南理工数学建模竞赛暑假培训结业论文-灰度预测模型

2012年南京理工大学数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了全国大学生数学建模的竞赛规则（）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们的参赛（报名）队号为：

参赛组别：本科组

参赛队员(先打印,后签名,并留联系电话)：

2012年南京理工大学数学建模竞赛

摘要

在大气环境质量的量化问题上，通过计算空气质量指数AQI来综合评价各城市的空气质量。利用MATLAB软件编写程序计算得到结果，如2010年空气质量最好的三个城市为海口、拉萨、呼和浩特，其AQI分别为40、48、59；空气质量最差的三个城市为兰州、乌鲁木齐、西安，其AQI分别为10.5、91.5、88。在空气质量预测问题上，我们分别尝试了曲线拟合与灰度预测两种方法，将2011年的预测值和实际值比较，发现灰度预测在数据量较少情况下更具有优势。基于此在后续问题处理上都沿用了灰度预测模型，并预测了2012年的空气质量指数和不节能减排情况下2007至2011年的空气质量指数。

解决问题3、4时，用之前建模得到的数据，用EXCEL软件绘制图表，清晰直白的分析节能减排对大气环境质量改善所起作用，文章的最后给出了下一步实施节能减排提出建议。

关键字：AQIMATLAB灰度预测

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一、问题的提出

环境保护是重大民生问题，随着社会对环境保护的日益重视，人们越来越重视环境的改善，工业革命以来，世界各国尤其是西方国家经济的飞速发展是以大量消耗能源资源为代价的，并且造成了生态环境的日益恶化。

节约能源资源，保护生态环境，已成为世界人民的广泛共识。我国从2007年8月起，中央财政开始实施节能减排工作，既是对人类社会发展规律认识的不断深化，也是积极应对全球气候变化的迫切需要。《国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出了“十一五”期间单位国问题二要求依照过去几年的主要统计数据预测出假如2007年不采取节能减排措施时我国大气环境的发展趋势。利用2003到2006年的数据即可做出预测。问题三和问题四可以合并为一个问题：讨论节能减排对大气环境质量改善所起作用并对改善情况进行科学分析。为解决此问题，可以将利用2003至2006年的数据所得的2007至2011年的不节能减排的预测值与这些年的实际空气质量指数值相对比并分析。

问题五是对下一步实施节能减排提出建议。此问题是根据问题三和四对节能减排政策实施的效果的分析而得的。

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三、基本假设

1.由于仅已知2003到2011年的数据，且题目要求利用这些数据来进行相关预测，故假设已知数据已足够多，可以进行准确预测；

2.各个省份的指标的统计数据信息均由《中国统计年鉴》【1】所得，故假设所有数据真实有效；3.假设二氧化硫、二氧化氮及可吸入颗粒物的浓度即可正确反映出空气质量的状况；

4.假设忽略由于自然灾害等原因造成的空气质量突变情况；

5.假设节能减排措施是全国统一地在2007年8月开始实施的，各地区同步。

四、符号说明

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五、模型设计与模型求解

5.1问题一：对全国各省会城市的大气环境质量定量综合评价，分析比较2012年各地区大气的污染状况

5.1.1、问题分析

大气质量优劣与人们的生活息息相关，所以能知道当天或者某一阶段的大气质量十分必要。题目中问题1要求我们能给出全国个省会城市大气质量综合评价的模型。我们通过查阅《中国统计年鉴》【1】和《环境空气质量指数（AQI）技术规定》

【2】，得知空气质量主要与空气中的二氧化硫、二氧化氮、一氧化碳、臭氧、可吸入颗粒物等的浓度有关，通过计算各成分的IAQI，取最大值，即为当地空气质量指数AQI，其值越大，污染越严重。同时《环境空气质量指数（AQI）技术规定》【2】给出了计算AQI的公式IAQIPIAQIHiIAQILoCPBPLoIAQILo以及BPHiBPLo

AQImax{IAQI1,IAQI2,,IAQIn}，《中国统计年鉴》【1】上查阅得到了个年份的二氧化硫、二氧化氮、可吸入颗粒物三种成分的浓度。我们基于这三种污染物，建立计算AQI的数学模型。将得到的数据通过EXCEL处理，绘出更加直观的各个城市在个个年份间AQI的变化曲线。

对于2012年各地区大气的污染状况的预测，我们建立了两个模型：模型一通过MATLAB软件利用已计算出的各城市2003到2010年的空气质量指数来进行三次拟合，得出2011年和2012年的预测值；模型二选择灰色系统预测方法，对2011和2012年的指数进行灰色预测。比较两种模型得出的2011年预测值与我们查到的2011年的实际值，检验结果是否准确。

5.1.2、模型建立与求解

环境质量综合评价

在《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》【2】中的污染物项目的空气质量分指数的计算公式

IAQIPIAQIHiIAQILoCPBPLoIAQILo（5.1.1）BPHiBPLo

以及空气质量指数的计算公式

AQImax{IAQI1,IAQI2,,IAQIn}（5.1.2）

的基础上计算各地的环境空气质量指数，其中IAQI1,IAQI2,IAQI3分

硫、二氧化氮和可吸入颗粒物的空气质量分指数，BPBPLo、IAQIHi、IAQILoHi、

【1】可通过查表而得，CP通过查阅各年的《中国统计年鉴》得到。PP

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以由此计算出的各年各省份的AQI为主要依据，对各城市的环境质量给出评价，AQI数值越低则环境质量越好。

.预测2012年空气质量指数

（1）曲线拟合模型建立

将计算得到的各城市2003到2010年AQI值进行3次曲线拟合，公式为

f(x)q1*x3q2*x2q3*xq4（5.1.3）

该计算利用MATLAB软件进行，得到q1、q2、q3、q4四个参数后，代入年份编号

x，得出2011和2012的预测值。

（2）灰度预测模型建立

将2003至2010个年份各城市的AQI值写入数据列

x(0){x(0)(1),x(0)(2),,x(0)(8)}（5.1.4）

经过一次累加，得到

x(1){x(1)(1),x(1)(2),,x(1)(7)}（5.1.5）

假设x(1)满足一阶常微分方程

dx(1)

+ax(1)=u（5.1.6）dt

当tt0时x(1)x(1)(t0)的解为

uux(1)(t)x(1)(t0)ea(tt0).（5.1.7）aa

由于年分是离散值，所以公示变为

uux(1)(k1)[x(1)(1)]eak.（5.1.8）aa

灰色建模的途径是一次累加序列（1.2.3）通过最小二乘法来估计常数a与u。利用查分代替微分，保留x(1)(1)做初值，又因等间隔t(t1)t1,故公式（5.1.9）变为

(0)(1)ìïx(2)+ax(2)=u,ïï(0)(1)ïx(3)+ax(3)=u,ïï（5.1.10）íï..............................ïïïx(0)(7)+ax(1)(7)=u.ïïî

写成向量形式

5

(0)a(1)x(2)[x(2),1]ua(0)(1)x(3)[x(3),1]u（5.1.11）

(0)a(1)x(7)[x(7),1]u

如果用矩阵表示

(1)(1)x(0)(2)2[x(2)x(1)](0)(1)(1)x(3)2[x(3)x(2)]

(0)(1)(1)x(7)2[x(7)x(6)]11a.（5.1.12）u11

令

(1)(1)11[x(2)x(1)]1(1)(1)[x(3)x(2)]1a(0)(0)(0)T,U,y(x(2),x(3),,x(N)).Bu1(1)(1)[x(N)x(N1)]1

则（5.1.12）式就变为yBU，其最小二乘估计为

ˆaˆU(BTB)1BTy（5.1.13）ˆu

ˆ与uˆ代入（1.2.10），得到时间相应方程把估计值a

ˆˆuˆuˆ(1)(k1)x(1)(1)eakx（5.1.14）ˆˆaa

因为得到的是一次累加序列的拟合值，所以要用减法还原，即得到原始序列的拟合值。

.模型求解

（1）空气质量评价模型求解

利用MATLAB软件进行编程，系统地计算出各年各城市的AQI指数，程序及各年的具体数值见附录。

利用EXCEL表格中2003到2010年来各地数据计算结果画出空气质量指数发展趋势，如图1所示

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图1

空气质量指数越低的城市空气质量相对越好。做各年的AQI均值，可得中国空气质量最优的五个城市依次为：海口、拉萨、南宁、福州和昆明，而环境最差的五个城市依次为：兰州、北京、乌鲁木齐、太原和西安。因此从地域上看，南方的城市相对环境较好，特别是东南沿海城市；而北方重工业发达的城市空气质量则明显较差。

从时间上来看，各个城市的空气质量指数在2007年之前大部分都在逐渐升高，可能是由于当时经济的发展以及对环境保护的不重视。而在2007之后，大多数省会城市的指数都有下降的趋势，分析其原因，可能是自2007年8月起国家实施了节能减排的政策。

（2）曲线拟合模型求解

对于2012年各地区大气的污染状况的预测，首先通过MATLAB软件利用已计算出的各城市2003到2010年的空气质量指数来进行三次拟合，得出2011年和2012年的预测值。并把我们查到的2011年实际的空气质量指数作为标准，将2011年的预测值与对比对比，结果如下表1所示：

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我们可以认为，相对误差超过10%则预测不准确。由上图可知，31个城市中有15个城市的预测数据与实际值得相对误差超过了10%，因此通过插值拟合模型得到的预测结果并不准确。

（3）灰度预测模型求解

采用灰色预测模型，得出的2011年预测结果与实际情况的比较如下表2：8

由上表可知，31个城市中只有7个城市的预测数据与实际值得相对误差超过了10%，因此灰度预测模型比曲线拟合模型更好，更能真是的反映空气质量的变化趋势。

灰色预测方法所得结果较准确，于是运用此方法，使用2003到2011年的空气质量指数数据，预测2012年各城市AQI指数，得下表3：

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2012年的结果如图2所示

图2

由上表可看出最好的五个城市依次为：海口、拉萨、南宁、福州和昆明，最差的五个城市依次为乌鲁木齐、兰州、西宁、合肥、北京。总体来讲，2012年比前几年空气质量有所改善。

5.2问题二：假如不采取节能减排，依照过去几年的主要统计数据，对我国大气环境的发展趋势做出预测分析。

5.2.1、问题分析

根据题目，我国从2007年8月开始实行节能减排，因此参照2007年之前的数据对各地在此之后各年份的空气质量指数进行预测计算分析。根据问题一的经验，对于已知数据较少的情况，若要进行较为准确的预测，宜采用灰色预测模型，而曲线拟合对于此问题并不适用。参照问题一中的灰度预测模型，进行建模计算分析，得出预测结果。

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5.2.2、模型建立

参照模型一，由2003至2006年的空气质量指数给出观测数据列，按照模型一的方法即可得出假如不采取节能减排，各城市2007到2011年的AQI。

5.2.3模型求解

利用灰度预测模型，求出各城市不节能减排情况下2007到2011年的AQI如下表4：

在EXCEL软件中绘制折线图如图3

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图3

由上图可以清晰的看到如不采取节能减排的措施，大部分城市空气质量指数将会不断上升，兰州、乌鲁木齐、北京、石家庄的AQI将超过100，达到三级污染。而还有一部分城市在不断下降，这部分城市是在2007年以前空气质量都很好的城市，如南宁、海口等。

5.3问题三、四：建立模型分析讨论节能减排对大气环境质量改善所起作用，并进行科学分析。

5.3.1、问题分析:

在问题二的基础上，通过对比2007至2011年的预测值和实际值，分析各大城市在空气质量改善情况。

5.3.2、模型建立

用灰度预测模型在问题二的基础上，采用各城市的不同年份的空气质量指数的实际数据与不实施节能减排的情况下的预测数据进行对比分析，并用EXCEL软件对每年全国各省会城市的空气质量指数的实际数据与预测数据绘出柱形图。

5.3.3、模型求解

用EXCEL软件对2010和2011年全国各省会城市的空气质量指数的实际数据与预测数据绘出的柱形图如下：

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图4

图5

由上面两张柱状图可以看出，对于污染比较严重的地区来说，节能减排政策的实行对于空气质量的改善有明显的效果；对于原本就空气质量较好的城市来说，并不明显。

从总体上来分析，根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》【2】中对空气质量等级的划分，绘制饼状图如下：

图6

可以看到，实际达到一级空气质量的城市所占比例明显比不节能减排情况下所预测的比例大，而三级空气质量所占的比例明显要小。这也充分说明国家实施节能减排政策是非常明智的。

5.4问题五：对下一步实施节能减排提出建议

由以上四问可以看出，首先节能减排是行之有效的，对比于没有节能减排情

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况下的预测，空气质量明显提高。因此应该继续坚持节能减排政策。对于重要的工业城市以及特大城市进行节能减排后，每年的空气质量均有所提高，以二氧化硫、二氧化氮以及可吸入颗粒物为代表的各种污染物均有不同比例的减少。

反观工业不是很密集，自然环境原本就很好的一些旅游城市，节能减排前后的效果并不是特别明显，是否进行节能减排对于空气质量的影响并不很大。因此今后在考虑节能减排任务时，可以把重点放在主要的工业城市，旅游城市的节能减排任务相应就可以轻一些。第三，节能减排的重点领域应该是重工业，因为这个行业会产生大量以二氧化硫、二氧化氮为代表的污染物。减少他们的含量对于节能减排大有帮助。

六、模型评价

1.模型的优点在于：问题一中运用了两个模型进行2012年的预测，其中第一个曲线拟合模型拟合的效果并不理想，分析其原因，可能是已知的数据不够多，无法进行准确预测；而第二个灰度预测模型克服了这个缺点：它是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法，利用这种方法，经过检验，我们得出了较为准确的预测。

2.我们在解问题二的过程中遇到了一个问题：利用2003年到2006年的数据进行不节能减排预测时，郑州市2007到2010年的数据呈现了周期性的变化，与实际相差较大，而其他城市的数据都较为正常，可能是由灰度预测方法本存在的缺陷造成的。

3.模型的缺点在于：观察各省份空气质量指数发展趋势图（图1），发现个别城市的空气质量指数会发生突变，虽然已经采用了灰度预测的方法，但这对预测未来的指数还是可能产生一些影响，降低预测的精度。

4.模型的扩展：通过以上一系列的计算、分析与讨论，我们可以清晰地看出各地区的环境状况和节能减排的效果，根据这些结果，有关部门可以调整政策，因地制宜，对污染严重的地区进行进一步调查、检测，得到更全面的数据，从而制定出合适的政策；对节能减排不明显的地区，建立专门的模型，根据分析来制定更加有力的政策。

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七、参考文献

[1]、中华人民共和国国家统计局《中国统计年鉴》/tjsj/ndsj/

[2]、中华人民共和国环境保护部《环境空气质量指数（AQI）技术规定》中国环境科学出版社

[3]、首都师范大学《运筹学》第七章灰度预测模型课件ppt/view/9f393b2eed630b1c59eeb5d0.html

1、计算AQI的MATLAB代码，

a=load(‘d:\2003.txt’)%读取数据

b=a(:,1)

c=a(:,2)

d=a(:,3)

fork=1:31

if(b(k)<50)&(b(k)>0)

r(k)=b(k);

elseif(b(k)<150)&(b(k)>50)

r(k)=1/2*(b(k)-50)+50;

elseif(b(k)<250)&(b(k)>150)

r(k)=1/2*(b(k)-150)+100;

elseif(b(k)<350)&(b(k)>250)

r(k)=1/2*(b(k)-250)+150;

elseif(b(k)<420)&(b(k)>350)

八、附录15

r(k)=0.7*(b(k)-350)+200;elseif(b(k)<500)&(b(k)>420)r(k)=0.8*(b(k)-420)+300;elseif(b(k)<600)&(b(k)>500)r(k)=(b(k)-500)+400;

end

if(c(k)>0)&(c(k)<50)

t(k)=c(k);

elseif(c(k)>50)&(c(k)<150)t(k)=0.5*(c(k)-50)+50;elseif(c(k)>150)&(c(k)<475)t(k)=50/325*(c(k)-150)+100;elseif(c(k)>475)&(c(k)<800)t(k)=50/325*(c(k)-475)+150;elseif(c(k)>800)&(c(k)<1600)t(k)=100/800*(c(k)-800)+200;elseif(c(k)>1600)&(c(k)<2100)t(k)=100/500*(c(k)-1600)+300;elseif(c(k)>2100)&(c(k)<2620)t(k)=100/520*(c(k)-2100)+400;end

if(d(k)>0)&(d(k)<40)

y(k)=5/4*(d(k)-0)+0;elseif(d(k)>40)&(d(k)<80)y(k)=5/4*(d(k)-40)+50;elseif(d(k)>80