高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (二十九)

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(29)

1.如图，在几何体P-4BCD中，已知尸力平面A2CZ),且四边形A8CZ)为直角梯形，Z.ABC=

A.BAD=pAD=2,AB=BC=1.

(1)求证：CDJ•平面PAC；

(2)若PC与平面ABCQ所成的角为会求点A到平面PCD的距离.

2.如图①，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,E,尸分别是A。，8C的中点，以E尸为棱将矩形

ABCC折成60。的二面角，如图②所示，M为棱AB上的点，旦加=4四.

(1)当4=9时，求证：DMJ.MF;

(2)若直线CF与平面EMC所成角的正弦值为警，求实数4的值.

3.如图，在三棱锥A-BCD中，ziABC是边长为3的等边三角形，CD=CB,CDJ■平面ABC,点”、

N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM〃平面APN.

A

(1)求证：BM1AN；

(2)求平面APN与平面ABC所成角的正弦值.

4.在四棱锥P-4BCD中，PA_L平面ABCD,P4=26,D0/AB,4DAB=90°,AB=3,AD=CD=2,

M是棱PD的中点.

(1)求AM与平面PBC所成的角的大小;

(2)在棱PB上是否存在点Q,使得平面QAD与平面ABCD所成的锐二面角的大小为60。？若存在,

求出AQ的长；若不存在，说明理由.

5.如图，四棱锥P-4BCC的底面A8C。是边长为2的菱形，P。，底面ABCQ.

E

(1)求证：平面P4CJ■平面P8D；

(2)若PD=BD=40,PA中点为M,求点M到平面PBC的距离.

6.如图，四边形ABCQ是边长为1的正方形，MDl¥ffiABCD,NB，平面ABCQ,MD=NB=1.

证明：(1)NC〃平面4DM;

(2)DN1平面ACM.

7.如图，在多面体ABCQE中，AABD=60°,BD=2AB,AB1CD,

Bo

w

(1)4B〃DE,且。E=24B,点M为EC的中点，求证：4M〃平面BCD；

(2)若圈BCD是边长为2的等边三角形，N在线段CO上，S.DN=2CN,求BN与平面AC。所

成角的余弦值

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PDJ.底在1BCD,四边形A8CD是平行四边形，且=&,4B=2,

NBA。=?,PD=2,点M是线段PB上的动点.

(1)求证：BC1DM；

(2)设PM="B,试确定;I的值，使三棱锥P-4DM的体积为

9.如图所示，在长方形ABCD中，AB=2,AD=

起到△DZE的位置，且平面D'4E，平面ABCE.

(1)求证：AD'1BE；

(2)在棱ED'上是否存在一点P,使得。'B〃平面P4C,若存在，求出点P的位置；若不存在，请

说明理由.

10.在四棱锥P—ABC。中，P4_L平面A8C£>,PA=AB=4,AD=CD=2,BC=2V2,AB//

(1)求证：BA平面PAO；

(2)若E是PC的中点，求直线BE与平面PAO所成角的正切值.

11.如图1,等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=AE=BE=CD=2,BC=ED=4,。为BE中

点，尸为BC中点将回ABE沿BE折起到回ABE的位置，如图2.

(1)证明：。。1平面4。?；

(2)若平面ABE1平面BCDE,求点尸到平面AEC的距离.

12.如图所示，正方体ABCD-&BiGDi的棱长为2,E,尸分别是BB1，相＞的中点.

(I)求证:平面&EF1平面G/E；

(口)求四面体C/iEF的体积.

13.如图，多面体A8CDEF中，底面A8CD为正方形，EA//FC,且E4=FC=4B=4,4EBD、

△FBO都是正三角形.

(1)证明：CF1平面ABCZ)；

(2)若丽=?而，求ME与平面BD尸所成角的正弦值.

14.已知四棱锥P-4BCD,PA1PB,PA=PB=V2.4。1平面PA8,BC//AD,BC=3AD,直

C

线co与平面PA8所成角的大小为:，M是线段A3的中点.D

AB

P

(1)求证：平面PDM;

(2)求点M到平面PCD的距离.

15.如图所示，直三棱柱4BC-中，/4CB=90。，44BC=45。，4B=441=2,P为CQ

的中点.

(1)求证AB1，平面P&B.

(2)设E为BC的中点，线段ZB】上是否存在一点Q,便得QE〃平面44CC1?若存在，求四棱锥

Q-441GC的体积；若不存在，请说明理由.

16.如图所示，多面体ABC-EFD中，平面ABC〃平面DEF,AE//CD,AE1平面48C,四边形AEF8

为直角梯形，AB1BC,AB=BC=2AE=2EF.

(1)求证：直线4FJ■平面BCF；

(2)求直线CF与平面ACQE所成角的正弦值.

17.如图所示，长方体力88-418©。1中，E是棱DiQ的中点，AB=2,BC=BBX=

(1)求证BiG1DE；

(2)求三棱锥E-OBiG的体积.

18.在五面体EF-4BCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形ABCD为等腰梯形,

ABHCD,AD=DC=BC=^AB.

(1)求证：平面BCF1平面ACE；

(2)若三棱锥4-BCE的体积为竽，求线段AB的长.

19.将图①中正方形ABCD沿着对角线BD对折，并使平面ABD，平面CBD,从而构成图②中的三棱

锥4-BCD,点E、F分别是线段BC、DA的中点.请在图②的三棱锥中解答如下问题：

(1)求二面角A-BC-。的正切值;

(2)求异面直线DE与CF所成角的余弦值.

20.如图，在直四棱柱4BCD—ABiGDi中，AD//BC,ABJ_4D,AB=AD=A4i=2BC=2

(1)求二面角Ci-B]C-Di的余弦值;

(2)若点P为棱A。的中点，点。在棱48上，且直线BiC与平面为PQ所成角的正弦值为12”

15

求AQ的长.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：连接AC,♦.•4B=BC=1,4ABC为直角,

:.AC=V2>^-BAC—3，

又•.・4BAD=p

Z.CAD=

4

又•：AD=2,

•・•4CD为等腰直角三角形，

AC1BC,

又P4_L底面ABCD,PA1CD,

又CAC=4,PA,ACPAC,

CD_L平面24C;

(2)解：vPAABCD,•••4PC4是PC与平面A8C£>所成的角,

故由已知得NPC4=g,在PAC中，过A作AHJ.PC,垂足为H,

则4到斜边PC的距离4H=ACsin-=正,

32

•・•CDJ_平面PAC,CDu平面PC。，.•・平面PAC，平面PCD,

又•.・平面pacn平面PCO=PC,

AH1PC,AHu平面PAC,

AH，平面PCD,

即AH就是A到平面PCD的距离，

A到平面PCD的距离为华.

2

解析：考查线面垂直的判定和性质定理，直线和平面所成角及点到面的距离.考查逻辑推理能力，

考查计算能力，都体现了转化的思想，属中档题.

(1)根据条件利用线面垂直的判定定理即可证明：

(2)根据题意作出点A到平面PCD的距离并证明，最后求出A”的值即可，即体现了“作一证一求”.

2.答案：(1)证明：取AE的中点为0,连接。0,OM,0F,

因为EFJ.DE,EF14E,AEdDE=E,

所以EFL平面。0E,且4DEA为二面角D-EF-Z的

平面角，即4。£4=60。，

又0E=»E,所以C0JLAE.

由面。0E,可得D01EF,

又4ECEF=E,且AE,EFu平面ABFE,

所以。。J■平面ABFE,又MFu平面ABFE,

所以。。1MF.

因为宿=1而，

所以AM=1,AO=1,可得0M=VL

同理可得MF=2&,OF=V10,

所以。"2+"F2=。?2,即。“J.MF,

又。OnOM=。，所以MFL平面。。何，

又DMu平面DOM,所以DM1MF.

(2)解：由(1)可知D。JL平面A8FE,以。为坐标原点，OA，AB,0万的方向分别为x,y,z轴的正

方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

所以E(-1,O,0),C(0,3,V3),F(T,3,0),

故近=(1,3,遮)，CF=(-1,0,-V3).

设M(1J,0),所以询=(2J,0).

设平面EMC的法向量为沆=(xj,z),

则(记•EM=2x+ty=0,

[m-EC=x+3y+y/3z=0,

令y=2,则记=(-t,2,贵)，

因为直线C尸与平面E例C所成角的正弦值为史亘，

13

所以|COS保，西|=2心+4+1字=.，

所以4t2-121+9=0,解得t=|,

即M为AB的中点，所以;1=/

解析：本题考查了线面垂直的判定及性质，利用空间向量求线面的夹角，考查学生分析解决问题的

能力，属于中档题.

(1)由题意，推导出。。IMF,OM1MF,则可得MF_L平面。。"，由此可证得DMJLMF;

(2)以。为坐标原点，OA，AB，成的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系。-町/z,利用空间向量法求出直线CF与平面EMC所成角的正弦值，由此可得实数4的值.

3.答案：(1)证明：•••CD1平面ABC,BMu面ABC,.-.CDVBM,

又•••正AABC中，AM=MC,则BM14C,

•••CDCtAC=C,CD、ACu面ACD,

■■BMiffiACD,又ANu面ACD,

•••BMLAN.

(2)解：连接交AN于G点，连接PG,

因为BM〃平面APN,所以BM〃PG,

由重心性质知P为靠近B点的三等分点.因为CD，平面ABC,

如图以CdC8分别为居y轴，以过C垂直平面BC£>的直线为z轴建立空间坐标系,

•••C(0,0,0),力(0,|,平)，8(0,3,0),P(l,2,0),N(|,0,0),

设面4PN的法向量为五=(x,y,z),

则存•元=0，AN-n=0,

(x+-y--z=0

•••33V3，令4=4,则y=l,Z=8

\-x——y------z=0

122Z2

:.n=(4,1,遮)，

平面ABC的法向量为沅=(1,0,0),

.一♦一、mn1X42V5

则血…诉扁==

・•・平面APN与平面ABC所成角的正弦值为，.

解析：本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和面面所成角，是中档题.

(1)由CD1平面A8C,得CDIBM,又正44BC中，AM=MC,则BM1AC,可得BM1面ACC,由

线面垂直的性质可得线线垂直；

(2)利用CD1平面ABC,以C£>,CB分别为x,y轴，以过C垂直平面8co的直线为z轴建立空间坐

标系，然后求出平面ABC和平面APN的法向量，利用面面夹角公式即可求解.

4.答案：解：如图，以所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则P(0,0,2遮),A(0,0,0),B(3,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),M(0,l,遮)，

(1)AM=(O,l,V3),PB=(3,0,-2V3)，BC=(-1,2,0).

设平面PBC的法向量沆=(x,y,z),则律•更=0户-*z=0

所以可取记=(2,1，⑸，设AM与平面PBC所成的角为。，

则sin。=|cos(AM,m)|=羡=4，所以AM与平面PBC所成的角为45。；

(2)平面ABCD的法向量可取五=(0,0,1).

设风=2闻=4(3,0,—2b)=(3A,0,-2V3A),则Q(3/l,0,2遮一2四4),

所以丽=(3尢0,28一2百；1),前=(0,2,0)，

设平面QAD的法向量为芯=(冷心㈤，则旧,"=°,f32X2+Ge-2产)Z2=0,

(芯•AD=0I2y2=0

可取通=(2V3-2V3A,0,-32),

因为平面QAD与平面ABCD所成的锐二面角的大小为60。.

所以|8$〈汨,苗)|=3所以一/一34..=：,解得4=|或4=一2(舍)，

lJ(2V3-2V3A)2+(-31)2

所以而=&0,管)，所以阿二肾商吟

解析：本题考查空间中角的求法，熟练掌握利用空间向量处理异面直线夹角、线面角和二面角的方

法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

(1)以A为原点建立空间直角坐标系，求得平面PBC的法向量元，设AM与平面PBC所成的角为仇

由sin。=|cos<4M,n>|,得解；

(2)设丽=2而，Ae[0,1],求得平面QAD的法向量沅，由PA1平面ABCD,知平面ABCD的一个

法向量为E=(0,0,1),再由cos60o=cos<记，t>,可得关于;I的方程，解之即可.

5.答案：(1)证明：由PCI平面48cD,且AC在平面4BCD内，

故ACLPD,因为四边形A8C。为菱形，

故AC1BD,又BO、PO为平面PBD内两条相交直线,

所以4cl平面PBO,因为AC在平面PAC内，

所以平面PACJ■平面PBD.

(2)解：设点M到平面P8C的距离为“，因为点M是线段AP的中点，

所以点A到平面PBC的距离为2d.

111

故除-PBC=2^A~PBC=2^P~ABC=Z%-ABCD，

又VP—ABCD=]S菱形ABCDxPD

1,、1s2.开、44

=-x2x-xAD^xsm-x2=-----，

3233

因为PD_L平面A3CQ,CD、在平面ABC。内，

所以PD1CD,PD1BD,

故PC=PB=2V2,

于是易得S^PBC=小又，M-P8C=5XS&PBCXd=5xWxd

所以工x«xd=Zx延，即d=W

3437

故所求点M到平面PBC的距离为名.

7

解析：本题考查线面垂直以及面面垂直的判定，棱锥的体积，属于中档题.

(1)由线面垂直即可证明面面垂直；

(2)由等体积法即可证明.

6.答案：证明：(1)因为MD_L平面ABCC,NBJ■平面ABCD,所以MO〃NB.

又MDu平面ADM,NB,平面ADM,所以NB〃平面ADM.

因为四边形A8CD为正方形，所以8C//AD,

又4。u平面A£)M,I3C笈平面A.DM,所以BC〃平面ADM.

又NB,BCu平面BCN且NBdBC=B,所以平面BCN〃平面AOM,

又NCu平面BCN,所以NC〃平面ADM.

(2)设ACnBO=01，M0CDN=H.

由(1)得MD〃NB,由己知，得MD=NB=1,所以四边形MNBO为平行四边形;

因为MDl¥1BlABCD,BDu平面A8C£>,所以MD1BD,

所以平行四边形MN8。为矩形，且MN=BD=y/2.

由。为8。的中点得。。=争所以需=器=也

所以Rt△MNDsRt△MDO从而4DMH=乙MNH,

因为4DMH+/NMH=90。，所以NMNH+4NMH=90。，从而/MHN=90。，

即M。1DN;

因为ABCZ)为正方形，所以AC1BD,又MD平面ABCZ),且力Cu平面ABCO,

所以MD14C,又MD,8。0平面8。四，且MDCBD=D,所以AC1平MNB。，

又DNu平面MM3。，所以4C1DN,

又MOnAC=O,MO,ACu平面ACM,

所以。N_L平面ACM.

解析：本题考查了线面平行的判定和线面垂直的判定以及面面平行的判定和性质，线面垂直的判定

和性质，属于中档题.

(1)可以先证明平面BCN〃平面ADM,根据面面平行的性质得出NC〃平面ADM.

(2)一方面可以通过角度证明M。1ON,然后证明ACJ•平面MNBO,利用线面垂直的性质得出4c_L

DN,从而使问题得证.

7.答案：证明：(1)取线段CO的中点凡连接BF,MF,

在ACOE中，点M为EC的中点，点F为线段C。的中点

MF//DE,且MF=3DE

又•••AB//DE^.DE=2AB,

：.AB//MF,AB=MF,

四边形ABFM为平行四边形，

：.AM//BF,

又AMC平面BC。，BFu平面BCD,

AM〃平面BCD;

(2)在ZABD中，BD=2AB,^ABD=60",

4BAD=90。即AB1.AD,

又AB1CD,ADQCD=D,

ADu平面ACD,CDu平面ACD,

AB_L平面ACD

•••NBM4即为BN与平面AC。所成的角

在△BCD中，设BC=2a,则4B=a,

由前=：前+|瓦\

得|丽|=誓a,即BN=^a.

V133

：•cos乙BNA=1-sin2^BNA=

14

•••BN与平面ACD所成角的余弦值为叵.

14

解析：本题考查直线与平面平行的判定以及直线与平面所成的角，属于中档题.

(1)取线段CO的中点凡连接BF,MF,根据己知条件可证得四边形A8FM为平行四边形，于是可

得AM〃BF,再根据线面平行的判定可得〃平面BCD;

(2)由已知条件和线面垂直的判定可证得AB，平面4CD,所以Z_BM4为BN与平面4c。所成的角，

设BC=2a,则4B=a,可求得BN的长度，从而可求出sin/BM4,进而求得cos/BNA的值.

8.答案：⑴因为4BCQ是平行四边形，AD=V2,AB=2,4BZD=%

所以4D=BD=JI.Z.DDA90,

所以4。1BD；

因为PD1平面ABCD,ADu平面ABC。，

所以4。1PD,

BDCPD=D,BD、PDu平面PBD,

所以4。1平面PBD,

又ADIIBC,所以BCL平面PBD,

因为DMunPBD,

所以BC1DM.

(2)S”DP=$x2xV2=V2,VP^ADM=

所以M到平面PAD的距离为立，即M到PD的距离为立，

22

由相似比知M为尸8中点，A=1.

解析：此题考查线面垂直的判定，线面垂直的性质和点到面的距离，属于中档题.

(1)首先求得4。_LBD,AD1PD,进而证明4D1"PBD,即可得到BC，乎同PBD,进而根据线

面垂直的性质证明即可：

(2)首先求得/MOM=i,进而得到M到PD的距离为玄，从而求解4的值.

32

9.答案：解：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABC。中，

△。45和4CBE为等腰直角三角形，

•••/.DEA=4CEB=45°,

•••/.AEB=90°,即BE14E.

•.•平面D'4E_L平面ABCE,且平面D'AEn平面4BCE=AE,

•••BE_L平面C'AE.

vAD'u平面D%E,

AD'1BE.

(2)如图所示，连接AC交BE于Q,假设在D'E上存在点P,使得D'B〃平面PAC,连接PQ,

VD'Bu平面D'BE,平面D'BEfl平面PAC=PQ,

：.D'B//PQ,

EPEQ

.•.在△EBD'中,PD^=QB-

••・在梯形A8CE中，器吟=：，

ADN

EPEQ1

即EP=：E。,

PD;QD2

.•.在棱D'E上存在一点P,且EP=1E。'，使得D'B〃平面PAC.

解析：本题考查平面与平面垂直的性质，直线与平面平行的性质、三棱锥的体积公式.

(1)由题意，在长方形A8CZ)中，可知BEJ.4E,根据面面垂直的性质定理可以证明4。_L8E；

(2)连结4c交BE于Q,假设在。'E上存在点P,使得D，B〃PQ,根据平行线的性质结合平面几何知

识，即可得到E尸与ED'之间的关系.

10.答案：(1)证明：取AB的中点R连接CF,如图，

贝以F〃CD,四边形4FCD是平行四边形,

•••CF=AD=2.又,・,BF=2,BC=2企,

・・.BC2=BF2+CF2,.・・AB1CF,

XvCF//AD,.-.ABLAD,

又24_L平面ABCD,：.PA1AB,

•/AB〃平面PA。，PAnAD=A,PAu平面PAD,ADu平面PAD,

BA_L平面PAD.

(2)取PD的中点G,AB靠近B点的四等分点H,连接G”，AG,EG,如图所示,

EG//\CD//\AB//BH,

.,•四边形BHGE是平行四边形，•••BE〃GH,

二直线BE与平面PAD所成的角即为直线HG与平面PAD所成的角.

vBA1平面PA。，N4GH即为直线HG与平面PAD所成的角.

在RtA/lGH中，AG=V5>AH=3,tanZ-AGH=

即直线BE与平面PA。所成角的正切值为

解析：本题考查面面垂直的判定以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题.

(1)通过证明ABX.AD,PAX.AB,即可证明BA1平面PAD-

(2)取PD的中点G,AB靠近8点的四等分点H,根据直线和平面所成角的定义，证明N4GH即为直

线HG与平面PAD所成的角，即可直线BE与平面PAD所成角的正切值.

11.答案：解：（1）证明：由等腰梯形4BCD中，AD//BC,BC=ED=4,可得四边形BC£»E是平行

四边形.

所以BE〃CD,BE=CD=2.ABAE=BE=CD=2,故可得△ABE为等边三角形，/.BAE=60°,

因为。为BE中点，所以，BE1AO.由等腰梯形A8C3中可得NB4E=NCDE=NC8E=60。.

连接EC,在△BEC中，由余弦定理可得

EC2=BC2+BE2-2BC-BE-cos^EBC=42+22-2x4x2X1=12,即EC=2百，

所以BE?+EC2=16=BC2,即BE_LEC.

因为。，F是BE,8c中点，所以OF〃EC,所以OF1BE.

从而可得OF_LCD,CDlA'O,A'OCiOF=0,A'O,OFu平面4OF,

所以，CDJL平面4。工

A\A）

BFC

(2)解：由(1)可知，OF“EC,因为OF笈平面A'EC,ECu平面4EC,所以OF〃平面4EC.

所以，点F到平面4EC的距离即为点。到平面4EC的距离.

所以，点F到平面4EC的距离等于点B到平面4'EC的距离的一半.

取4E的中点为H,连接8H,MBH1A'E.

由(1)知EC1BE,因为平面4'BEJL平面8CDE,平面4BEf|平面BCCE=BE,ECu平面BCOE,

所以，ECJL平面4BE,

因为8Hu平面4BE,

所以，EC1BH.

又ECn4E=E,EC,4Eu平面4EC

所以，BH1平面AEC,即点B到平面4'EC的距离B”.

因为，三角形4BE是等边三角形，边长为2,故8”=百，所以，点8到平面4EC的距离为国，

所以，点F到平面4EC的距离为攻.

2

解析：【点睛】

本题考查了平面立体转化的问题，线面垂直，面面垂直的性质定理，点到平面的距离，属于中档题.

(1)先证四边形BCOE是平行四边形，AABE为等边三角形，由余弦定理可证明BE1EC,进而证明

0F1CD,CDlA'O,即可证明结论；

(2)点尸到平面4EC的距离转化为点8到平面4EC的距离的一半，取AE的中点记为H,证明8"1平

面力'EC,求出即可得结论.

12.答案：解：(I)证明：•••正方体ABCD-4B1GD1的棱长为2,E,尸分别是A。的中点.

。也1面力DDMi，A/u面NDDMi，

•1•A^FJLCJDJ,

取中点“，连结D中,

•••=441=2,A1H=Af=l,4。送阳=44遇尸=90°,

•••△D1A1ff^AATAF,•••乙A]D]H—Z-AArF,Z-A1HD1=ArFA,

•••zJMiN+“HN=90。，二&F1D1H,

•••D1C1nDrH=D1C1,面G/E,

AXF，平面Q£)iE,

vAXFu平面&EF,

.•・平面4EF_L平面GD】E.

(口)解：取BC中点G,&F中点M连结4G,交EC1于M,连结MMFG、EH,

则四边形QD/E是矩形，SACME=齐矩形CM/E=T*2x历予=瓜

由(I)得FNJ.GM,又NFICiD],CrMn=C1；CtM,u平面G/E,

*,•NFJ_平面

由(I)得••・第=竿，即与=看

解得4/=奈=NF=V5—

••・四面体GD1EF的体积为：

^=^XSACIDIEX/VF=|XV5X^=1.

解析：本题考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(I)推导出&F1(?也,取441中点H,连结。iH,推导出&F1DiH,

由此能证明&F_L平面C"iE,从而平面&EF_L平面QDiE.

(口)取8c中点G,连结8道，交EC】于M,连结MMFG、EH,推导出NF_L平面(?也£,由此能求

出四面体GQEF的体积.

13.答案：(1)证明：法一：由CF=BC=4,BF=BD=4&，得BC?+CF2=BF2,所以CF1BC,

同理CF1CD,又BCCCD=C,所以CFJ■平面ABQ9.

法二：连接4c交8。于0,则四边形ACPE为平行四边形，

0A=OC,0E=OF,AE=CF=>△AEO^CFO=/.EAO=乙FCO,

又EA〃FC=>^.EAO=乙FCO=90°,即FC10C,

又BD1AC,FD=FBnBO1F0,又4cCtFO=O,

所以B。1平面ACFE,又因为CFu平面ACFE,所以BO1CF,

又0CCBD=0,OCu平面ABC。，BDABCD

故CFl平面ABCD.

(2)解：由(1)知：E41平面ABCD,以A为原点，DA，AB，荏方向分别为x轴、y轴、z轴的正方

向建立空间直角坐标系4-xyz,

则8(0,4,0),。(一4,0,0),£(0,0,4),尸(一4,4,4),丽=之乔="(一2,4,2),

设平面BOF的法向量为元=(a,b,c),

则［,亘=。={-^+4c=0

(n-BD=01-4a-4b=0

取a=l,则记=(1,一1,1),

ME=(2,—4,2)，旌与平面也万所成角的正弦值为|8$0而,五)|=|箴|=|"+2工./=坂

所以ME与平面8。尸所成角的正弦值为它.

3

解析：本题考查线面垂直的判定、线面所成角，考查空间想象能力，属于中档题.

(1)法一：由CF=BC=4,BF=BD=4&得CF1BC,同理CFJ.CD,可得CF_1_平面ABCD.

法二：连接AC交BD于0,则四边形ACFE为平行四边形，可得FC1OC,再利用BD，平面ACFE

可得8。1CF,可证CF，平面ABCD.

(2)以A为原点，瓦彳、荏、何方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系4-xyz,

利用空间向量法可得ME与平面BCF所成角的正弦值.

14.答案：解：(1)因为AD1平面PA8,PMu平面P48,

所以4D1PM,因为P4=PB=VLM是线段A8的中点，

所以PM14B,又4DnAB=A,4Du平面ABC。，ABu平面A8C£),

所以PM_L平面ABCD,又CDu平面ABCD,

1

所以PMJ.CD.取C8上点E,使得CE=&CB,连接4E,

所以4D//CEB.AD=CE,所以四边形AECD为平行四边形，

所以CD//AE,

所以直线CZ)与平面抬8所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小,

又AD_L平面PAB,BC//AD,所以BCJ_平面PAB,

所以NE4B为直线AE与平面心8所成的角，所以所以BE=4B,

因为PA=PB=y[2,PA1PB,所以4B=2=BE,

所以40=1,BC=3,CD=2V2,

所以DM=VI，CM=V10,所以。“2+。。2=c“2,所以c。1DM,

因为CMClPM=M,DM,PMu平面POM,所以CD1平面PDM.

⑵由⑴可知CDJ_平面PDM,所以ACDM和ACDP均为直角三角形，

乂PZ)=V5，设点M到平面PCD的距禺为d,则％-CDM=，M-PCD，

g|j|C£>-DM-PM=^CD-DP-d,化简得DMPM=DP-d,

解得d=立，所以点M到平面PCQ的距离为渔.

33

解析：本题主要考查线面垂直、点到平面距离，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即

可.

(1)因为4。_L平面PAB,PMu平面PAB,所以4。1PM,因为P4=PB=V5,"是线段A8的中点，

所以PM1AB,求证CD1平面PDM.

(2)由(1)可知CD1平面PDM,所以/CDM和Z1CDP均为直角三角形，又PD=W,设点M到平面PCD

的距离为d,则4-COM=%-PCD，求点M到平面尸CO的距离.

15.答案：解：解法一：(1)证明：在AABC中，

vZ.ACB=90°,Z.ABC=45°,AB=2,

AC=BC=-\/2>

又直三梭柱4BC-&B1C1中，AB=AAr=2,则为正方形，

设交AB［于点O,则。为AB1的中点，且

连接PA,PBi，PO,

222

••・侧棱CG1底面ABC,P为CCi的中点，则R4=>JAC+PC=VITl=V3,B$=+CrP=

VTTT=V3>

故P4=PBi.

：■PO1ABlt

•••POn&B=。，且PO,48<2平面24记,

AB11平面P&B.

(2)当Q为AB1中点，即点。与点。重合时，QE〃平面44CG.

理出如下：

连接4C,••・£为BC的中点，.•.则QE〃&C,

•••QEC平面A&GC,&Cu半面A&GC,

QE〃平面441GC.

此时，Q到平面&ACG的距离等于B到平面44CG的距离的一半，

又^B-AiCiC_3%BC-AiBiQ=,]XV2XV2X2=

%-A4iQC=$KB-A4ICIC=3"

解法二：(1)证明：在△4BC中，•••N4CB=90。，AABC=45°,AB=2,

•••AC-BC—V2,

又直三棱柱ABC—&BiG中，AB=44=2,则448为为正方形，

设交AB［于点。，则。为AB1的中点，且4iB_L4Bi.

连接B】C交BP于/点，在直三棱柱4BC-&B1C1中，B/1平面A8C,

「ACu平面A8C,二力。1881.

5LAC1BC,BCCBBLB,BC,BB】u平面叫的。,

•••ACJ■平面BBiGC,

•••BPu平面BBiGC,.-.ACLBP,

222

在矩形B81GC中，P为CC]的中点，贝iJPB=y/BC+PC=V2TT=V3，BXC=-^BC+BBl=

V2+4=V6>

由CCJ/BBi得ACPFSABB$,.卷=*=靠=:,

PF=—,CF=—,PF2+CF2=PC2,故B、CLPB,

33

y.AC1BP,ACPiB.iC=C,AC,aCu平面ABC•••8PJL平面ABC

•••AB】u平面ABC•••ABr1BP.

又4181481，A]BCBP=B,&B,BPu平面•••_L平面P&A

(2)当。为ZB1中点，即点Q与点。重合时，QE〃平面&ACC1.

理由如下：

取AB中点M,连接QM,ME,又CE=BE,：.ME"AC,

•••MEC平面/CCi，4Cu平面&ACC1，

ME〃平面AMCC].

同理可得QM〃平面44CC1.

又•••MECyQM=M,ME,QMu平面QME,

二平面QME〃平面44CC1,

又QEu平面QME,

•••QE〃平面4遇班.

此时，。到平面44CG的距离等于E到平面414CG的距离，

在直三棱柱力BC-4B1G中，CCi_L平面ABC,

•：BCu平面ABC,CCX1BC,

又4c1BC,ACr\CC-i=C,AC,CCru平面4&GC,•••BC1平面4Alec

・•・EC为四棱锥Q—A41cle的高，EC吟

•••41cle=^E-AA^C=9s441CCEC=：X(2XV2)Xy=|.

解法三：(1)证明：在△ABC中，

VZ-ACB=90°,/.ABC=45°,AB=2,

AC=BC=y/2)

设交481于点O,

在直三棱柱ABC—aBiG中，44i=2,428当为正方形,

二0为AB1中点，且。mJ.”今

连接PA,PB「PO,

♦••侧棱CC11底面ABC,P为CC1的中点，则24=yjAC2+PC2=V2T1=6,BJ=[B©+(：产=

VT+T=V3.

故PA=PB1.

：.PO1ABr,

同理可得P。1AXB.

y.A^BnABX=0,A1B,AB1U平面4BB1A1，2。1平面4眄41.

•••POu平面P&B,

••・平面24iB，平面4BB遇i.

・平面P&Bn平面71叫&=4$,ABru平面

AB11平面PA/

(2)同方法一

解析：解法一：⑴证明&ABB1为正方形,设交AB[于点0,则。为AB1的中点，且力IBIA%

连接PA,PBi，P0,推出P014B1，然后证明L平面P48.

(2)当。为ZB1中点，即点。与点0重合时，QE〃平面AiACCr连接4C,说明QE〃平面441GC.Q

到平面44CC1的距离等于B到平面&ACC1的距离的一半，转化求解几何体的体积即可.

解法二：(1)证明4遇为正方形，设交于点。，则。为4Bi的中点，且4/JL4%连接当C

交BP于F点、,推出BBiJ_平面ABC,AC1BB1.结合4c1BC,证明4cL平面BBiGC,证明BP_1_平

面ZBiC,然后证明4B_L平面P&B.

(2)当Q为AB1中点，即点。与点。重合时，QE〃平面44CG.

取AB中点M,连接QM,ME,说明Q到平面力遇。的的距离等于E到平面4遇"1的距离，利用等

体积法VQYAQC=^E-AA^C转化求解即可.

解法三：(1)设为B交ZB】于点。，说明为正方形，

得到&B1AB1，连接产A,PBi，PO,推出P0JL4B1，证明P。，平面.得到平面P&B1•平面

48务公.即可证明A为_L平面P&A(2)同方法一

本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识，意在考查

逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.

16.答案：解：⑴因为4E，平面43&AEc5?®AEFB,

所以平面4EFBJ■平面Z8C.又BC1AB,平面4EFBn平面ABC=AB,

所以BC，平面AEFB.

又4Fu平面AEF8,所以BC1AF.

在直角梯形AEF8中，

由已知长度关系A”+BF2=4加可得4F1BF,

因为BCCBF=B,BC,BFu平面BCF,

所以直线4F1平面BCE

(2)因为4E平面ABC,AEu平面ACDE,所以平面ACDE，平面ABC.

又平面ABC〃平面DEF,所以平面4CDE1平面DEF.

过尸作FM1DE于点M,

则FM1平面ACDE.

连接“，则CM为CF在平面ACDE内的射影，

所以4FCM为直线b与平面4CDE所成的角.

设AE=EF=a,贝IL4B=BC=2a,AC=2夜a.

在直角三角形EM尸中，有ME=MF=^a,

2

所以DM=2y[2a——a——a,

22

则CM?_(竽a)+a2=ya2，

所以CF=，CM2+MF2=Jya2+|a2=V6a,

所以siMFCM="=妻=叵

CFV6a6

所以直线c尸与平面ACOE所成角的正弦值为"

6

解析：本题主要考查线面垂直的判定以及直线与平面所成角，属于中档题,

(1)根据已知易证BC14F,AFLBF,进而可证直线4FJ•平面BCF；

(2)过尸作FM1DE于点M,先求得NFCM为直线CF与平面AC£»E所成的角，再对ZCMF进行分析

求解即可.

17.答案：(I)证明：•••48。。-&81(；1。1是长方体，:816_1平面。31。1.

又TDEU平面DCGDi，B1G1DE.

(H);AB=2,E是棱AC1的中点，二七(；1=1,

__1

•,1%-DB1cl=%1-OEC1=&SADECI,BjC]

=-X--DDr-ECr-B1G=ixixlxlxl=-.

3211X1326

解析：本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积，属于基础题.

(I)由B1GL平面DCC1D1，根据线面垂直的性质即可证明8传11DE.

(口)由%-D81Q=^Bi-DECi-BiG即可求解,

18.答案：(1)证明：过点C作CG〃/ID交AB于点G,

因为CD〃AB,所以四边形AOCG是平行四边形.

又AD=CD,所以平行四边形AOCG是菱形，

所以CG=4G=GB=BC,

所以△BCG是等边三角形.

所以/CB4=Z.CGB=2ACAG=60",

所以“AG=30°,

所以乙4cB=180°-Z.CAB-Z.CBA=90°,

即AC1BC,

因为平面CDEF_L平面ABCD,CF1CD,平面CDEFn平面ABC。=CD,CFu平面CDEF,

所以CFJ■平面ABCD,

又"cTffiABCD,

所以4c1CF.

又BCCCF=C,BC,CFu平面BCF.

所以AC，平面BCF.

又4cu平面ACE,

所以平面BCF1,平面ACE.

(2)解：设CD=t,贝IJCF=BC=348=23AC=ABsin^ABC=2tsin60°=V3t,

由(1)知，