数学建模竞赛论文-基于超效率DEA的节能减排效率定量评估模型

基于超效率DEA的节能减排效率定量评估模型摘要节能减排是我国应对资源紧缺、减轻环境压力、实现经济可持续发展的必然选择。但目前关于节能减排考核体系的定量研究极为欠缺，因此希望能够建立反映环境、经济、社会发展协调程度的指标体系的数学模型，为我国的发展决策提供科学依据，为政府的决策提供合理建议。节能减排是一个多投入、多输出的系统效率评价问题。本文通过建立DEA模型，科学选取能够反映出我国节能减排发展关键问题的投入、输出指标，即能源消耗总量、COD排放量、工业二氧化硫排放量、工业固体废物产生量和GDP、COD排放减少量、工业二氧化硫排放减少量、工业固体废物综合利用量等，利用MYDEA软件，对我国八大综合经济区的代表省市的节能减排情况进行了分析和评价。在定量评价的过程中，我们发现DEA模型无法对同时有效的决策单元做出进一步评价与比较。因此，我们将DEA模型改进为超效率DEA模型。据此，我们分别定量分析和评价了十一五期间我国北京等八个代表省市的每年的节能减排效率θ及规模效益值G，如下表所示。序号省份θ平均值G平均值1吉林3.461253.8462北京6.259250.880753上海1.6081.89254广东1.16653.165755陕西1.607751.821256安徽2.493251.771257云南1.4831.14258甘肃1.904251.4185根据表中的结果可知，北京和吉林在这四年内节能减排效率θ相对较高，说明这两个地区的节能减排工作做得较好。且北京的规模效益值G<1,成倍地增加节能减排方面的投入力度，能源和水利用率以及污染物排放的削减率都会有更大比例的增长，而其他地区则相反。此外，根据各地区各年份的节能减排效率和规模效益值，我们进一步分析了增加节能减排方面的投入力度对节能减排效率的影响，并据此对政府在节能减排方面的政策制定上提供了合理的建议。关键词：超效率DEA模型输入和输出指标节能减排效率值规模效益值一、问题重述1.1问题背景目前，由于国内外缺少定量描述减排不同污染物所需的能耗数据，导致难以针对不同污染物提出科学、合理、定量的减排指标，也难以真正定量地评价过程工业节能减排的效果、给出科学的解决方案，这给减排国策的最终落实带来了极大的困难。缺少综合的路线评价指标与体系已成为减排面临的一个重要问题。1.2目标任务任务一：查找资料，根据节能减排指标的制定原则，建立一个科学合理的节能减排指标评价体系，并利用所建立的模型研究各区域节能减排的效率，根据不同区域的效率值高低对各地区的节能减排情况进行分析。任务二：根据所建模型和分析结果，为政府的决策提供合理的建议。二、问题分析为了能够对节能减排效率进行定量的评估，首先需要确定影响该效率的各种指标。我国“十一五”规划纲要对能耗及COD、二氧化硫排放量提出了明确的降低指标，为了提出更加完善的评价标准，将固体废弃物的排放及处理纳入考虑，确立起综合评价的指标。对应于各项指标，收集相关的数据，进行客观的评价分析，可以得到各地的节能减排的效率值，由此效率值，可以对各地的节能减排工作进行一定的评价，并可以提出相应的意见。对于评价过程，由于各种经济、环境、社会等因素的影响，会导致一些参数化的评价方式不能得到较好的结果。因此，可以考虑使用非参数化的评价方法。三、模型假设（1）仅考虑能源消耗总量、GDP生产总值、COD排放量和减少量、工业SO2排放量和减少量、工业固体废物产生量和综合利用量对节能减排效率的作用，忽略其它因素的影响；（2）SE-DEA模型中DMU处于固定规模报酬情形下。（3）中国大陆地区可划分为八大综合经济区：1）东北综合经济区(辽宁、吉林、黑龙江)；2）北部沿海综合经济区(北京、天津、河北、山东)；3）东部沿海综合经济区(上海、江苏、浙江)；4）南部沿海经济区(福建、广东、海南)；5）黄河中游综合经济区(陕西、山西、河南、内蒙古)；6）长江中游综合经济区(湖北、湖南、江西、安徽)；7）大西南综合经济区(云南、贵州、四川、重庆、广西)；8）大西北综合经济区(甘肃、青海、宁夏、西藏、新疆)。我们分别取吉林、北京、上海、广东、陕西、安徽、云南、甘肃作为各综合经济区的代表进行研究。四、符号说明DMU：决策单元x：DMU输入y:DMU输出v:DMU输入的权系数u:DMU输出的权系数θ:节能减排效率G:规模效益值S−:输入松弛变量S+:输出松弛变量L:可节省投入量五、模型建立与求解5.1准备工作5.1.1确立节能减排效率的评价指标目前，由于国内外缺少定量描述减排不同污染物所需的能耗数据，导致难以针对不同污染物提出科学、合理、定量的减排指标，也难以真正定量地评价过程工业节能减排的效果、给出科学的解决方案。会议执行主席、西安交通大学教授冯霄在第363次香山科学会议中指出，建立科学、系统的节能减排分析方法是确保实现节能减排的基础。节能可以同时获得减排效果，而单纯的减排过程却会增加能耗。这两个目标不一定同向。节能减排可以通过过程重构、集成、优化而从源头实现，同时也往往需要辅以末端治理而满足环境需求，因此是一个资源、能源、环境、经济和社会协调的多目标全局最优问题。鉴于此，本文在确立节能减排效率的评价指标时，需要综合考虑资源、环境和经济等因素。同时，考虑到区域和因素的复杂性，本文将选取我国八大经济区的代表城市吉林、北京、上海、广东、陕西、安徽、云南和甘肃作为研究对象，并以2006年到2009年各城市的GDP，能耗，化学需氧量COD、二氧化硫SO2的排放总量及相对上一年的减少量，以及固体废弃物排放总量和回收利用量作为综合评价节能减排效率的指标。5.1.2DEA模型的引入我们把各城市的节能减排过程看做一个系统，这样就把问题转化为多输入、多输出的系统效率评价问题。为了解决这一问题，我们引入了数据包络分析法DEA。已有文献[1]证明，数据包络分析法是解决系统运行过程效率和规模效益等评价问题的有效方法。下面对DEA原理进行简单的介绍。数据包络分析方法（DEA，DataEnvelopmentAnalysis）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出，该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU,DecisionMakingUnits）的输入或者输入不变，借助于数学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。假设有n个决策单元，每个有m种输入与s种输出，的输入和输出向量分别为：（1）m种输入和s种输出的权系数分别为：（2）对于每一个决策的单元都有相应的效率评价指数：（3）我们总可以适当的选取权系数v和u，使得（4）对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能的变化权重时，hj0的最大值究竟是多少。如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：（5）上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变化，令：（6）可变成如下的线性规划模型P：（7）根据线形规划的对偶理论，并引入新的松弛变量s+，s-≥0，可以得到(P)的对偶线性规划模型D为：（8）需要说明的几个定理和定义：定理1线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解，所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0*与θ*，则有hj0*＝θ*。定义1若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为弱DEA有效。定义2若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ*＞0，并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效的。定理2DMUj0为弱DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1；DMUj0为DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*，都有s*＋＝0，s*-＝0。DEA有效性的定义：我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：（1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效；（2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术效率最佳和规模最佳；（3）θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是技术效率最佳，也不是规模最佳。还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况：（1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，则DMU为规模收益不变；（2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增；（3）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＞1，则DMU为规模收益递减。CCR模型中变量的经济含义:λj使各个有效点连接起来,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包络面。在实际运用中,对松弛变量的研究是有意义的,因为它是一种纯的过剩量(s-)或不足量(s+)，θ则表示DMU离有效前沿面或包络面的一种径向优化量或“距离”。5.2DEA模型的建立根据上面的分析，我们把选取的八个城市作为决策单元，建立以下模型（9）其中，θ为各城市节能减排相对效率，G=∑λj为规模效益，x、y分别是输入输出指标。本文将能源以及环境容纳资源的使用作为投入指标，这些指标代表了经济发展中对于能源的投入及环境资源的投入；输出指标反映了经济是否发展以及减排结果。如下表所示：表1投入和输出指标投入投入变量输出输出变量能源能源消耗量经济GDP环境容纳资源COD排放量环境质量工业SO2削减量工业SO2排放量COD削减量工业固体废物产生量固体废物利用量投入指标名称：能源消耗总量，简称能耗，单位为万吨标准煤；COD（化学需氧量）排放量，简称COD，单位为万吨；工业SO2排放量，简称SO2，单位为万吨；工业固体废物产生量，简称固废，单位为万吨。输出指标名称：地区生产总值，简称GDP，单位为亿元；COD减少量，单位为万吨；工业SO2减少量，简称SO2减少，单位为万吨；工业固体废物综合利用量，简称固利用，单位为万吨。5.3DEA模型的求解根据中国统计年鉴和上面的分析，我们2006年到2009年八个代表城市的节能减排输入、输出指标体系，如下表所示：表22006年我国节能减排投入输出指标体系序号省份投入变量输出变量能耗CODSO2固废GDPCOD减少SO2减少固废利用1吉林6801.78616.833.628024217812北京5981.41280.99.413567870.280.21.110953上海9049.8413.537.4206310366.370.20.119534广东20203.476329.4124.7305726204.47-0.6-0.428785陕西6450.853214.984.647944523.74-0.22.718256安徽7200.162814.251.950286148.730.1-2.741237云南6843.477610.645.659724006.720-4.624638甘肃5006.46335.446.3259122723表32007年我国节能减排投入输出指标体系序号省份投入变量输出变量能耗CODSO2固废GDPCOD减少SO2减少固废利用1吉林8032.728816.533.731135284.691.35.420462北京6678.27040.78.312759353.320.21.110423上海10153.3123.436.4216512188.850.1120404广东23220.04628.1117.6385231033795陕西7438.9417.484.654805465.791.37.122926安徽2892.0661451.759607349087云南7780.48979.844.570984741.31-2.5030368甘肃5699.365543.630012701121表42008年我国节能减排投入输出指标体系序号省份投入变量输出变量能耗CODSO2固废GDPCOD减少SO2减少固废利用1吉林9276.326815.2131.334156424.060.212.920532北京6943.0750.495.8115710488.030.212.58353上海10972.2152.7729.8234713698.150.636.622424广东25522.963621.11109.7483335696.461.311.441845陕西8776.54060.6480.761216851.326.997.924666安徽9539.73212.6950.353718874.170.612.539307云南8903.5560.3642798657038278甘肃6393.5090.8841.2319931124表52009年我国节能减排投入输出指标体系序号省份投入变量输出变量能耗CODSO2固废GDPCOD减少SO2减少固废利用1吉林8800.0087514.72303940.57278.750.5310.52538.82北京7364.7360.4961242.412153.030-0.2910.43上海10938.769152.923.92254.615046.45-0.135.92171.64广东27006.0710421.68101.34740.939482.56-0.191.64321.65陕西9575.005612.6474.25546.78169.80.578.42997.66安徽10233.8079412.8848.78470.810062.820.660.272277云南9223.776258.5341.88672.86169.750.616.54264.88甘肃6314.411844.8740.13150.23387.560.223.91072.7利用DEA软件MYDEA，将各年份的输入输出指标代入，即可求得节能减排相对效率θ和规模效益G，如表6所示：表62006年我国节能减排DEA模型分析结果序号省份θG1吉林112北京113上海114广东115陕西116安徽117云南0.7470.7438甘肃0.5350.4215.4结果分析根据表6的结果，我们可以的出，云南和甘肃这两个省区的节能减排效率值θ<1,表示它们的决策不是DEA有效既不是效率最佳，也不是规模最佳，而且甘肃大的节能减排效率相对于其他城市来说较差。对于吉林、北京、上海、广东、陕西和安徽这六个城市，它们的效率值都达到1，说明它们的节能减排措施相对于其他城市来说比较好。但是，这几个城市的节能减排效率θ同为1，即都有效，无法对它们作进一步比较和分析，因此需要对模型进行改进。5.5超效率DEA模型的建立我们的改进思路是在进行第k个决策单元效率评价时，使第k个决策单元的投入和产出被其他所有的决策单元投入和产出的线性组合替代，而将第k个决策单元排除在外。一个有效的决策单元可以使其投入按比例地增加，而效率值保持不变其投入增加比例即其超效率评价值。改进的模型为：（10）式中，为超效率值，G=∑λj为规模效益，x、y分别是输入输出指标。5.6超效率DEA模型的求解利用MYDEA软件，将输入输出指标代入上述模型中，得出各城市的节能减排效率值和规模效益值G为：表72006年我国节能减排SE-DEA模型分析结果序号省份θG1吉林8.15710.0692北京9.5351.0053上海1.1531.5584广东1.4773.335陕西2.2762.4556安徽1.8421.9687云南0.7470.7438甘肃0.5350.421表82007年我国节能减排SE-DEA模型分析结果序号省份θG1吉林1.3321.7452北京4.1170.8173上海1.1421.5844广东1.13.3235陕西1.0731.5386安徽5.1711.9897云南0.7341.1288甘肃4.9093.909表92008年我国节能减排SE-DEA模型分析结果序号省份θG1吉林2.1132.0122北京4.2330.83上海1.3842.1074广东1.043.0725陕西2.0492.1786安徽1.2891.2547云南2.8921.6688甘肃1.2050.826表102009年我国节能减排SE-DEA模型分析结果序号省份θG1吉林2.2431.5582北京7.1520.9013上海2.7532.3214广东1.0492.9385陕西1.0331.1146安徽1.6711.8747云南1.5591.0318甘肃0.9680.518从整体来看，我国八省市节能减排效率平均值θ在2006年为3.215，在2007年为2.447，在2008年为1.664，在2009年为2.304，均大于1，整体DEA有效，表明十一五期间我国节能减排工作整体效率较高。而且，2008年的北京和2009年得北京和上海，节能减排的效率比较高，这也是符合实际的，因为2008年有北京奥运会，2009年有上海世博会，政府必然对这两个城市的节能减排工作加大力度。我国八省市的DEA效率θ的平均值对照见图1，规模效益G的平均值对照见图2.图12006-2009年部分省市节能减排效率平均值图22006-2009年部分省市规模效益平均值根据以上各表，我们求出2006年到2009年八大省市节能减排相对效率及规模效益平均值，如下表所示：表11八省市节能减排相对效率及规模效益平均值表序号省份θ平均值G平均值1吉林3.461253.8462北京6.259250.880753上海1.6081.89254广东1.16653.165755陕西1.607751.821256安徽2.493251.771257云南1.4831.14258甘肃1.904251.4185六、模型的应用6.1节能减排效率总体分析从表11可以看出，八个省市的θ值在4年内的平均值均大于1，表示这些地区的节能减排效率相对较高，在保证经济持续发展的前提下，能源和水资源得到了比较充分合理的使用，污水、二氧化硫的减排卓有成效。同时可以注意到，θ值相对较低的陕西，属于DEA弱有效，其节能减排工作还有许多亟需改进的地方。而且，θ值越高，则表示该地区的节能减排效率越高，节能减排工作做的到位。此外，DEA有效的其余省市都能利用自己有限的优势资源来获得最大的产出，把资源投入到效率较高的部门，适应了市场经济和城市总体经济发展的需求，获得了较好的收益。而陕西目前还是更注重经济的发展速度，对能源，水的利用率较低，更多的依靠能源消耗量来带动经济的发展，大部分污染物削减效率较低，地区的可持续发展能力较弱。6.2规模效益总体分析从平均规模效益值G分析，如图2和表11所示，北京的G值介于0-1之间，说明成倍地增加节能减排方面的投入力度，能源和水利用率以及污染物排放的削减率都会有更大比例的增长。除了北京外，其他地区的G值均大于1，说明这些地区的规模效益递减，成倍地增加节能减排资金不会带来更高比例的增长。6.3对投入松弛变量的分析我们以09年陕西省的数据为例，分析陕西省的节能减排工作，并给出建议，其他省都可以依照陕西省的情况来处理。09年陕西省，能源消耗量、COD排放量、工业二氧化硫排放量、工业固体废物产生量四项投入分别为9575.，12.64，74.2，5546.7，而GDP、COD削减量、工业二氧化硫削减量和固体废物利用量四项输出分别为8169.8，0.57，8.4，2997.6。并得到θ=1.033、G=1.114，都是微微大于1，说明09年陕西省节能减排效率不算太高，并且成倍地增加节能减排资金并不会带来更高更好的比例增长。根据mydea软件我们得到了给出的调整数据，如下：表12利用mydea得出的数据调整投入变量调整前调整后输出变量调整前调整后能源消耗95759816.1GDP8169.88169.8COD排放12.6413.062COD减少0.570.57SO2排放74.235.229SO2减少8.49.407固体废物5546.75731.77废物利用2997.63260.3上表表明，陕西省可以通过技术革新，进一步提高效率等手段，在保持节能减排投入微微增加的情况下，提高减排量；或者可以保证在减排量不变的情况下，适当缩减在减排方面的投入。对于其他城市，政府可以根据表中进行同样的分析，从而做出决策。6.4对能源效率的分析我国单位GDP能耗趋势图如下图所示：图32004—2009年中国单位GDP能耗图从图3我们可以看出我国的单位GDP能耗处于下降态势，从2004年的1.31万元1.335吨标准煤降低到2009年的1万元0.901吨标准煤，尤其是2008年以来下降得更快，2008-2009年两年间单位GDP能耗下降了1万元0.0624万吨标准煤，年下降率是2.96%，这一系列的数据表明近年来我国的节能减排工作是取得了很大成效的。在2009年的数据中，所取的8个省份均为DEA有效单元，根据上面求出的超效率值以及定理1及定理2，可以比较方便地计算出单个DMU以及整体DMU变动有效范围，以陕西省为例，其各项输入变为原来的1.301倍，输出变为原来的0.699倍，不会改变其有效性分类。当其他省份的输入输出同时变动时，其有效范围为0.154，表明其各项输入变为原来的1.154倍，输出变为原来的0.846倍，同时其他省份的输入变为原来的0.866倍，输出变为原来的1.182倍时，其仍为DEA有效。由上表同时可以看出，北京的超效率值θ较高，从而对应的有效范围大，这也反映了，北京的节能减排工作做的非常好。七、为政府的决策提供建议节能减排是中央站在经济社会发展全局，从全国人民根本利益出发做出的重大战略决策，各级政府部署节能减排工作是全面落实科学发展观，促进经济社会又好又快发展的基本要求。基于上文讨论分析，现对政府的决策提供以下几点建议：(1)为提高节能减排效率，政府应在关注经济发展水平的同时进行产业升级和技术革新，鼓励原有的高污染、高耗能企业项目进行节能技术革新和污染物排放的回收利用，进一步提高可持续发展的能力。(2)对于平均规模效益值k大于1的地区，如吉林、上海、广东、安徽、云南和甘肃，由于这些地区的规模效益递减，成倍的增加节能减排资金不会带来更高比例的增长，应在现有基础上，优化自身产业机构，充分利用现有资金和能源。而北京的k值介于0-