2023海淀区高中数学(理)一模试卷及答案

海淀区高三年级其次学期期中练习

数学(理科)2023.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将答题纸交回。

第一部分(选择题，共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项。

(1)已知集合4={0,。},3={%|-l<x<2},且4口3,则。可以是

(A)-1(B)0(C)1(D)2

(2)已知向量a=(1,2),Z>=(—1,0),贝！la+2〃=

(A)(-1,2)(B)(-1,4)(C)(1,2)(D)(1,4)

(3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(开始)

(A)2(B)6

k=0,s=0

(C)8(D)10<---------------k=k+\

是_______1____

—►s=s+A•2”

/输出S/

(结束)

(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1,若四边形ABC。及

其内部的点组成的集合记为M,且尸(x,y)为M中随意一点，

则>一次的最大值为

(A)1(B)2

(C)-1(D)-2

(5)已知。，(为正实数,则“。>1,b>l”是“lga+lgb>0”的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面

的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S,则S的值不行能是

43

(C)(D)-

32

(7)下列函数/(x)中，其图象上随意一点P(x,y)的坐标都满足条件的函数是

(A)/(x)=x3(B)f(x)=y/x(C)f(x)=ev-1(D)/(x)=ln(x+l)

(8)已知点Af在圆G：(xT>+(yT)2=l上，点%在圆。2：(》+1)2+(丁+1)2=1

上，则下列说法错误的是

(A)OMON的取值范围为［―3-2加,0］

(B)|。加+ON|的取值范围为［0,2夜］

(C)|。府-。的取值范围为［2播-2,20+2］

(D)若OM=2ON,则实数2的取值范围为［—3—2及,—3+2近］

其次部分(非选择题，共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

C*

(9)复数一.

1+1

T2

(10)已知点(2,0)是双曲线C:一■一/=1的一个顶点，则c的离心率为.

a

x=2tfx=2+cos。八

(11)直线<(/为参数)与曲线4.八(。为参数)的公共点个数为__________.

y=t［y=sin6

(12)在AABC中，若c=2,a=C,/A=°,则sinC=_______,cos2C=________.

6

(13)一次数学会议中，有五位老师来自A,3,C三所学校，其中A学校有2位，3学校有

2位，C学校有1位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则

共有种不同的站队方法.

/、x,x..a,

(14)已知/(x)=

X-JA,A\U.

①若/(%)有两个零点，则。的取值范围是；

②当心一2时，则满足〃x)+/(x—l)>—3的x的取值范围是.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)(本小题13分)

已知f(x)=2>/3sinxcosx+2cos2x-\

IT

(I)求/(-)的值；

6

(II)求/(x)的单调递增区间.

(16)(本小题13分)

流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些

病毒繁殖和传播.科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒

繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度。

第一季度其次季度第三季度第四季度

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%

乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%b%

(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁

殖和传播的概率；

(II)从上表第一季度和其次季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空

气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X,求X的分布列；

(HI)若a+h=108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,求M的

最大值和最小值.(只需写出结论)

(17)(本小题14分)

已知三棱锥P-A8C(如图1)的平面绽开图(如图2)中，四边形A8CQ为边长为0

的正方形，△4BE和△BCF均为正三角形.在三棱锥P-ABC中：

(I)证明：平面出C_L平面A8C；

(II)求二面角A-PC-B的余弦值；

(IH)若点M在棱PC上，满足丝=九，XG，点、N在棱BP上,且

CP|_33j

求出BN的取值范围.

BP

(18)(本小题13分)

Inx

已知函数/(x)=——

x+a

(I)当4=0时，求函数/(X)的单调递增区间;

（II）当。＞0时，若函数/（X）的最大值为《，求a的值.

e

（19）（本小题14分）

1+W=l(a>b>0)的离心率为*5

已知椭圆C：，且点T（2,l）在椭圆上.设与OT

ab2

平行的直线/与椭圆C相交于P,Q两点，直线TP,TQ分别与x轴正半轴交于M,N两点.

（I）求椭圆。的标准方程；

（II）推断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论.

（20）（本小题13分）

Zj4,2L4“、

2,1a2-,2L%2,n„

设A==是由1,2,3,…，〃2组成一个〃行〃列的数

MM0M

a

、。儿1n,2Lann)

表（每个数恰好出现一次），且〃wN*.

若存在1W/4〃，使得q.j既是第i行中的最大值，也是第/列中的最小值,

则称数表A为一个“N-数表”，.为数表A的一个“N—值”.

对随意给定的〃，全部“N-数表”构成的集合记作。

（I）推断下列数表是否是“N-数表”.若是，写出它的一个“N-值”

23](147、

A=456,B=825

89j16

93,

(II)求证：若数表A是“N—数表”，则A的“N-值”是唯一的；

(HI)在。矽中随机选取一个数表A,记A的“N-值”为X,求X的数学期望E(X).

海淀区高三年级其次学期期中练习

数学（理）参考答案与评分标准2023.4

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

题号12345678

答案cADBADDB

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

题号910ii121314

75B1

答案1+i248X>—1

VT3

注：第12、14题第一空均为3分，其次空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。

15.（本题满分13分）

(I)/(—)=2>/3sincos~+2cos2

=2百x—x—+2x

22

23分

(II)/(x)=\/3sin2x+cos2x

-2sin(2x+—)

JITT

因为函数〉=5m》的单调递增区间为2k7T--,2k7r+-(ZeZ),

[I'J/

令2k4---<2%+—<24乃+—(ZwZ),

262

7C71

解得k7r---<x<kjvH—(ZeZ),

36

TTTT

故了(龙)的单调递增区间为伙万一£次乃+二](ZeZ).................13分

16.（本题满分13分）

（1）设事务A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利

于病毒繁殖和传播.用A,表示事务抽取的月份为第i月，则

£1={4,4,4,4，&，4,4,4,4,40,41，42）共12个基本事件,

A={4，A，4,4,4O,4J共6个基本事件，

所以，P（A）=—=-...........................................4分

122

（II）在第一季度和其次季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁

殖和传播的月份只有2月和6月，故X全部可能的取值为0，I，2.

p(x=o)=4=92r'C18C21

P(X=1)=十P(X=2)=式

C；1551515

随机变量X的分布列为

X012

281

P

51515

(HI)M的最大值为58%,最小值为54%.13分

17.(本题满分14分)

(I)方法1：

设AC的中点为。，连接30,PO.由题意

PA=PB=PC=6,PO=1，A0=30=C0=l

因为在中，PA=PC,。为4C的中点

所以POLAC,

因为在"OB中，PO=1,OB=1,PB=O

所以PO人OB

因为ACC\OB=O,AC,OBu平面ABC

所以PO_L平面ABC

因为POu平面PAC.................................................................................4分

所以平面%CL平面4BC

方法2：

设AC的中点为。，连接30,P0.

因为在中，PA^PC,。为AC的中点

所以PO1AC,

因为PA=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO

所以\POA^POB\POC

所以APOA=APOB=ZPOC=90°

所以POA.OB

因为ACC\OB^O,AC,O8u平面ABC

所以PO_L平面ABC

因为POu平面PAC..........................................................................4分

所以平面Q4cl平面ABC

方法3：

设AC的中点为。，连接P0,因为在AE4c中，PA=PC,

所以P01AC

设A3的中点0，连接PQ,。。及OB.

因为在△。钻中，OA=OB,0为AB的中点

所以OQ_LAB.

因为在AR4B中，PA=PB，。为46的中点

所以PQ1AB.

因为PQ[}OQ=Q,PQ,OQu平面。P。

所以ABJ_平面OPQ

因为OPu平面。PQ

所以OPVAB

因为A3f|AC=A,A8,ACu平面ABC

所以PO_L平面ABC

因为POu平面PAC............................................................4分

所以平面R4C_L平面ABC

(II)由尸O_L平面ABC,OBLAC,如图建立空间直角坐标系，则

0(0,0,0),C(l,0,0),8(0,1,0),A(-l,0,0),P(0,0,l)

由OB_L平面APC,故平面APC的法向量为。B=(0,1,0)

由3C=(l,-l,0),PC=(1,O,-1)

设平面PBC的法向量为〃=(x,y,z),则

由，

x-z=0

令X=l,得y=l,Z=l,即〃=(1』,1)

nOB1_>/3

cos<n，OB>=

\n\-\OB\V3.1-3

由二面角A—PC-3是锐二面角,

所以二面角A—PC—B的余弦值为立.............................9分

3

(III)设BN-iBP,0<//<1,则

BM=BC+CM=5C+ACP=(1,-1,O)+2(-1,(),1)=(1-2,-1,2)

AN=AB+BN=AB+〃BP=(1,1,0)+〃(0,-1,1)=(1,1

令BM-AN=。

得(1_%)」+(-1).(1_〃)+/1.4=0

0I

即〃=--=1——〃是关于2的单调递增函数，

1+A1+A

当几时,马，

3345

s、BN12八

所以而*中7n.................................................14分

18.(本题满分13分)

InY

(I)当a=0时，/(%)=——

x

1,

--x-lnx

故/(x)=j—1-lnx

2

JCx

令f'(x)>0,得0<x<e

故/(x)的单调递增区间为(0,e)......................................4分

x+a1,at

——InxId---------\nx

(II)方法1：,⑶xx

(X+Q)2(X+Q)2

令g(x)=l+——Inx

x

e,/、a1x+a八

则g(x)=—T—=------r~v0

XXX

u+l

由g(e)=?>0,^(e)=l+-^T-(l+«)=«-(-^T-l)<0

<,+1

故存在x()G(e,e),g(&))=0

故。的值为e?.

(H)方法2：/(x)的最大值为二的充要条件为对随意的xe(0,yo),且存

e-x+ae-

lnx1-,

在/G(0,+oo),使得一”n=F,等价于对随意的xe(0,+8),a?e21nx—X且存

-

x0+ae

2

在X。e(0,+oo),使得a>eInx0-x0,

等价于g(x)=屋Inx-x的最大值为a.

令g'(x)=O,得x=e2.

X(0,e2)e2(e2,+oo)

g'a)+0—

g(x)/极大值

故g(x)的最大值为g(e?)=e2Ine?-e2=e2,即a=e2..................13分

(19)(本小题14分)

(I)由题意储2一从=。2,

a2

解得：a-2\/2，b-V2»c=V6

22

故椭圆C的标准方程为—+^-=1................................5分

82

(II)假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或。点的坐标为(2,-1),直线/的方程

为y+l=；(x-2),即y=；x-2.

联立方程J,得％2一以+4=0,

此时，直线/与椭圆C相切，不合题意.

故直线TP和TQ的斜率存在.

方法1：

设尸(4乂)，Q(x2,y2),则

直线7。：丁一1=五二。一2)

X2-2

故|0M|=2-|ON|=2-土|

y,-iy2T

由直线OT:y=gx,设直线PQ:y=〈x+f(r/0)

联立方程，\82二川+2田+2产-4=0

当△>()时，Xj+x2=-It,X]・％2=2/2-4

\OM\+\ON\=4-(^1+^|)

y,-iy2T

=4—(产2—+产2—)

~Xj+Z-1-%2一[

_玉％+Q—2)(X[+x)—4(Z—1)

A2=4-----------------------------------------

11,

—XtX2+—(?-l)(X,+%2)+Q_1)~

.2r2-4+(/-2)(-2r)-4(/-l)

14分

方法2：

设P(』,y),Q(x2,y2),直线7P和T。的斜率分别为仁和42

由OT:y=；x,设直线PQ:y=；x+/(f。0)

联立方程，VJ^x2+2tx+2t2-4=0

y=-x~\~t

r2

2

当△>()时，X,+x2=-2t,xt-x2=It-4

1,1,

一X.+z—1-x9+z_1

=2J12-

X1-2—2

%1%2+(，-2)(X|+X2)—4(/—1)

二(%—2)(——2)―

_2»—4+«-2)(-2。-4(1-1)

一(%-2)(马-2)

=0

故直线7P和直线T。的斜率和为零

故ZTMN=ZTNM

故TM=TN

故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为2

故|OM|+|QN|=4............................................14分

20.(本题满分13分)

(I)A是“N-数表”，其"N-值”为3,8不是“N-数表................3分

(II)假设和田,「均是数表A的“N-值”，

①若i=r,则=max{aiA,ai2,...,ain}=max{ari,a..2arn)=4V；

②若j=j',则%/=min{4j,a2j,…,%/=min{q,/,a2j,,...,a“j}=q.j.；

③若iHi',//则一方面

aij=max{q1,《”••，％“}>0,/>min{a,r,a2r,...,an;.}=arr,

另一方面

avr=max&i，%，…，4”}〉%j〉min{q.,a2j,...,an,}—aj.；

冲突.即若数表A是“N-数表”，则其"N-值”是唯一的................8分

(III)方法1：

对随意的由1，2，3,…，361组成的19行19列的数表A=(%)93

定义数表B=(4,)回］9如下，将数表A的第，行，第J列的元素写在数表B的第j行,

第，列,即

b”=%,j(其中1KjK19,1<J<19)

明显有：

①数表B是由1，2.3,…，361组成的19