高中数学选修21讲义第二章23双曲线

第1课时双曲线的标准方程在平面直角坐标系中A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．问题1：若动点M满足|MA－MB|＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？提示：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.问题2：若动点M满足|MC－MD|＝4，设M的坐标为(x，y)，则x，y满足什么关系？提示：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标(±c,0)(0，±c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x，y项的平方差，右边是1.2．在双曲线中，a>0且b>0，但a与b的大小关系不确定．3．在双曲线中a、b、c满足c2＝a2＋b2，与椭圆不同．[例1]已知双曲线过点P(－eq\r(2)，－eq\r(3))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2)))两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨]解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b、c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析]法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵P(－eq\r(2)，－eq\r(3))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2)))两点在双曲线上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(2)2,a2)－\f(－\r(3)2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2,a2)－\f(\r(2)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝1，,\f(1,b2)＝\f(1,3)，))即a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵P(－eq\r(2)，－eq\r(3))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2)))两点在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(3)2,a2)－\f(－\r(2)2,b2)＝1，,\f(\r(2)2,a2)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2,b2)＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝－\f(1,3)，,\f(1,b2)＝－1，))(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.法二：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为双曲线过两点P(－eq\r(2)，－eq\r(3))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\r(2)2＋n－\r(3)2＝1，,m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2＋n\r(2)2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－\f(1,3)，))所以所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.[一点通]用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦点，且过点(eq\r(15)，4)，求双曲线的方程；(2)c＝eq\r(6)，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解：(1)椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1.由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))故双曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝eq\r(6)，∴设所求双曲线方程为eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是eq\f(x2,5)－y2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝4，c＝5，焦点在y轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．解：(1)由题设知，a＝4，c＝5，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|eq\r(－5－02＋6＋62)－eq\r(－5－02＋6－62)|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.[例2]若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．[思路点拨]由双曲线的焦点在y轴上，得关于m的不等式组，进而解不等式组求m的范围．[精解详析]由方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m<0，,m2－2m－3>0.))解得m>5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．[一点通]给出方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)，当mn<0时，方程表示双曲线，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0))时，表示焦点在x轴上的双曲线；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0))时，表示焦点在y轴上的双曲线．3．k＞9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示双曲线的充要条件是(9－k)·(k－4)＜0，即k＞9或k＜4.因为k＞9是k＞9或k＜4的充分不必要条件．即k＞9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要4．若方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,|m|－3)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x轴上的双曲线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m>0,|m|－3<0))⇒－3<m<2.②若该方程表示双曲线，则(2－m)(|m|－3)<0.解得－3<m<2或m>3.答案：(－3,2)(－3,2)∪(3，＋∞)[例3]已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．[思路点拨]本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F1PF2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析]双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，可知a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.由双曲线的定义，得|PF2－PF1|＝2a＝6，将此式两边平方，得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝36，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(100－100,2PF1·PF2)＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×32＝16.[一点通]在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF1－PF2|＝2a，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF1、PF2、F1F2的方程，解方程组可求得PF1、PF2或PF1·PF2，再解决相关问题．5．已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,25)＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则MN－MO＝________.解析：如图，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以MO＝eq\f(1,2)PF′，又FN＝eq\r(OF2－ON2)＝5，由双曲线的定义知PF－PF′＝8，故MN－MO＝－eq\f(1,2)PF′＋MF－FN＝eq\f(1,2)(PF－PF′)－FN＝eq\f(1,2)×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴F1(－5,0)，半径r1＝1；F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，∴MF2－MF1＝3＜F1F2＝10.∴动圆圆心M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5.∴b2＝25－eq\f(9,4)＝eq\f(91,4).∴动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(4x2,9)－eq\f(4y2,91)＝1(x≤－eq\f(3,2))．1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．课时达标训练（九）1．双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1＝11，根据双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2a＝10，∴PF2＝1或PF2＝21，而F1F2＝14，∴当PF2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF2＝21.答案：212．已知点F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2，则λ＝________.解析：设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2⇒eq\f(1,2)×PF2×r＝eq\f(1,2)×PF1×r－eq\f(1,2)λ×F1F2×r⇒PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝eq\f(a,c)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)3．若方程eq\f(x2,k－3)＋eq\f(y2,k＋3)＝1(k∈R)表示双曲线，则k的范围是________．解析：依题意可知：(k－3)(k＋3)<0，求得－3<k<3.答案：－3<k<34．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则实数a＝________.解析：由双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F1(－eq\r(10)，0)，F2＝(eq\r(10)，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是________．解析：∵·＝0，∴⊥.∴||2＋||2＝40.∴(||－||)2＝||2－2||·||＋||2＝40－2×2＝36.∴|||－|||＝6＝2a，a＝3.又c＝eq\r(10)，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为eq\f(x2,9)－y2＝1.答案：eq\f(x2,9)－y2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，eq\f(9,4))；(2)过点P1(3，－4eq\r(2))，P2(eq\f(9,4)，5)．解：(1)因为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF1－PF2|＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))eq\r(5＋52＋\f(9,4)－02)－eq\r(5－52＋\f(9,4)－02)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))eq\r(\f(41,4)2)－eq\r(\f(9,4)2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，分别将点P1(3，－4eq\r(2))，P2(eq\f(9,4)，5)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋32B＝1，,\f(81,16)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,9)，,B＝\f(1,16)，))故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.7．设F1，F2为双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝120°.求△F1PF2的面积．解：由已知得a＝2，b＝1；c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，由余弦定理得：F1Feq\o\al(2,2)＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2cos120°即(2eq\r(5))2＝(PF1－PF2)2＋3PF1·PF2∵|PF1－PF2|＝4.∴PF1·PF2＝eq\f(4,3).∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).8.如图，在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解：以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)．设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，由正弦定理得sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝eq\f(c,2).从而有|CA|－|CB|＝eq\f(1,2)|AB|＝2eq\r(2)<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝6.∴顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2))．第2课时双曲线的几何性质歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点．问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？提示：坐标轴；原点．问题2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？提示：有一个交点．双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点(±c,0)(0，±c)焦距2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R顶点(±a,0)(0，±a)对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x观察所给两个双曲线方程．(1)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1；(2)x2－y2＝9.问题1：两个双曲线方程有何共同特点？提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等．问题2：两个双曲线的离心率是多少？提示：eq\r(2).问题3：两双曲线的渐近线方程是什么？提示：渐近线方程y＝±x.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．1．离心率e反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大．2．双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点．渐近线方程用a，b表示时，受焦点所在坐标轴的影响．[例1]求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨]先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上．[精解详析]由9y2－4x2＝－36得eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，∴a2＝9，b2＝4.c2＝a2＋b2＝13.∴c＝eq\r(13).∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)焦点坐标为(－eq\r(13)，0)，(eq\r(13)，0)，实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝4，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x.[一点通]求解双曲线的几何性质问题时，首先将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴，写出a与b的值，进而求出c，即可求得双曲线的性质．1．(湖北高考改编)已知0<θ<eq\f(π,4)，则双曲线C1：eq\f(x2,sin2θ)－eq\f(y2,cos2θ)＝1与C2：eq\f(y2,cos2θ)－eq\f(x2,sin2θ)＝1，下列说法正确的个数为________．①实轴长相等；②虚轴长相等；③离心率相等；④焦距相等．解析：双曲线C1和C2的实轴长分别是2sinθ和2cosθ，虚轴长分别为2cosθ和2sinθ，则焦距都等于2，相等，离心率不相等，只有④正确．答案：12．(福建高考改编)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．解析：双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，∴顶点到渐近线的距离为eq\f(|1－0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)3．求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解：把方程化为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1，∴a＝4，b＝3，c＝5.∴实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，焦点坐标(0，－5)，(0,5)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x.[例2]求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为eq\f(5,4)；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．[思路点拨]分析双曲线的几何性质，求出a，b，c的值，再确定(讨论)焦点位置，写出双曲线的标准方程．[精解详析](1)设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.(2)当焦点在x轴上时，由eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)且a＝3，得b＝eq\f(9,2).∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(4y2,81)＝1.当焦点在y轴上时，由eq\f(a,b)＝eq\f(3,2)且a＝3，得b＝2.∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.(3)设与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝k，将点(2，－2)代入，得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.[一点通]由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为：(1)判断：利用条件判断焦点的位置；(2)设：设出双曲线的标准方程；(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程；(4)求：解参数方程，进而得标准方程．4．(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为eq\f(3,2)，则C的方程是________．解析：由题意可知c＝3，a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝15．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是______________．解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝16．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．解：①若焦点在x轴上，则双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.∵M(3,4)在双曲线上，∴eq\f(9,a2)－eq\f(16,b2)＝1.又∵b＝2a，∴9×4－16＝4a2，解得a2＝5，b2＝20，∴双曲线方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.②若焦点在y轴上，则双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1.∵M(3,4)在双曲线上，∴eq\f(16,a2)－eq\f(9,b2)＝1，又∵b＝2a，∴16×4－9＝4a2，解得a2＝eq\f(55,4)，b2＝55，∴双曲线方程为eq\f(4y2,55)－eq\f(x2,55)＝1.综上可知，双曲线方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1或eq\f(4y2,55)－eq\f(x2,55)＝1.[例3](1)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨](1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率，对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有eq\f(b,a)≥tan60°.[精解详析](1)由题意2c＝AB＝BC，∴AC＝2×2c×sin60°＝2eq\r(3)c，由双曲线的定义，有2a＝AC－BC＝2eq\r(3)c－2c⇒a＝(eq\r(3)－1)c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(3)－1)＝eq\f(1＋\r(3),2).(2)因为双曲线渐近线的斜率为k＝eq\f(b,a)，直线的斜率为k＝tan60°＝eq\r(3)，故有eq\f(b,a)≥eq\r(3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))≥eq\r(1＋3)＝2，所以所求离心率的取值范围是e≥2.[答案](1)eq\f(1＋\r(3),2)(2)e≥2[一点通]1．求双曲线离心率的常见方法：(1)依据条件求出a，c，利用e＝eq\f(c,a)；(2)利用e＝eq\r(1＋\f(b,a)2)；(3)依据条件，建立关于a，b，c的齐次关系式，消去b，转化为离心率e的方程求解．2．求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a、b、c的不等关系．7．(湖南高考)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．解析：如图，由已知可得，PF1＝2ccos30°＝eq\r(3)c，PF2＝2csin30°＝c，由双曲线的定义，可得eq\r(3)c－c＝2a，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.答案：eq\r(3)＋18．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且PF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：如图，设PF2＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，当P在右顶点处θ＝π，e＝eq\f(2c,2a)＝eq\r(\f(m2＋2m2－4m2cosθ,m2))＝eq\r(5－4cosθ).∵－1≤cosθ<1，又∵e>1，∴e∈(1,3]．答案：(1,3]1．双曲线离心率及其范围的求法．(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式Δ>0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a，eq\r(a)，|a|等非负性．2．求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，还可以将方程设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)避免焦点的讨论．课时达标训练（十）1．(陕西高考)双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(5,4).则m＝________.解析：∵a＝4，b＝eq\r(m)，∴c2＝16＋m，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(16＋m),4)＝eq\f(5,4)，∴m＝9.答案：92．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意，由于双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知eq\f(b,a)＝eq\r(3)或eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，那么可知双曲线的离心率为e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以结果为2或eq\f(2\r(3),3).答案：2或eq\f(2\r(3),3)3．焦点为(0,6)，且与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．解析：由eq\f(x2,2)－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±eq\f(\r(2),2)x.设双曲线方程为：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ<0)，∴eq\f(x2,2λ)－eq\f(y2,λ)＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故双曲线方程为eq\f(y2,12)－eq\f(x2,24)＝1.答案：eq\f(y2,12)－eq\f(x2,24)＝14．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为________．解析：∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，∴y＝±eq\f(1,2)x.答案：y＝±eq\f(1,2)x5．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率e的取值范围是________．解析：依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝3|PF