北航数学建模报告如何确定鸡蛋售价使利润最高

如何确定鸡蛋售价使利润最高院（系）：专业：学号：姓名：指导老师：二零一一年十二月

中文摘要本论文为解决已知问题“如何确定鸡蛋售价使利润最高”，内容包含了对问题的分析，建模的准备，对原始数据的分析与处理，绘制原始数据点绘图，拟合数据，得出利润函数，利用函数计算最大值的过程。关键词：原始数据点绘图；拟合图；利润函数；最大利润

目录1问题提出 42具体分工 53前期准备 64建模过程 74联系实际分析建模结果的合理性 135小结 146参考书目 157制作的M文件截图 16

正文1问题提出该现实问题是：某旅游景点出售温泉水煮熟的鸡蛋，当售价分别为10元9个、10元8个、10元7个、10元6个、10元5个、10元4个、10元3个时，其销量分别为1000、950、900、850、800、700、590个。已知鸡蛋的成本价为0.3元。如何确定鸡蛋售价使利润最高？对于这个现实问题，我们考虑其销量与售价似乎存在一定的函数关系，打算通过数学建模的方式寻找销量与售价之间可能存在的函数关系，并把实际问题抽象出数学模型，再通过建立函数关系式来确定其数学关系，找出可以使利润最大的销售方案。首先，我们假设销量y与售价x之间可能存在2阶的函数关系，即Y=A*X^2+B*X+C继而分析数据验证假设。

2具体分工我和王力尧首先确定了以团队合作的形式完成这个题目，经过共同讨论之后，我们确定了各自的分工，我主要负责对问题的分析，原始数据的处理，建模的准备以及论文的撰写工作，王力尧主要负责利用MATLAB进行数据的处理、函数图像绘制以及最大利润的计算并整理作业所需提交的文件。

3前期准备首先进行了数据处理，把数据记录入表格并进行简单的利润计算，以及把要使用的数据写入Matlab制成data文件。其次准备了所有要用到的函数。Title：给函数图象添加题目Label：给函数图象的坐标轴加坐标注释，其中xlabel指给x轴添加名称，ylabel是给y轴添加注释。Plot：基本的函数图象绘制函数，其基本调用格式为：plot(x,y)其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y坐标数据。Subplot：是将多个图画到一个平面上的工具。其中，m表示是图排成m行，n表示图排成n列，也就是整个figure中有n个图是排成一行的，一共m行，如果第一个数字是2就是表示2行图。p是指你现在要把曲线画到figure中哪个图上，最后一个如果是1表示是从左到右第一个位置。使用方法：subplot（m,n,p）或者subplot（mnp）。Polyfit：用于进行曲线拟合的一个函数，用法polyfit(x,y,n);用多项式求过已知点的表达式，其中x为源数据点对应的横坐标，可为行向量、矩阵，y为源数据点对应的纵坐标，可为行向量、矩阵，n为要拟合的阶数，一阶直线拟合，二阶抛物线拟合等等）Fminbnd：是求极小值的函数，通过添加负号使其变成最大值

4建模过程在从网上下载了题目之后我们俩迅速确定了以团队合作的形式完成综合大作业一数学建模的第二个实验，在准备的过程中，我们俩一起对问题进行了分析，这个问题与课本上的例题的区别是，课本上的例题像测量环境温度和化合物浓度，其自变量都是线性变化的，这是我们在准备过程中所遇到的第一个问题，通过查阅资料我们发现可以通过调整拟合中的阶数设置来改变拟合的图象阶数。首先将所用到的数据录入excel文件并进行简单的处理。接着，将单价x与销量y录入matlab，并制作成data文件以便于以后的使用。通过载入数据文件data，并用plot函数画出散点图，完成售价与销量的原始数据点绘图，由点绘图，我们可以看到销量随单价的函数图像略带弯曲，且在第四个点时向下弯曲，在第五个点时向上弯曲，比较符合三次函数的图像曲线，所以我们假设其为三阶函数。在数据拟合阶段，我们分别作了二阶、三阶、四阶、五阶四次拟合，拟合的结果如下。>>loaddata>>x2=0:0.1:4;>>p=polyfit(x,y,2)p=1.0e+003*0.0351-0.33491.3177(得到的函数是z=1.0e+003*（0.0351*x^2-0.3349*x^1+1.3177）)>>y2=polyval(p,x2);(Matlabpolyval的函数功能是多项式的估值运算)>>subplot(2,2,1);plot(x,y,'*',x2,y2);title('二阶拟合')>>p=polyfit(x,y,3)p=1.0e+003*-0.01720.1487-0.56721.4641（得到的函数是z=1.0e+003*(-0.0172*x^3+0.1487*x^2-0.5672*x+1.4641)）>>y3=polyval(p,x2);>>subplot(2,2,2);plot(x,y,'*',x2,y3);title('三阶拟合')>>p=polyfit(x,y,4)p=1.0e+003*0.0733-0.64452.0659-3.04252.6035（得到的函数是z=1.0e+003*(0.0733*x^4-0.6445*x^3+2.0659*x^2-3.0425*x+2.6035)）>>y4=polyval(p,x2);>>subplot(2,2,3);plot(x,y,'*',x2,y4);title('四阶拟合')>>p=polyfit(x,y,5)p=1.0e+003*0.0577-0.52161.7183-2.45881.13701.1122（得到的函数是z=1.0e+003*(0.0577*x^5-0.5216*x^4+1.7183*x^3-2.4588*x^2+1.1370*x+1.1122)）>>y5=polyval(p,x2);>>subplot(2,2,4);plot(x,y,'*',x2,y5);title('五阶拟合')由图像知三阶拟合曲线与数据点符合较好，且其变化趋势较为符合常理。因此得到销量与单价的函数关系式：y=(1.0e+003)*(-0.0172*x^3+0.1487*x^2-0.5672*x+1.4641)设利润为z则z=x*yZ=(1.0e+003)*(-0.0172*x^4+0.1487*x^3-0.5672*x^2+1.4641*x)通过matlab绘制该函数图象：x=[0:0.1:5];

z=(1.0e+003)*(-0.0172*x.^4+0.1487*x.^3-0.5672*x.^2+1.4641*x);

plot(x,z)

绘制函数图像，其函数图像如下。之后，通过fminbnd这个函数来计算z的函数图象的最大值点，因为该命令只能计算函数的最小值，所以就通过把z函数变成-z函数来进行计算。x=[0:0.1:5];

[x,z]=fminbnd('-(1.0e+003)*(-0.0172*x.^4+0.1487*x.^3-0.5672*x.^2+1.4641*x)',0,5)

即当鸡蛋的单价为3.5元时利润最大，为1970.7元因此得出结论在鸡蛋的单价订为3.5元/个的时候，能获得最大的利润，其每日纯收入为1970.7元。

4联系实际分析建模结果的合理性联系实际我们知道这个结果比我们平常所吃的鸡蛋价格偏高，但联系题目中的情景，为旅游景点中温泉水煮成的鸡蛋，这个价格还是比较符合常理的，因此，我们认为自己的建模结果与实际相符，是一次成功的建模。实验中我们遇到的问题有，不会录入非均匀变化自变量，不会应用拟合函数以及绘制拟合图像的问题，都通过查阅课本及参考书目解决了。

5小结通过本次实验，首先是学会了数学建模的基本思想方法，学会了一种处理问题的思路。其次在本次作业中，学到了很多关于matlab各种函数的知识，并且发现关于软件的学习光靠听课是不够的，因为在很多时候当你把学到的函数录入软件时，你会发现它并没有按你希望的那样运行，而是会出一些各种各样的小问题，所以在程序调制的过程也是一个学习深化的过程。通过对matlab这个软件的应用，我才真正对它有了一定的掌握，体会到了matlab软件的强大功能，对以后的数学学习有很大的帮助。其次，本次作业是我们两个合作完成的，在合作中我们互相鼓励讨论问题，把很多本来很难的问题都一一化解。而且分工合作极大地提高了我们的工作效率，是任务能很快完成。本次合作提升了我们的团队合作能力和协助精神，获益匪浅。

6参考书目《大学计算机基础》清华大学出版社2007年第一版《大学计算机基础教程》浙江大学出版