第4讲 函数的概念-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

第四讲函数的概念

教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向

1.函数的概念数学抽象水平1水平21.理解函数的概念和函

数的三要素，尤其是对

2.函数的三要素数学抽象水平2水平2应关系的实质。

【考查内容】函数的定义

2.掌握函数定义域、值域、值域的求法。

3.区间的概念与应用数学运算水平1水平1

域的求法，并能根据其

【考查题型】选择题、填

意义解决一些逆向问

空题

题。

复合函数与抽象函数数学抽象水平水平2【分值情况】5分

4.13.理解复合函数的概

念，能求一些复合函数

的定义域、值域。

知识通关

知识点1函数的概念

(1)函数的概念

设A,B是非.空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A

概念中的任意一个数x,在集合6中都有唯一确定的数，(x)和它对应，那么

就称/:Af8为从集合A到集合B的一个函数

y=f(x),x&A

对应关系

三要素

定义域X的取值范围

值域与X对应的y的值的集合{/(x)|xGA}

(2)函数相等

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.

知识点2区间及有关概念

(1)一般区间的表示.

设a、beR,且a＜。，规定如下：

定义名称符号数轴表示

闭区间-J____

｛犬|。3烂〃｝[a,b]a1)x

>1

{x\a<x<b}开区间(a,b)==l

半开半

[x\a<x<b}[a,b)和==l

闭区间

半开半

{x\a<x<b}(a,b]和==|

闭区间

(2)特殊区间的表示.

定义R｛冲训{x\x>a}{x\x<a}{x\x<a]

(-00,+oo)(a,+oo)

符号[a9+oo)(-oo,a](-oo,a)

题型一函数关系的判定

规律方法

1.根据图形判断对应是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线1；

(2)在定义域内平行移动直线1；

(3)若1与图形有且只有一个交点，则是函数；若

在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交

占制不章雷粕

②A=>0,xe火},3=区ye/?}

对应法则f:xy2-3x

③A={小eH},B={y|yeR}

对应法则f:x-^y:x2+y2=25

@A=R,B=R

例1、(1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是

()对应法则/:x->y=/

⑤A={(x,y)|xeR,yeR\,B-R

对应法则f:(x,y)-s=x+y

⑥A={乂-1<E”/?},8={0}

对应法则f:x—>y=0

A.①⑤⑥B.②©⑤

c.②③④D.(D@③⑤

解析:

解析：

任作一条垂直于x轴的直线x=。，移动直线,

根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一①在对应法则一下，A中不能被3整除的数在B

个交点.结合选项可知D不满足要求，因此不表示中没有象，所以不能确定y是x的函数。

函数关系.

②在对应法则/下,A中的数在B中有两个数与之

答案D对应，所以不能确定y是x的函数。

(2)在下列从集合A到集合B的对应关系中，不③在对应法则/下，A中的数(除5与一5外)在

能确定y是x的函数是()

B中有两个数或没有数与之对应，所以不能确定y

是x的函数。

①A={小eZ},B={y|yGZ}

④显然满足函数的特征，故能确定确定y是x的

x

对应法则/:x->y=§函数。

⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数。

⑥显然满足函数的特征，故能确定确定y是x的

(1)方法：①己知/(x)的解析式时，只

函数。

需用a替换解析式中的x即得/(“)的值；

答案D

②求/(g(。))的值应遵循由里往外的原

则.

【变式训练1】

(2)关注点：用来替换解析式中x的数。必须

设〃={乂04%42},'={^04卜42},给出下列

四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数

关系的有()

例2、已知/(x)=—!—(xNl),g(x)=/+2

1+x

⑴求/(2)和g(2)的值；

A.0个B.1个

(2)求g(/(2))J(g(x))的值.

C.2个D.3个

(3)若一,—=4,求X。

解析：

/(g(x))

①，错，x=2时，在N中无元素与之对应，不

解析：

满足任意性.

②对，同时满足任意性与唯一性.⑴八2)=卷=§,g(2)=22+2=6；

③错，x=2时，对应元素y=3eN,不满足

(2)g(〃2))=g(g)=B，

任意性..

④错，x=l时，在"中有两个元素与之对应,

f(g(x))=-~~-=J鼻；

不满足唯一性.l+g(x)1+x+2x+3

答案B1

(3)------=/+73=4,解得》=±1

〃g(x))

191

题型二函数求值答案(1)6(2)——(3)±1

9X2+3

规律方法求函数值的方法及关注点

【变式训练2】

已知函数y(x)=3X五+]

⑴求/(2)；⑵求/⑴).

解析:

r4-12+13

(1)

2+2-4

2

(2)

2+15

-+28

3

35

答案(1)7(2)-

题型三求函数的定义域例3-1、求下列函数的定义域:

方向1已知函数的解析式求函数的定义域⑺/1)厅(“x+11)“71n-—--x

规律方法

[5-x

(2)「X-3-

求函数定义域的一般原则是：

J-x

①若/(x)为整式，只要没有对x作特别补充y=—-------

2X2-3X-2

说明，则其定义域为实数集R；

(4)y=Jx-l•Jl-x

②若/(x)为分式，则其定义域为使分母不等

3

(5)

1-71-x

(6)y=7x2-3+-J5-X2

______________________________________________解析:

③若/(x)为偶次根式，则其定义域为使根号内的式

子大于等于零的实数的集合；

④若f(x)为零指数幕或负整数指数基，则其定义域

x-120

⑷《nx=1

l-x>0

例3-2、⑴设函数/(x)=J7,则/(x+1)等于什

函数定义域为{1}么？/(x+1)的定义域是什么？

(2)若函数y=/(x)的定义域是［0,+8),那

1—Jl-x丰0xwO

l-x>0X<1么函数y=/(x+1)的定义域是什么？

/.x<l_&xw0解析：

/.函数定义域为卜％W1且rwO}(1)/(x+l)=Jx+1.令x+120,J.xN-l,

[X2-3>0[X2>3.：/(x+l)的定义域为［―1,+°°).

（Z6）X[，

5-x2>0x2<5

(2)函数y=/(x)的定义域是［0,+8),

/.V34x4或-y/54x4—V3

.・.令x+120,解得xN-1,

y-/(%+1)的定义域是[—1,+°°).数的定义域：

答案(1)1,+°°)(2)[—l,+°o)(1)/(X);(2)/(X-3)；(3)f(x2)

例3-3、(D已知函数y=/(x)的定义域为[一解析：(1)•••/(x+1)的定义域为12],

2,3],求函数y=/(2x—3)的定义域.

.\2<x+l<3,即/(x)的定义域为[2,3]

(2)已知函数y=/(2x—3)的定义域是

(2)•••/(X)的定义域为[2,3]

[—2,3],求函数y=/(x+2)的定义域.

：.2<x-3<3：.5<x<6

解析：

即/(x-3)的定义域为[5,6]

(D=的定义域为[-2,3]，

(3)•••/(X)的定义域为[2,3]

即才e[—2,3],

函数y=/(2x-3)中2x—3的范围与函数・・・2<x2<3,

y=/(x)中x的范围相同，/.V2<尢<或-V3Wx<—5/2,

—2W2x—3W3,解得一4尤43,即/(/)的定义域为[-、6,一J可u[J5,6]

2

答案⑴[2,3](2)[5,6]

二函数y=/(2x—3)的定义域为；,3

(3)[―V2]lj[V2,Vs]

(2),.1xe[-2,3]>.'.2X-3e[-7,3]>

题型四相等函数

即函数y=f(x)的定义域为[-7,3]，规律方法判断两个函数为相等函数应注意的点

(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同

令一7WX+2W3,解得一9WxWl,

就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也

.：y=/(x+2)的定义域为[―9』.不一定是相等函数.

(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什

答案⑴；,3(2)[-9,1]

么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

【变式训练3-3】

已知y=/(%+1)的定义域为[1,2],求下列函

解析：

例4、(1)下列各组函数：不相等.对于函数，y=J■•而I

2

①/(x)=^~g(x)=x-l；x-l>Q

由4解得a,

X%+1>0

@f(x)=—>g(x)=；；.,.定义域为1}，

XTx

对■•于函数y=-J(x-l)(x+l),

③/(x)=J(x+3)2,g(x)=x+3；

由(％-1)。+1)20解得》21或¥<—1,

④/(x)=x+l，g(x)=x+f；

.,.定义域为卜》>1或x<-1},

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系

f(t)=80Ko<t<5)与一次函数

显然两个函数定义域不同，故不是相等函数.

g(x)=80x(0<x<5).

答案不相等，因为定义域不同。

其中表示相等函数的是(填上所有正

确的序号).

解析：【变式训练4】

判断以下各组函数是否表示同一函数：

①/(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；

2

②Ax)与g(x)的解析式不同，不是同一函数；(1)y(x)=(Vx)；g(x)=J?.

@fix)=\x+3\,与g(x)的解析式不同，不是同一

(2)f(x)=2X2-3X+1；g⑺=2/一3f+1.

函数；

解析：

刨尤)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；

(1)由于函数/(x)=(JI-的定义域为

⑤Ax)与g(x)的定.义域、值域、对应关系皆相同,

{jc|x>o},而g(x)=的定义域为{可》€氏卜

故是同一函数.

答案⑤・•・它们的定义域不同，，它们不表示同一函数.

⑵试判断函数y=•而T与函数

(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，

y=J(D(X+l)是否相等,并说明理由所以它们表示同一函数.

答案(1)不是(2)是

题型五求函数的值域

规律方法

常用的方法有：观察法、分离常数法、换元法、

配方法、判别式法、图像法、反表示法、中间变量

值域法等。

(1)观察法：有的函数的结构并不复杂，可以通过

对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值

域求出函数的值域形如：®y^a(bx+c)2+d

②y=ayJbx+c+d,(3)y=c|+d,

@y^—^—+d©y=------3-+e

ax+b(ax+b)+c

CY+cl

(2)分离常数法：形如y=-------(awO)的函数,

ax-\-b

经常采用分离常数法，将三上a变形为

皿I。

c,,be,be

一(zax+b)x+d-----d-----

c

Qa_,____a

，

ax-{-bj-aax-\-bT-

.be

a-

再结合X的取值范围确定一生的取值范围，从

ax+b

而确定函数的值域

(3)换元法：运用换元，将已知函数转化为值域

容易确定的另一求।和.从而求得原市油的俏域。

(1),*,^~x20,*,*>j~x—12—1

：.y=y［x-l的值域为［-

5,，c、14

5x-l(4x+2)—

(2)44

4x+24x+2

57

4-2(4x+2)

.・・—2<y<1,故所求函数的值域为［-2,1）

+4，函数的值域为,且

（8）中间变量值域法：如求函数y=f的yycR

x-1

(3)・・・

/士/r+,厂+4,曰2y+4/

值域，由>=—---得x=-------(ywl),

x-1y-\x~—4x+3(x—l)(x-,3)x—3.

y=—5--------=-y-~~7-=~~~-(xw1)

2厂一x—1(x—l)(2x+1)2x+1

而尤2N0,>0.Ay>1或y<-4.

y-l又.•三3」__

2x+l22(2x+l)'

(-oo,-4]UU,-*^0)

1-32

当x=l时，原式y=--------=——

2x1+13

函数的值域为«丫丫0(且丁力―1

(4)已知函数可变形为：

例5、.求下列函数的值域

yx2+2yx+3y=lx1+4JC-7,

(1)y=y/x-l-(2)丁=至北；

4x+2即（y—Z）/+2（y-2）x+3y+7=0,

—4x+32x~+4-x-7当y=2时，显然不成立；

(3)y=---------；(4)y...............

2X2-X-1Y+2X+3

当y#2时，上式即为关于x的一元二次方程

(5)y=x+yjlx-X

由于xeR,...△20

解析：

即△=4(y_2)2_4(y_2)(3y+7)N0x

(3)y—(4)y=x2+2x+3(x>0)

7+T

2y2+5y-1840.2公—2x+3

(5)y=

—X+1

9

由于y工2,，一aWy<2x2-1

(7)y=

X2+1

._____1+产

(5)设J21r则x=——a>0),

2

业+=3

-22

解析:

,1

由，NO知(f+1)-21,y>-（1）解法一：（先配方，再观察）

8

对分母配方得,

函数y=x+J2x-1的值域为g，+8(X—2了+1

【变式训练5】

2

(尤-2)2NO,A(X_2)+1>1,

求下列函数的值域

Q___

(1)y=--------;(2)y=2x-Jx-l

x—4x+5故所求函数的值域为（0,8]

Q

解法二：由了=------；—得所求函数的值域为—,+oo

'（x-2）2+l_8

(x-2)2=--1=^2又•.•(尤一2)220,

XI

yy（3）由题意，分离常数得y=」=l一一二

X+lX+1

>0,<0,.-.0<y<8

yy

.*---w0,1-----w1

元+1X+1

故所求函数的值域为（0,8]

故所求函数的值域为{y|yHl}

(2)令Jx-l=(则/=产+1J20

(4)由题意，配方得

•*.y=2x-y/x-1=2厂-/4-2,z20y=+2x+3=(x+l)2+2,(x2。)

由二次函数的图像可知,

'：x>Q,.\x+l>1,A(x+l)2>l,(7)由y可得x2=21l(y#i),

厂+I1—y

：.0+1）2+223

•••x2>0,.'.^>0

故所求函数的值域为[3,+o。）i-y

y-l

故所求函数的值域为［-1,1)

2x“—2x+3

(5)由y可得

—x+1

(y-2)x2+(2_y)x+y-3=0

思维拓展

当y=2时，则—1=0,显然不成立

当yw2时，则4=（2-丁）2-4（丁一2）（丁一3）20,

考向一函数定义域的逆向问题

规律方法

解得2WyK，又,:yw2・，・2<y<

已知函数的定义域，求函数中字母取值范围的问

题，解法与求函数的定义域类似。

故所求函数的值域为（2,与

例6、已知函数多=，分2+4+18的定义域为

（6）由>=土0（x<2）可求得

[-3,6],求。、。的值

x+2

解析：

%=生虫,••X2,即史@K2

1-y1-y

由题意得不等式办2+bx+lS>0的解集为

整理得里里NO,y>l或yW-工[-3,6],因此，x=—3和x=6是方程

y-14

以2+。犬+18=0的两个根，且。<0

故所求函数的值域为1―8,-工]U（1,+8）

b

a=-1探究抽象函数取值之间的关系问题，往往采

解得V

b=3用赋值法。赋值法是解决抽象函数的一种常用策略,

Ia就是将满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量。

.•.。的值为一1"的值为3

例7己a,beN*」(a+b)=/(«)/(/>),/(l)=2,

答案a=-l,b=3

则皎+地+…+/(2O19)+/(2O2O)=

【变式训练6】'/(I)/(2)/(2018)/(2019)一

已知函数y-^twc-6mx+m+S的定义域为R,

解析：

则m的取值范围是？

由f(a+b)=f(a)f(b),令a=b=1,

解析：

■.・函数的定义域为R,即要求对任意实数x得了⑵=."1).7'⑴=4,.••哥=2

iwc-6mx+m+8>0恒成立

再令a=21=1,得/(3)=/(2)/(1)=8,

・3:2

/⑵

由此猜测=2(x>2,xeN*),

/U-l)

①当加=0时，>=次，其定义域为R；

下面证明此结论：

②当加片0时，要使〃沆2-6蛆+〃2+820恒成立令a=x-\,b-1,贝！j

m>0,/(x)=/(x—1+1)=f(x-1)/(1)=2/(x-l),

只需<=>0<//7<1

A=36m~-4m(m+8)<0

后J=2g2”“),

综上所述，加的取值范围是0<mWl

答案04加〈1

/(2)/(3)/(2019)^/(2020)

=2019x2

/(l)/(2)/(2018).f(2019)

考向二抽象函数问题4038

规律方法

答案4038例8、求使函数y=J.的值域为(-8,2)的

X-X+1

【变式训练7】

a的取值范围

已知函数/(力对任意实数。力，

解析：

都有于(ab)=/(a)+f(b)成立。

(1)求/(0),/⑴的值；

­.X2-x+1=(x--)2+—>0,

24

(2)若/(2)=pJ(3)=q,求/'(36)的值。

..x?+ax—2<2x?—2x+2.

解析：

即/_(a+2)x+4>0,此不等式对xeR恒成立

(1)令a=8=0,得/X0)=/(0)+.AO),

.-.A=[-(a+2)2]-4xlx4<0,

解得/(0)=Q

解得—6<。<2

令。=1,。=o,得/"(())=/•⑴+/(0),

故所求函数的a的取值范围为{《-6<a<2}

解得了⑴=0

答案(F2)

(2)令。=。=2,削(4)=/(2)+/(2)=2p,

【变式训练8】

令敏(9)=/(3)+/(3)=

a=b=3,2q(1)若函数/(幻=竿心的最大值为4,最小值

x+1

令a=4,b=9,削(36)=/(4)+f(9)=2〃+24

为一1,求实数a力的值

(2)设A=L"(b>1),函数/(x)=l(x-l)2+l,

当xeA时，f(x)的值域也是A,试求人的值。

考向三函数值域的逆向问题

规律方法

解析:

求函数值域的逆向问题,主要是利用已

(1)设丁=与也，去分母得

知函数的值域，求满足条件的参数的值。

X+1

yx2-ax+y-b=0,

y=0显然在函数值域［-1,4］内；又/(x)在［1,“上是增函数，

当yw0时,x£R,二当X=1时，函数/⑴=1为最小值

当X=8时，/(。)=3(。-1)2+1为最大值

/.A=a2-^y(y-b)>0,

gp4y2-4by-a2<0,其解为-l<y<4

1,

2

因而方程4y2一4b-/=0的两根为-1,4.:.-(b-l)+l=b,

2

由韦达定理知，。=-1+4=3,—幺=-1*4整理可得/一46+3=0,解彳导人=1或人=3

4

/.a=4,〃=3或a=—4,b=3Z?>1,「2=3

(2)/XGA,..l<x</?答案b=3

喀［A组基础演练

一、选择题

1.下列式子中不能表示函数)，=/(x)的是()

22

A.x=y+\rB.y=2x+l

C.x~2y=6D.x=y［y

解析：

对于A,由尸y+1得y2=x—1.当％=5时，y=±2,故y不是X的函数;

对于B,y=2x2+l是二次函数；

对于C,工-2y=6=y=5一3是一次函数；

对于D,由x=U得y=f(xK))是二次函数.

答案A

2.下列各组中的两个函数为相等函数的是().

A.fix)=y1x+\-^/x—1,g(%)=一］

B.於)=N2X—5)2,g(x)=2x—5

\—1+x

c-犬x)=4X与ga)=/T7

D.人Di%)?与g⑺=(力2

解析:

A中，/)=.而不1・也二1的定义域为{布21},g(x)=J%2_1的定义域为{此仑［或烂—1},

它们的定义域不相同；

B中，_/(x)=NZv—5产的定义域为{x应|},g(x)=2r—5