>2或。<一1,又；4=［-2,2］,

前一2W2

此时、...一ZWav-l.综上，aS［-2,2］

［a2—2

［答案］［—2,2］

方法指导而定集合间基本关系的两种方法和一个关键

两种①化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；

方法②用列举法（或图示法等）表示各个集合，从元素（或图形）中寻找关系

一个关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和

关键真子集两种关系

［思维变式J

I.将本例⑶的集合B变为8={x|aWxWa+l},其余条件不变，贝Ua的取值范围为

［a^—2

［解析1U1^2•一2'WI.

［答案］［-2,1］

2.设全集U=R,则集合知={0,1,2}和％={就&-2>108冰=0}的关系可表示为（）

A[N={xM(x-2>log以=0}={1,2},

VM={0,1,2},是M的真子集，故选A.]

3.将本例⑶变为A={x|y=也},8={>}=4},则A与5的关系为()

A.ABB.BA

C.A=BD.4n8=0

c[A=[0,+8),B=[0,+°°),

：.A=B,故选CJ

考点三集合的基本运算

角度1定义法求集合交、并、补的运算

[例3](1)(2020•全国I卷)设集合A={x*-4W0},8={x|2x+aW0},且AAB={x|一

24W1},则a=()

A.-4B.-2C.2D.4

B[A={x]-2WxW2},8=*卜一冬).

由4n8={x|-2WxWl},知一5=1,所以a=-2.故选B.]

(2)(2021•河南焦作模拟，2)若集合A={x|2x2—9x>0},B={y|怜2},则(CRA)UB=()

J91

A.[2,51B.0

C.[0,+8)D.(0,+8)

C[因为A={x|2x2—9x>0)=1x|x>^,或x<0},所以[RA=*]()WXW31,又B=

{y|y>2},所以([M)U8=[0,+«>).故选C.]

(3)已知集合4={1,2,3},B={x|(x+l)(x-2)<0,x©Z},则AU8=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

C[由已知可得B={x|(x+l)(x-2)V0,xWZ}={x|-lVxV2,XWZ}={0,1},Z.AUB

={0,1,2,3},故选C.]

角度2数轴、韦恩图(Venn)法求集合的运算

[例4](1)

(2021•安徽宣城八校联考)如图,设全集U=N,集合A={135,7,8},B={1,2,3,4,5},则

图中阴影部分表示的集合为()

A.{2,4}B.{7,8}

C.{1,3,5}D.{123,4,5}

A[([M)AB={2,4},故选A.]

(2)

已知集合4={工枕2-©+3忘0},2={x|lWx<5},则如图所示的Venn图中阴影部分表示

的集合为()

A.(3,5)B.[3,5)C.(3,5]D.[3,5]

A[由题可得A={x[(x-l)(x-3)W0}={x|lWxW3},B={x|lWx<5},所以Venn图中阴

影部分表示的集合[〃=(3,5),故选AJ

角度3讨论法求参数

[例5](1)设集合A={1,2},8={》仔+皿-6=0},若AA8={2},则AU8=()

A.{-3,1,2}B.{1,2}C.{-3,1}D.[1,2,3}

A[VAnB={2},A2GB,/.4+2m-6=0,m=\,

.,.N+x—6=0,...x=2或x=—3,B=[2,—3),

因此AUB={-3,1,2},故选A.]

（2）己知集合4={x|3<xW8},B=,C={x|2—a<xW2a+6}.若。AU8,

则实数a的取值范围是.

[解析]8=31aW6},则AUB={x[l<x^8},

又CAU8,

4

，当。=0时，2a+6W2—。，解得iW—

4门2—,2~a>l,

当CW。时,“>一号且或

2〃+6<82a+6W8,

4

解得一§<“<1.

综上，。的取值范围是(一8,1).

[答案](一8,1)

方法指导集合基本运算的方法技巧

(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn

图运算.

(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解,对于端点处的取舍，可以单独检验.

(3)集合的交、并、补运算口诀如下：

交集元素仔细找，属于A且属于8；

并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；

全集。是大范围，去掉U中a元素，剩余元素成补集.

[思维变式]

1.(2021河南名校联盟联考)已知4={1,2,3,4},8={4+1,2”},若408={4},则4=()

A.3B.2C.2或3D.3或1

A[VADfi={4},：.4GB,

当a+l=4,a=3,；.B={4,6},满足AC8={4},

当2a=4时，a=2,B={3,4},不满足AC8={4}

a=3.]

2.设集合4={)心=2",xCR},«={%lx2-l<0},则AUB=()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,+°°)D.(0,+8)

C[Vy=2r>0,，A={y|y>0}.

又A1V0,

.-.fi={x|-l<x<l}.故AUB={4r>—1}.故选CJ

3.设U为全集，非空集合A,B,C满足AGC,BUluC,则下列结论不成立的是()

A.AnB=。B.BU[uA

C.([u8)nA=AD.AU(CyB)=t/

D[

由。为全集，集合A,B,C满足AUC,知ACB=。，A正确；作出Venn图,

如图，知(]uB)n4=4,即B,C正确：AU^uB)=iuB^U,所以D错，故选DJ

・镇高考•提素养————素养为本创新应用

［再研高考］

1.（2019・全国卷I）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},8={2,3,6,7},则8门（源

=()

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

C［由题意知［必={1,6,7},又2={2,3,6,7},AfinCM={6,7},故选C.］

2.(2019•全国卷II)已知集合4="仇>-1},B={x|x<2},则AAB=()

A.(-1,+8)B.(一8,2)C.(-1,2)D.0

"

C［VA={x|x>-l}tB={x|x<2},..AnB={x|-l<x<2},即AC8=(-1,2).故选

C.］

3.(2019•全国卷III)已知集合4={-1,0,1,2},H={x\x2^}},则4nB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

A［由题意可知8={x|-IWXWI},

又：4={-1,0,1,2},.•.ACB={-l,0,l},故选A.］

［创新应用］

1.定义新集合

(2021•河南南阳第一中学第十四次考试，1)定义集合运算：A0B={z|z=孙，xGA,

团，设集合4={-1,0,1},B={sina,cosa},则集合AOB的所有元素之和为()

A.1B.0C.-1D.sina+cosa

B［因为xEA,所以x的可能取值为-1,0,1,

同理，y的可能取值为sina,cosa,

所以孙的所有可能取值为(重复的只列举一次)：—sina,0,sina,—cosa,cosa,所

以所有元素之和为0,故选B.］

点评“新定义”问题的关键是要读懂新定义，本题以集合为载体，定义了一个新的集

合运算，但其本质还是考查集合中元素之间的关系及其集合中元素的性质.考查了数学抽象、

数学运算、逻辑推理等学科素养.

2.定义新运算

(2021•福建漳平一中模拟)定义：设有限集合A={x|x=a，i^N*,”6N*},S=a、

+a2T卜加|+斯,则S叫做集合A的“模"，记作|A|.若集合P={x|x=2〃-1,〃WN*,〃W5},

集合P含有四个元素的全体子集为Pi，P2,…，Ph々WN*,则『1I+IP2I+…+R|=.

［解析］依题意知,集合P={1,3,5,7,9},则集合尸含有四个元素的全体子集为{3,5,7,9},

{1,5,7,9},{1,3,7,9},{1,3,5,9},{1,3,5,7}.

由条件中“模”的定义知，IP1I+IP2I+…+lBI=(3+5+7+9)+(l+5+7+9)+(l+3+7

+9)+(1+3+5+9)+(l+3+5+7)=4X(1+3+5+7+9)=100.故填100.

［答案j100

点评本题给出集合的一种“模”的运算法则，即对集合A中所有元素求代数和S=ai

+“2+…+如-|+m，称代数和S为集合A的模，记作冏.解题过程中要注意两个细节：①列

举集合户含有四个元素的全体子集时，可按照元素的某种排列顺序依次选取元素，从而防止

漏掉某种组合；②求解所有“模”|多|,|尸2|,…，1Pti的代数和时，注意观察元素特点，找到

简便的求和方法，可以避免求和出错.

3.建立新环境

已知函数五》)=痔2'+/+加，记集合A={xl/(x)=0},集合8={犬欧期)=0},若A=B,

且A,B都不是空集，则〃?+〃的取值范围是()

A.f0,4)B.［-1,4)C.［-3,51D.［0,7)

A［依题意，设的W{x|/(x)=0}={x欧x))=0},

则於1)=欢r))=0,

所以<0)=0,即八0)=〃?=0,

求得/H=0,于是火此三^+以.

由AXx))=U2+nx)(x2+nx+")=0,

可知当”=0时，A=B={0},符合题意；

当"W0时，A={0,~n},又0,一〃不是方程N+«x+"=0的根，所以要使A=8成

立，必须满足/=〃2—4〃<0,

解得0</7<4,

所以n的取值范围是［0,4).

综上所述，机+〃的取值范围是[0,4).故选A.]

点评集合是高中数学的基础.作为一种基本的数学表达方式，集合渗透在高中数学的

各个领域中.在函数、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等知识中，用集合的语言

和形式来表达，会显得准确、简洁、清晰，因此高考命题常将集合与其他知识进行交汇，考

查考生的数学理解和数学表达的能力，考查创新应用能力、数学抽象、逻辑推理、数学运算

的学科素养.

本题通过集合的相等关系“A=B,且4,8都不是空集”来表达方程4x)=0与方程4(x))

=0有相同的实数解，体现集合与函数方程的交汇，解题的关键主要还是对函数方程与复合

函数方程的理解.对于函数次幻=样2，+/+依，注意到函数解析式的结构特点——一部分是

指数型函数y=加2，，另一部分是二次函数y=N+以，因此尝试0是对应的两个方程的公共

根是解题的突破口，由此推出机=0和〃的取值范围，进而得到胆+〃的取值范围.

4.创新训练

若集合A具有以下性质：

©OCA.ieA；

②若xJ,y^A,则x-yGA,且x#0时，1©A.

则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是()

①集合B={-1,0,1}是“好集”；

②有理数集Q是“好集”；

③设集合A是“好集”，若xdA,yWA,则x+yWA.

A.0B.1C.2D.3

C[①集合8不是''好集"，假设集合8是“好集”，因为一所以一1一1

=-2SB,这与一2C8矛盾.②有理数集Q是''好集"，因为OGQ/eQ,对任意的x^Q,

yGQ,有x-yGQ,且x#0时，[cQ,所以有理数集Q是''好集”.③因为集合A是''好

集”，所以OGA,若xGA,yGA,则0—yGA,即一yGA,所以x-(-y)eA,即x+yWA.

故正确的个数是2.]

课时作业(一)

A级基础达标

1.(2020•全国I卷)已知集合人土木2—3x—4<0},8={-4,1,3,5},则ACB=()

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

D['：A={x|x2-3x-4<0}={x|U+1)(x-4)<0}={x|-1<x<4],8={-4,1,3,5},/.ADB

={1,3}.故选DJ

2.已知集合4={1,2,3},8={)打=2%—1,xdA},则ACB=()

A.{1,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}

A[A={1,2,3},B={1,3,5},AC8={1,3}.选A.]

3.已知集合尸={xGR|lWxW3),Q={xeRW2>4},则尸U([RQ)=()

A.[2,3]B.(-2,3]

C.11,2)D.(-8,-2]U[1,+oo)

B[由于Q={MrW—2,或x22},CR2={x|-2<r<2},故得PU(八。)=3一2<xW3}.选

B.]

4.设全集U={xCN*kW4},集合4={1,4},B={2,4},则Cu(ACB)=()

A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4}

A[因为U={1,2,3,4},AC8={4},所以[u(4CB)={1,2,3},故选A.]

5.(2021•滨州模拟)设集合4={1,2,3},B={4,5},M={x\x=a+b,a^A,b&B},则M

中元素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

B[因为A={1,2,3},B={4,5},

又M={M工=o+b,b£B),

・・・M={5,6,7,8},即M中有4个元素.]

6.(2021・日照质检)已知全集U={0,1,2,3,4},若—={0,2,3},B={2,3,4},则

A.0B.{1}C.{0,2}D.{1,4}

B[因为全集[/={0,1,2,3,4},A={0,2,3},B={2,3,4),所以CuA={1,4},UB={0,l},

因此(]Mn&B)=⑴.]

7.设集合A={x[—1<%W2},8={就:<0},则下列结论正确的是()

A.([RA)C8={4T<-1}

B.ACB={x|-l<x<0}

C.AU([RB)={4C20}

D.AUB-0}

B[易求(RA={4TW—1或x>2},

[R8={4V20},

，(CRA)nB={xpW-l},A项不正确.

ACB={x|-l<x<0},B项正确，经检脸，C、D错误.]

8.已知集合人={在凶%2—2x—8W0},8={X|228},则集合ADB的子集的个数为()

A.1B.2C.3D.4

D[因为A={XWN|A2-2X-8W0}={0,1,2,3,4},B={X\X^3],所以AC8={3,4},所以

集合AC1B的子集个数为4.]

9.若全集U=R,集合4={刈<2*<4},B={x\x-\^0],则)

A.{x|l<x<2}B.{x|0aWl}

C.{x|O<x<l}D.{x|lWx<2}

C[由题意知，A={x\0<x<2},8={木21},]4={小<1},所以An[(/8={x|0<x<l}.]

10.已知集合4={0,1,2},B={1,m}.若ACB=B,则实数m的值是()

A.0B.2

C.0或2D.0或1或2

C['：AQB=B,：.BQA,.•./"=()或〃?=2.]

11.已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4),则AU([uB)=.

[解析]Cu8={2},.•.4UCt/B={l,2,3}.

[答案]{1,2,3)

12.设全集U={〃CN|1W〃W1O},A={1,2,358},B={1,3,5,7,9},则")C1B=

[解析]依题意得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Ct/A={4,6,7,9,10),(Cf/A)nB={7,9}.

[答案]{7,9}

13.设集合S={x|(x-2)(x—3)20},T={xk>0},贝！I([RS)C7=.

I解析|易知S={#W2或x》3},

/.[R5={X|2<X<3},

因此((RS)nT={x[2<x<3}.

[答案]{x|2<r<3}

14.已知集合人={1,2},B={a,/+3),若AAB={1},则实数〃的值为.

[解析]由AA8={1}知，leg,又序+323,则“=1.

[答案]1

B级能力提升

15.设集合A={(x,y)\x+y=\},B=[(x,)，)卜一y=3},则满足MU(AClB)的集合”的

个数是()

A.0B.1C.2D.3

fx+y=l,(x=2,

C闽.2得.

[x—y=3,[y=~\,

：.AQB={(2,-1)}.

由MU(AClB),知知=0或时={(2,-1)}.]

16.若集合A={xb，=lg(3x-/)}，卜=1+$，xWA：,则AC([RB)等于()

A.(0,2]B.(2,3)

C.(3,5)D.(-2,-1)

A[由3%一旧>0,得0cx<3,则A=(0,3),

.•.8=卜卜=1+*Y，xj}=(2,5),

则1R8=(-8,2]U[5,4-0°),故AC([RB)=(0,2].]

17.集合A={xk<0},B={x[y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|xGA,且N8},贝ij4-8=

［解析J由题意知，8={My=Ig［x(x+l)J}

={xk(x+1)>0}={x|x<—1或x>0},

则A-B={x|-lWx<0}.

［答案J{x|-lWx<0}

18.(多填题，答案不唯一型)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系：①a=l；

②6W1；③c=2；④dW4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a,

b,c,d)=,符合条件的全部有序数组(a,b,c,⑨的个数是.

［解析］显然①不可能正确，否则①②都正确；

。=2,7=3,

b=3,b=2,

若②正确，则<或《

c=l,c=l,

、d=4,、d=4.

7=3,

b=l.

若③正确，此时<

c=2.

、d=4,

4=2,〃a=3,pz=4,

b=l.b=l,b=l,

若④正确，此时有〈<<

c=4,c=4,c=3,

、d=3,、d=2,、d=2.

所以符合条件的数组共6个.

［答案］(3,2』,4)(填一个正确的即可)6

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

・梳教科•固基础-----基固为根必备知识

［基础自梳］

1.四种命题

(1)四种命题及其相互关系

(2)互为逆否命题的真假判断：

互为逆否的两个命题同真或同假.

点拨①任何命题都可写为：“若p则q”形式.

②一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.

2.充分条件与必要条件的判断

若p=q,则〃是q的充分条件，夕是p的必要条件

〃是4的充分不必要条件〃=q且g=/p

p是q的必要不充先条件〃=/q且qnp

p是〃的充要条件poq

p是q的既不充分也不必要条件〃=/4且4=/〃

点拨（1）区别两个说法

①A是8的充分不必要条件是指：4=8且8=/A.

②A的充分不必要条件是8是指：8=A且A=/B,在解题中要弄清它们的区别，以免出

现错误.

（2）掌握充要条件的两个特征

①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件.

②传递性：若p是q的充分（必要）条件，〃是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）

条件.

（3）充要关系与集合的子集之间的关系

设A={x|/?（x）},B={x\q（x）},

①若AG8,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

②若AB,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

③若A=B,则p是q的充要条件.

［基础自测］

1.（教材改编）下列命题是真命题的是（）

A.矩形的对角线相等

B.若a>b,c>d,则

C.若整数。是素数，则。是奇数

D.命题“若/>0,贝的逆否命题

［答案］A

2a（教材改编）命题“若（>炉，则Q）,”的逆否命题是（）

A.“若x<y,则x2守”B.“若x>y,则x?>严

C.“若xWy,则D.“若则/导尸”

［答案］C

3.（教材改编）”（x—l）（x+2）=0"是"x=l"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］B

4.（教材改编）已知命题：“若x20,y20,则刊》0"，则原命题、逆命题、否命题、

逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

［答案］B

5.（易错题）若命题“五一2以一3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是

［解析］由题意知ar2-2at—3W0恒成立，当a=0时，-3W0成立；当时，得

a<0,

.解得-3Wa<0,故一3W〃W0.

/=4a2+12aW0,

［答案］［-3,0］

研考点•练方法-----点明为纲关键能力

考点一命题及其关系

11501］（1）（2021•郑州模拟）下列说法正确的是（）

A.“若。>1,则〃2>1”的否命题是“若”>1,则

B."若卬"2<痴2,则“<匕”的逆命题为真命题

C.存在x（）e（O,+°°）,使3xo>4xo成立

D.“若sin2则是o真命题

IJr7rl

D［“若sinaW京则a蝶”的逆否命题：“若a弋，则sina=；”是真命题，故原命

题为真.］

（2）下面的命题中是真命题的是（）

A.y=sii?x的最小正周期为2兀

B.若方程ax2+fcc+c=0（aW0）的两根同号，则彳>0

C.如果那么MUN=M

D.在△4BC中，若赢反>0,则NB为锐角

［答案1B

（3）（2021.长春模拟）命题“若/<1,则一14<1”的逆否命题是（）

A.若则或x<一1

B.若一则/<1

C.若x>l或x<—I,则/>1

D.若或xW—1,则炉21

r答案］D

方法指导

1/由原命题写出其他3种命题的方法

由原命题写其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆

命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.

［注意1（1）对于不是“若p,则q”形式的命题，需先改写；

（2）当命题有大前提时，写出其他三种命题时需保留大前提.

2.判断命题真假的2种方法

（1）直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，

只需举出一个反例即可.

（2）间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，

当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假.

［思维变式］

1.（2021•肇庆一诊）命题“若a,b,c成等比数列，则〃=ac”的逆否命题是（）

A.“若a,b,c成等比数列,则按Wac”

B.“若a,b,c不成等比数列，则按#ac”

C.“若及=ac,则a,b,c成等比数列”

D.“若〃2w“c,则〃，b,c不成等比数列”

D［命题“若a,b,c成等比数列，则扶=ac”的逆否命题是“若则a,b,c

不成等比数列”.］

2.下列命题中为真命题的是（）

A.命题“若x>y,则x>W的逆命题

B.命题“若｝1，则x>l”的逆否命题

C.命题“VxCR,N+2%+320”的否定

D.命题“若x>l,则N>1”的否命题

A［命题“若x>y,则的逆命题；“若x>|），|,则x>y"，正确；

命题“若:>1,则x>l”为假命题，所以其逆否命题为假命题：

命题“VxGR,炉+2%+3'0”为真命题，所以其否定为假命题；

命题“若x>l,则x2〉］”的否命题；若xWl,则显然不正确，反例：x=-2,「>1.

故选A.］

考点二充分条件与必要条件的判定

［例2］⑴(2021•安徽淮南一模)设2ER,则“4=—3”是“直线2&+(，-l)y=l与直线

6x+(l-协=4平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

A［当4=-3时，两条直线的方程分别为6x+4.y+l=0,3x+2)，-2=0,此时两条直线

平行；若直线为+(2—l)y=l与直线6x+(l—2)y=4平行，则23(1—»=—6(1一％),所以2

=-3或7=1,经检验，两者均符合，

综上，'：=一3”是“直线与直线放+(1—2»=4平行”的充分不必要

条件，故选A.］

(2)(2021•安徽黄山模拟)设。>0且“W1,则是“logQl”的()

A.充分不必要条件