高中数学期末模拟试题

高中数学期末模拟试题

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一、单选题

1.已知向量A8=(-l,2),BC=(x,-5),若丽.觉=一7，则()

A.5B.4A/2C.6D.572

2.已知，为虚数单位，复数z=l+l在复平面内对应的点位于()

z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.下列三角函数值的符号判断正确的是()

„16万八,17兀、八„

A.sinl56<0B.cos----->0C.tan(-----)<0D.tan556<0

58

4.已知函数/(x)=sin2x+Gcos2x,给出下列四个结论：

①函数"X)的最小正周期是乃

冗冗

②函数/(x)在区间一2二上是减函数

63

③函数/(X)的图像关于点($0)对称

④函数/(%)的图像可由函数y=2sin2x的图像向左平移|个单位得到

其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

5.如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6,A点为长方体的一个

顶点，3点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A点到3点的最短距离为()

A.V29B.3加C.V41D.2如

6.在A4BC中，角A3,。所对的边分别为a,Z\c,已知48cosBsinC=6c，则3=

()

7.若天是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx-sinxcos二的最小值是（）

A.——+-\/2B.-+^2D.血

22

8.一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B,C,。为其上四

个点，则以4，B,C,。为顶点的三棱锥的体积为

二、多选题

9.根据下列情况，判断三角形情况，其中正确的是（）

A.Q=8,b=l6,A=30°,有一解B./?=18,c=20,8=60。，有两解

C.a=5fc=2,A—90°,无解D.。=30,b=25,A—150°,有一解

TTTT

10.函数/（X）=sin3x+@（0>O,[°|<彳）的最小正周期为万，且其图象向右平移三个

26

单位后得到的函数为奇函数，则函数/（X）的图象（）

TT57r

A.关于点（一二，0）中心对称B.关于直线％=——对称

612

C.关于点G，0）中心对称D.关于直线x=2对称

312

11.如图所示，四边形ABCO为梯形，其中A3〃C£）,AB=2CD,M，N分别为

AB,CO的中点，则下列结论正确的是（）

DNC

A.AC^AD+-ABB.MC^-AC+-BC

2

C.MN^AD+-ABD.BC^AD--AB

42

12.给出下列命题，其中是真命题的是（

试卷第2页，总4页

A.纯虚数z的共输复数是一zB.若Z「Z2=0,则Z]=Z2

C.若Z|+Z2CR,则Z1与Z2互为共轨复数D.若Z1-Z2=0,则Z]与N互为共钝复

数

三、填空题

13.在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°东经120°有一座城市8,设地

球半径为R,则4、8两地之间的距离是；

61

14.若sina-sin〃=l-¥，cosa-cosp=—,贝iJcos(a-^)=

15.已知点P在边长为4的等边三角形A2C内，满足AP=AAB+/.lAC，且2/L+3"=1,

延长A尸交边8c于点力，若BD=2DC,则西.方的值为

16.已知角a的终边经过点P(-2,4),则sina—cosa的值等于

四、解答题

17.AABC中，角A5,C的对边分别为a,4c,且

asinA+csinC-。sin3=4^asin(A+B).

(I)求角B的值；

(Il)若向量m=(cosA,cos2A),“=(2,-2),a=5,当而G取得最大值时，求

边b的值.

―71

18.设万=(cosa,(4—1)sina),b=(cos/?,sin/?),(2>0,0<a<£<胃)是平面上的

两个向量，若向量a+5与万一〃互相垂直.

(I)求实数丸的值；

44

(II)若展且tan〃=1,求tana的值.

7

19.已知zeC,z+2/•和——都是实数.

2-z

(1)求复数z；

(2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.

20.一个圆锥的底面半径为2%高为6cm,在其内部有一个高为xc/n的内接圆柱.

(1)求圆锥的侧面积；

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.

21.设向量m=(sin2ox,cos20r),“(cos0,sin。)，其中例<],6y>0,函数

/(x)=而4的图象在y轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为P,I),

在原点右侧与x轴的第一个交点为

(1)求函数的表达式；

(2)在△ABC中，角A，3,C的对边分别是若〃C)=T,9•而=—；,

且。+。=2百，求边长5

22.如图，在平行四边形/ECD中，/8=4，血>=2，/MD.。/，后，尸分别为

AB'BC上的点，且AE=2£B，CF=2FB.

(1)若诙=x^+y而，求x,y的值:

(2)求才.砺的值；

(3)求cos/BEF.

试卷第4页，总4页

参考答案

1.A【详解】

解：向量A5=(T,2),BC=(x,-5),若A3.BC=_7,可得一x—10=-7,解得x=—3,

____uum,----------

所以43=通+团=(7,—3),则AC=J(—4)2+32=5.

故选：A.

2.D【解析】

试题分析：因z=l-i,故对应的点在第四象限，应选D.

3.C【解析】

sinl56°=sin24°>0,cos^y^=-cosy<0,=Aan(-.)<0,tan556°=tanl6°>0,所以选C.

4.B【详解】

解：/(x)=sin2x+GCOS2X=2sin+yj

①因为<o=2,则f(x)的最小正周期7=兀，结论正确.

②当xe时，21+枭［0,句，y=sinx在［(),句上不是单调函数，结论错误.

③因为/(［)=0,则函数/(x)图象的一个对称中心为0］结论正确.

3\7

1T

④函数/(X)的图象可由函数丫=$出2r的图象向左平移一个单位得到.结论错误.

6

故正确结论有①③，故选B.

5.C【详解】

由长方体的侧面展开图可得：

(1)当3点所在的棱长为2,则沿着长方体的表面从A到B的距离可能为J(4+6『+『=.阿；

J(4+lp+62=向；西+(6+1)2=病.

(2)当3点所在的棱长为4,则沿着长方体的表面从4到B的距离可能为J(2+2『+到=2日;

,J(2+6)2+22=2717；百+(6+2『=2后

(3)当3点所在的棱长为6,则沿着长方体的表面从A到3的距离可能为J(2+3)2+42=屈;

J(2+41+32=3也；立+(3+4『=屈

答案第1页，总8页

综上所述，沿着长方体的表面从A点到B点的最短距离为历.

故选：C.

6.D【详解】

由4/?cos5sinC=#>c，得4sinBcosBsinC=A/3sinC，

•♦.sin2B邛，.山竹吟，.••嗫吟

故选：D

7.A【解析】

试题分析：因为X为三角形最小内角，所以XW0,耳,设，=sinx+cosx=0sin(x+?),则/£(1,&]

t2=l+2sinxcosx，所以sinxcosx=^——-，y=t--——-=r24-Z+—=-—(r-1)2+L当，w(L血]时,

22222

函数单调递减，所以当.=血时，函数取得最小值，最小值为y=3-3.

8.c【详解】

将展开图还原为正方体，如图所示.

故以A，B,C,。为顶点的三棱锥的体积V=43—4X!X'X43=".

323

故选C

求解空间几何体体积的常用策略：

(1)公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；

(2)切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；

(3)补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即

可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.

(4)等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难

求解时，常常采用此种方法进行解题.

9.ABD【详解】A中，-,所以sin8」6x：n300=],8=90°,即只有一解；

sinAsinB8

答案第2页，总8页

B中，sinC=20sin6Q°=—,且C>8,二。〉^,故有两解；

189

C中，VA=90°,i/=5,c=2,•,•/,=77^7=725^4=721.有解；

D中，因一一=£,所以6nA_25'；_5,又b<a,所以角B也只有一解.

sinAsinBsin"---

故选:ABD.

■JT2乃

10.ACD【详解】•.•函数f（x）=sin（（yx+e）（o>0,|以<彳）的最小正周期为一=TT,:.a）=2,

2co

且其图象向右平移丁个单位后得到的函数为y=sin（2x—工+9）的图象，

63

7T

再根据所得函数为奇函数，则有-］+°=左］MwZ,

又|归<］可得*=0，

TT

f（x）=sin（2x+―）.

7F7T

当工二一二时，/（x）=0,则/（幻的图象关于点（一二，0）中心对称，故A成立；

66

57T157r

当x=77时，/5）=一5,不是最值，故函数/a）的图象不关于直线尤=五对称，故8不成立；

当％=!时，/（x）=0,故函数/（x）的图象关于点（9，0）对称，故C成立；

当*=土TT时，/（X）=1,是最大值，故函数/（X）的图象关于直n线尤=上对称，故。成立，

1212

故选：ACD.

11.ABD【详解】AC=AD+DC^AD+-AB,A正确；

2

MC=MA+AC^^BA+AC^^（BC-AC）+AC=^AC+^BC,B正确；

MN=MA+AD+DN^--AB+AD+-AB=Ab--AB,C错误；

244

BC^BA+Al5+DC=-AB+AD+-AB=Ab--AB,£）正确.

22

故选：ABD.

12.AD【详解】A.根据共扼复数的定义，显然是真命题；

B.若Z1-Z2=0,则4=Z2，当Z1,Z2均为实数时，则有Z1=2,当Z1,Z?是虚数时，4。,所以B是假

命题;

答案第3页，总8页

C.若Z|+Z2€R,则4/2可能均为实数，但不一定相等，或4与Z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所

以C是假命题；

D.若Z1—Z2=0,则％=z2,所以4与2互为共物复数，故D是真命题.

故选：AD

13.-R【详解】由已知地球半径为R,则北纬45°的纬线圈半径为受R,

32

又•••两座城市的经度分别为东经30。和东经120。，

故连接两座城市的弦长乙=4・&=/?，

2

TT

则A，8两地与地球球心。连线的夹角乙408=一，

3

7T

所以A、3两地之间的距离是JR.

3

n

故答案为：-R.

3

14.孚【解析】将已知条件两边平方得sin%+sin/-2sinasin0=（-6，cos1a+cos2y9-2cosizcos/?=,

两式相加化简得cos（a-万）=券.

9

15.--【详解】A,P,。共线，不妨令4P=3〃?AD，又万方=2比，

4

.•.丽+而=-2而+2/即AD=^AB+^AC,

又5丽=而''A*=mAB+2加*=几'"+'

〃=2/168—1—1—

因此，=4AP=-AB+-AC

2九+3〃=1184

____7___1___

则而=丽—而=一而——AC,

84

答案第4页，总8页

-----1—1—7—1—

故PA•尸3=—(wAB+zAC)・(wAB-aAC)

7--23—►—►

=-[—AB+-ABAC-

6416

9

故答案为：—.

4

【解析】，所以=冬叵,故,填.

16.r=OP-2\/5sina=：_Cosa=--,sina-cosa=

5265555

17.(I)-(II)3叵【详解】

63

解：(I)由已知条件asinA+csinC—bsin8=\/5asin(A+8)和sin(A+5)=sin(;r-C)=sinC,

得asinA+csinC-/?sin3=GasinC，

由正弦定理可得：4"环=岛5

।/a~+c「—b~yficic

故cos8=--------------=-------=—，

2aclac2

所以8=f.

6

(II)m-n=2cosA-2cos2A=2cosA-2f2cos2A-11=-4cos2A+2cosA+2

故当cosA=:时，记.5取得最大值.

此时，sinA=>/1-cos2A=更5

由正弦定理得：Z?=，-sinB=5x二x'=2姮

sinAV1523

7

18.T(1)2TT；(II)—

24

(D由题设可得(G+5)―(G—5)=0,即同2T5『=o,

代入1,5坐标可得cos2a+(2-1)?si/a-cos*-sin2，=0.

答案第5页，总8页

sin26z-sin2<z=0,v0<,AyO,/.A=2.

一一./\4

(2)由(1)知,ab=cosacosp+sinasiny0=cos(«—/7)=—,

0<a<〃<耳一■—<—/?<0sin(a—/?)=一4,tan(a—/?)=—a

tan(a-77)+tan/7

二.tana=tan[(a-/?)+〃]=

l_tan(a_p)・tan.24,

19.(1)z=4-2i；(2)(-2,2)

(1)设2=々+初(a,/?£R),则z+2i=Q+(b+2)i

za+bi2a-ba+2b.

-----=-------=---------1--------1

2-i2-z55

.•・z+2].和二都是实数，

2-z

，+2=0

・.•<a+2〃八

-------=0

5

a=4

解得Lc

b=-2

•*«z=4—2z

(2)由(1)知z=4—2i,，(z+ai『=16—(a—2y+8(a—2)i

・•.(z+制y在复平面上对应的点在第四象限，

16-(a-2)2>0

8(a-2)<0

解得—2<a<2

即实。的取值范围是(一2,2).

20.(1)4710^-(cm2)(2)x=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6万cm?

(1)圆锥的母线长为56?+2?=2jl6(cm)，

圆锥的侧面积d=^-x2x2V10=4Vi0^(cm2).

答案第6页，总8页

（2）该几何体的轴截面如图所示.

圆柱的侧面积S,=24YX=菖(—丁+6x)=-g[(x—3)2—9],

...当x=3时.，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6%cm2.

21.(1)/(X)=sin12x+W),(XGR)；(2)3

【详解】(1)因为/(工)=〃2・〃=(5亩