高中数学课堂讲义：椭圆及其标准方程

高中数学课堂讲义：椭圆及其标准方程

目录

1.内容和内容解析..............................................................1

2.目标和目标解析.............................................................2

3.教学策略分析...............................................................2

4.教学过程设计...............................................................3

5.作业布置：.................................................................9

1.内容和内容解析

1,内容：椭圆的定义及其标准方程的推导.

2.内容解析：

本节课是人教A版《普通高中教科书•数学》选择性必修第一册第三章第一

节第一课时的内容，其主要内容是章引言、椭圆的概念与椭圆标准方程的建立.

从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、

研究方法具有高度的相似性，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基

本模式，因而本单元的学习在全章的学习中具有基础和示范性作用.本单元是培

养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养良好的知识载体，学生

通过动手画、观察抽象图形的几何特征，直观感知椭圆形状，选择适当的平面

直角坐标系，建立椭圆标准方程，从而为研究椭圆的几何性质做好铺垫,培养了

学生从特殊到一般、数形结合等思想，通过观察-猜想-论证-应用，不仅渗透了

研究新问题的科学方法，还提升了学生的思维品质和科学的态度，通过师生交

流，生生交流与探究活动，引导学生积极动手操作、勤于思考、善于思考，鼓

励学生积极发现问题、提出问题、分析问题和解决问题,学生学习的兴趣和积极

性，尊重学生的自我发现，落实新课标中学生发展为本、立德树人、提升素养

的理念.

在本节课中，“椭圆的概念”部分，先在问题"椭圆具有怎样的几何特性?”的

引领下进行画图操作，从中发现椭圆的几何特征，进而获得椭圆的概念，明晰

研究的基础与出发点."椭圆的标准方程”部分，先根据椭圆的几何特征建立坐标

系，然后通过代数运算得到椭圆的标准方程.上述过程体现了研究圆锥曲线的一

第1页共9页

般思路和方法，包括如何发现曲线的几何特征、如何建立适当的坐标系、如何

简化和优化方程.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：坐标法，椭圆的几何特征，椭

圆的定义及椭圆的标准方程.

2.目标和目标解析

1.目标

（1）了解圆锥线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问

题中的作用.

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.

2.目标解析:

达成上述目标的标志是：

（1）能通过观察平面截圆锥认识到:当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可

以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线,能通过实例知道圆锥曲线在生产、生活

中有广泛的应用.能初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值.

（2）能通过绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，建立

适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的

方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程.

3.教学策略分析

1.已具备的认知基础：本课时的教学对象具有良好的知识储备和较强的学习

能力.学生对坐标法已有初步的认识，通过直线和圆的方程的学习，对用坐标法

研究曲线的基本思路与方法已有了解，学生具备较强的探究意识和团队合作意

识，有较好的语言表达能力，积累了一定的数学活动经验，具有较强的动手实

践能力.

2.可能存在的认知困难：化简由椭圆的几何特征直接得到的方程,这个方程

是二元无理方程，是初高中教材衔接的空白点，化简这个方程需要两次两边平

方，并且涉及的字母多，对学生的运算能力要求较高.

基于以上分析，确定本节课的教学难点：椭圆的标准方程的化简.

突破难点的关键：问题链引导学生对需要化简的式子的结构特征进行分析,

第2页共9页

对可能的方案进行预判，选择相对计算量小的方案进行化简，在化简过程中遇

到的问题，通过小组合作探究解决.

3.教法分析

结合本课时的内容特点和学情分析，本节课主要采用任务驱动、问题启发、

直观演示的教学方法.本课时以提升学生的数学抽象、直观想象和数学运算的核

心素养为根本出发点，知识上以抽象生成椭圆的概念和直观感受椭圆的对称性,

化简椭圆方程为核心，思想方法上以坐标法为核心，用例1和课堂测验作为课

堂反馈，以完成课前探究和课后作业作为课堂的延伸和拓展，充分增加课堂的

深度和广度.

4.学法分析

学生主要采取自主探究、合作交流的学习模式.在课前作业中既有全体参与

的活动，也有小组合作的活动.在课堂教学中始终以学生为核心，鼓励学生独立

思考、敢于质疑，通过小组合作、交流分享，突破难点，提升学生的合作探究

意识，提高分析问题、解决问题的能力.

5.教学支持条件

教师充分利用畅言智慧课堂教学辅助系统授课，利用该系统实时地展示学

生的探究过程和结果，让每个学生参与到探究的过程中来，及时分享学生的不

同方法，充分发挥生生互评、师生互评的评价效能，引发学生更加深入的思考，

加深对新知的理解与应用.

4.教学过程设计

教学流程：

情境引入，直观感|=>归纳抽象，生成概口类比迁移，推导方

回顾反思，布置作<=1及时巩固，典型例

1.情景引入，直观感受圆锥曲线

引导语:前面我们用坐标法研究了直线和圆.接下来我们研究一类新的曲线

圆锥曲线，它包含了椭圆、抛物线和双曲线.

在课前我们留了两项作业，一项是分小组完成的，有两个问题：

第3页共9页

1.为什么椭圆、双曲线、抛物线都称为圆锥曲线？

2.圆锥曲线在实际生产生活中有哪些应用？

另一项是全体同学完成的：

1.寻找生活中的椭圆.

2.用我们给定的工具画一个椭圆.

每个小组及每个同学都很好的完成了任务，今天我们选三个小组进行展示.

【设计意图】布置课前预习作业，充分调动全体学生学习探究的积极性和

主动性，有利于开阔学生思路，提高课堂广度和深度.分组活动，有利于促进小

组内的相互合作，更有利于发挥学生的特长，更广泛更深入的探究自己小组的

课题.课堂上对课前小组活动的评价，有利于提高学生的参与度，小组分享也是

对学生课前探究活动的肯定.

问题1：为什么椭圆、双曲线、抛物线都称为圆锥曲线？

【师生活动】请一个小组同学用Geogebra软件给大家演示用平面截圆锥，

平面与圆锥的轴所成的角不同时，得到不同的截口曲线，并指出它们分别是椭

圆、抛物线、双曲线.

【设计意图】让学生明确本章研究的主要内容，对圆锥曲线有一个直观的

认识,学生课前制作课件，课上演示，变被动的接受为主动的设计制作课件，让

他们习惯借助几何软件研究问题.

问题2：圆锥曲线在实际生产生活中有哪些应用？

【师生活动】请一个小组通过视频展示圆锥曲线在实际生产生活中的广泛

应用.

【设计意图】通过让学生课下搜集整理各种资料，去了解圆锥曲线在实际

生产生活中的应用；通过课堂上分享视频，让学生再次感受圆锥曲线在刻画现

实世界和解决实际问题中的作用，视频中展现的国家大剧院，国之重器的“天眼”,

特别是我国在航天航空取得的举世瞩目的成就，让学生为祖国的强盛和进步感

到骄傲和自豪的同时，也感受其中科技的力量，而科技的进步离不开数学，将

课程思政融入课堂教学.

问题3：为了让神舟十二号降落在指定着陆场，科技人员需要实时测量神舟

十二号的轨道位置和轨道高度，体现着怎样的数学方法？

【师生活动】我们可以理解为科技人员获得很多点的坐标，并根据这些点

第4页共9页

的坐标随时调整神舟十二号轨迹，以使得神舟十二号降落在预定着陆场.这个过

程体现了坐标法的独特魅力.

【设计意图】将课程思政更自然的融入数学教学不，以最近学生们最关注

的话题，用我们学过的知识和能理解的方式去解释航天航空中的问题，让学生

感到数学的巨大力量的同时，体会坐标法的独特魅力，并引出本节课主题："用

坐标法研究椭圆及其方程

2.归纳抽象，生成椭圆的概念

问题4：首先我们一起来看看同学们找到的身边的椭圆，大家注意观察，大

家找到的图形是我们今天要研究的椭圆吗？

【师生活动】老师播放视频，展示同学们发现的身边的椭圆.

【设计意图】让所有同学都参与到探究活动中来，寻找身边的椭圆，直观

感受椭圆，体会椭圆与我们生活息息相关.拓展课堂的广度与深度，充分发挥同

学们的想象力和创造力.让学生自己把自己带入课堂的探究中来.

问题5：同学们，刚才视频中的图形有些不是椭圆，只是给我们一种椭圆形

的印象，那么什么样的图形是椭圆呢？它应该具有怎样的几何特征？我们先从

画椭圆开始研究吧.

【师生活动】要求所有同学在课下利用我们提供的工具画一个椭圆，并请

一个小组播放他们画椭圆的视频，在看视频的过程中引导学生思考以下2个问

题：

（1）在这一过程中移动的笔尖满足的几何条件是什么？

（2）若绳长不变，将两个钉子的距离拉大，这个图形会有什么变化？

【设计意图】要求学生用给定的工具：图钉、线绳绘制给定的椭圆，探究

完成后，学生利用视频分享研究成果，强化学生对椭圆几何特征的认识，通过

在课堂上引导学生由此抽象出椭圆的定义，培养学生数学抽象的核心素养，同

时为下节课研究椭圆的离心率做铺垫.

问题6：你能根据画椭圆的过程试着给出椭圆的定义吗？

【师生活动】学生尝试给出椭圆的定义.在此基础上，老师关注学生对定义

中相关用语的表述："平面内""定点""距离之和""常数""常数之和大于两定点之间

的距离”等的使用是否准确.同时明确当常数等于两定点间的距离时，点的轨迹是

线段，当常数小于两定点间的距离时，点的轨迹不存在,在给出椭圆的概念的基

第5页共9页

础上，教师再引导学生了解焦点、焦距、半焦距等概念.

【设计意图】通过强化椭圆概念的抽象与建立过程，提高学生思维的严谨

性与语言表达能力，同时让学生获得焦点、焦距等概念.

3.类比迁移，推导椭圆标准方程

问题7：给出椭圆的定义后，我们试着借助平面直角坐标系研究一下椭圆的

方程.还记得前面我们求直线和圆的方程的大致步骤吗？

【师生活动】通过提问，让同学们回忆求直线和圆的方程的一般步骤，类

比给出求椭圆方程的步骤.

【设计意图】引导学生明确思维的方向，通过复习旧知，为求椭圆方程搭

桥铺路.

问题8：接下来我们类比求直线和圆轨迹方程的步骤，求一下椭圆的方程.

那怎样建立坐标系，才能使椭圆方程更简单？

【师生活动】观察椭圆发现它具有对称性，并且过两个焦点的直线是它的

对称轴，所以以经过椭圆两焦点"心的直线为x轴，线段斗鸟的垂直平分线为)'

轴，建立直角坐标系设点根据椭圆定义由用眉=2。，列出方程

yl(x-c)2+y2++V=2a

问题9:观察一下这个方程的特点，你能不能设计一条合理的计算路径，来

化简这个方程？

【师生活动】引导学生先预测直接平方和先移项再平方两种方案对后继推

导的影响，对于学生提到其它方案，鼓励学生作对比研究.

【设计意图】在开始化简之前，先根据式子特点进行预测不同化简方案对

后继推导的影响并选择合理的化简方案，提高学生的数学运算素养.

【师生活动】让学生们亲自动手去化简椭圆方程，先独立思考，遇到问题

再小组讨论，每个小组到白板上展示小组成果，全班分享有代表性的小组的化

简过程和结果.

【设计意图】一方面真实体会不同方案对后继推导的影响，提高自己数学

运算的素养.另一方面通过小组合作的形式突破难点，为后续双曲线方程的化简

作好铺垫.

问题10：刚才我们建立了椭圆的方程，实现了从形到数的转化，现在同学

第6页共9页

们试着在椭圆上找出为0，七2一C?表示的线段，看看能不能再次实现从数到形的

转化？

【师生活动】让学生试着在椭圆上找出a，。，必/表示的线段.

【设计意图】通过说明。八。的几何意义，进一步解释引进人的合理性，体

会解析几何的数形结合思想.

问题11:如果椭圆的焦点⑹鸟在卜轴上，那么椭圆的方程又是什么？

【师生活动】学生先猜想，并讨论猜想成立的依据,引导学生从形的角度猜

想，也就是“轴）'轴交换了一下，从数的角度进行证明，即从焦点在x轴上椭圆

标准方程的推导过程中体会，焦点在>轴上的只是焦点坐标从亿°），（一。◎变为

（0,c）,（0,-c）,所以原始的方程只是从J（X-C）2+1+J（X+C）2+），2=2"变为

G+（y-cy+Jx2+（y+c）=2a,所以只是将x和N交换了一下，从而得到了焦点

H——=1（。>/7>0）

在）’轴上的椭圆的标准方程：/b-.接下来，让学生对两种方程进行

对比分析，强化对椭圆两种标准方程的理解.

【设计意图】首先让学生根据形去猜想，再从数的角度类比焦点在x轴上方

程的推导过程进行验证，不仅使学生加深对椭圆定义和标准方程的理解，而且

使学生体会类比的思想方法，为后面双曲线、抛物线的学习打下基础.

4.及时巩固，解决典型问题

例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是（一2，°），（2,0）,并且椭圆经过点12'2九

求它的标准方程.

【师生活动】学生独立完成后，通过畅言智慧课堂提交，选取典型答案全

班交流，由学生分享两种不同的方法.一种方法是根据椭圆定义，求点〔2'2J到

两个焦点的距离之和，从而得到2。，再根据。心。的关系求出小，从而求出标准

二+工=15”>0）住一。］

方程.另一种方法是设椭圆的方程为//,将点（22）的坐标带到

入方程，再根据a，"。的关系求出“，从而求出标准方程.

课堂测验：

第7页共9页

1.过点43,-2)且与椭圆豆+1=1有相同焦点的椭圆方程为()

X2222222

--1--y-=1.-X--1y—1-X--1y_=1-x--F

(A)1510(B)2520(C)1015(D)20

r2v2

-+———=1

2.椭圆10-加，〃-2的焦距为4,则加等于()

(A)4(B)8(c)4或8(D)12

--Fy2=1

3.如图，AABC的顶点B,C在椭圆3'上，顶点A是椭圆的一个焦点,

且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则43c的周长是.

V/FJx

【师生活动】学生独立完成，并通过畅言智宣课堂教训典逐提吆，师

D

生及时了解每个题的正答率，及时点评分析.

【设计意图】学生及时巩固椭圆的定义及椭圆的标准方程，老师及时掌握

学生对当堂课内容的落实程度，并及时作出评价和讲解.其中第1题为了考查椭

圆方程，第2题考查焦点在哪个坐标轴上的分类讨论，第3题考查椭圆的定义

5.回顾反思，布置课后作业

小结：

1.学生小