高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (二)(含解析)

第八章第4节《空间点'直线'平面之间的位置关系》解答题(2)

1.如图，在棱长为2的正方体488-418©%中，E,F,G,P,Q分别是C£),CQ,公&，

AB的中点.

(1)证明：PFc5p®GEF-,

⑵求Q到平面EFG的距离.

2.如图，矩形ABCO中，2BC=CD,E为CD的中点，以BE为折痕把四边形ABED折起，使4

达到P的位置，且PC1BC,M,N,尸分别为尸B,BC,EC的中点.

(I)求证：PE1BF；

(II)求直线ND与平面MEC所成角的正弦值.

3.已知平面ABCL平面AC。，ABBCD,BE_LAC于点E.

A

(1)判断£>C与BE的关系;

(2)求证：DC1BC.

4.如图在一个长方体的容器中，里面装有一些水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的

过程中，判断下面的说法是否正确，并说明理由.

(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形;

(2)水的形状不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥.

5.如图，正方体4BCD-AiBiGDi的棱长为4,E,M分别是8C,的中点.

(1)求证：A1，D,M,E四点共面；

(2)已知N在棱CCi上，求四面体为BMN的体积.

6.如图棱锥P-ABCD的底面是菱形，AB=2,皿B=p侧面PAB垂直于底面ABCD,且APAB

是正三角形.

(I)求证：PDJLAB；

(n)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.

7.如图，已知PAJ■平面ABCC,且四边形4BCC为矩形，M、N分别是A3、PC的中点.

(1)求证：MN1CD；

(2)若4PzM=45°,求证：MN1平面PCD.

8.如图，ABC。—aaGDi是正方体，在图1中，E,尸分别是GDi，BB1的中点，分别画出图1,

图2中有阴影的平面与平面ABC。的交线，并给出证明.

9.如图所示，在正方体4BCD中，E,尸分别是441，AB的中点，试判断下列各对线段

所在直线的位置关系.

(1)4B与CG；

(2)4祖与DC；

(3)DiE与CF.

10.如图所示，平行四边形A8CD中，4。4B=45。,AB=2,4"=2vL将△CBD沿8。折起到△EBD

的位置，使平面EBD_L平面A8。

(1)求证：直线ABIDE；

(2)求三棱锥E-4B0的侧面积.

11.如图，在三棱锥P—ABC中，4ABe是等边三角形，PA=PB.

(1)证明：AB1PC.

(2)若P4=PC=V7，AB=2如，求二面角力一PC—8的正弦值.

12.如图，在三棱柱4BC-&B1G中，CCrABC,AC1BC,AC=

BC=2,CC[=3,点O,E分别在棱44i和棱CCi上，且AD=l,CE=2,

M为棱&Bi的中点.

(1)求证：CiMJ.81。；

(2)求二面角B-&E-。的余弦值;

13.如图，已知平面a与平面/?相交于直线〃?，直线nu/?,且men=4直线1ua,且〃/m.证明:

n,/是异面直线.

14.如图，在直三棱柱力BC-&B1G中，E,F分别为&Bi，BiG的中点.求证：平面4CG必与平

面BEF相交.

15.如图所示，直角梯形48C£＞中，AD//BC,AD1AB,AB=BC=2AD=2,四边形EOC尸为矩

形，CF=V3，平面EOCF平面ABCD

E

(I)求证：。尸〃平面ABE；

(口)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值;

(HI)在线段。尸上是否存在点尸，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为手，若存在，求出线段

BP的长，若不存在，请说明理由.

16.如图，在三棱柱ABC-aBiG中，CCiJ_平面ABC,AC=BC==1,ACA.BC,且£),E,

F,Di分别为棱48,BC,AC,4当的中点.

(/)证明：直线&尸与BiE共面;

(口)求。到平面&B1EF的距离.

17.如图，在直三棱柱4BC-&B1G中，D,E分别为AB,4c的中点.

(1)求证：B1G〃平面ADE；

(2)若平面为DEJ■平面求证：AB1DE.

18.如图，在四棱锥P-4BCD中，PC_L底面ABC。，ABC。是直角梯

形，AD1DC,ABI/DC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的

中点.

(I)线段PA上是否存在一点G,使得点O,C,E,G共面，存在请证

明，不存在请说明理由；

(口)若「。=2,求二面角P-AC—E的余弦值.

19.如图，在直三棱柱ABC—4B1G中，D,E分别为AB,AC的中点.

(1)求证：B1G〃平面&DE；..............（5分）

(2)若平面力1DE1平面ABBMi，求证：AB1DE.（7分）

20.如图所示，M,N,P分别是正方体力8。。一41/6。1的棱48,BC,。以上的点.

(1)若MN〃AC,求证：无论点P在。外上如何移动，总有MN_LBP.

(2)棱DO】上是否存在点P,使得平面力PC】_L平面441C1C?证明你的结论.

【答案与解析】

1.答案：答案：

(1)证明：如图，连接BiC,

在△QCBi中，P,F分别是BiG，GC的中点，

所以PF是AGCBi的中位线，则PF〃BC

在正方体/BCD—4B1GD1中，DC〃&Bi，G,E分别是DC的中点,

贝|JEC〃GB「EC=GB、,所以四边形GB]CE是平行四边形，则BiC〃GE,

所以尸尸〃GE,所以PFu平面GEE

(2)解：如图，在正方体4BCD-4/165中，连接OE,QG,QF,

△QGE是直角三角形，QE=QG=2,GE=yjQE2+QG2=2^2.

而且CCi〃BBi〃QG,CCrC平面QGE,

所以CC]〃平面QGE,所以点尸到平面QGE的距离等于点C到平面QGE的距离,

易知CE1平面QGE,所以点尸到平面QGE的距离为CE=1,

而EF=VEC2+CF2=V2.GF=jGCf+5=dGB；+当以+•=<12+22+I2=V6»

在AFGE中，EF2+GF2=GE2,所以△FGE是直角三角形，

设求。到平面EFG的距离为d,在三棱锥Q—GEF中，VQ_GEF=VF_QGE,

即沁QGE•CE=2GEF•d,即:吗义QExQGxCE岩吗xEFxGF•d,

即;x；x2x2xl=；x；x夜xV^xd,解得d=2,所以Q到平面EFG的距离为2.

323233

解析：解析：

本题考查了空间中直线与平面的位置关系、空间中的距离的求法

(1)连接BiC,先证得四边形GBiCE是平行四边形，得B1c〃GE,PF//GE,即可得证

(2)由等体积法即为_GEF=VF-QGE'可求得Q到平面EFG的距离.

2.答案：解：(I)证明：设BC=2,则BN=CN=1,CF=EF=1,

以C为原点，CB为x轴，CE为y轴，过C作平面BCE的垂直CQ为z轴，建立空间直角坐标系,

则8(2,0,0),E(0,2,0),尸(0,1,0),

设P(x,y,z),PB=CD=2BC=4,

则PE=y/PD2+DE2=V22+22=2VLPC=>/PB2-BC2=V42-22=2百,

(x-2)2+y2+z2=16

••••x2+(y—2)2+z2=8,解得x=0,y=2,z-2V2,

、/+y2+z2=12

•••P(0,2,2V2).

~PE=(0,0,-2V2),而=(-21，0),

.-.PE-BF=0,--PFA.BF.

(n)解：•.•时为32中点，；.时(1/，V2)，则由=之西=(一1,1,V2).

"ID=^BP=BM=(-1,1,V2)..1,D(-l,3,V2),N(l,0,0),

'DN=(2,-3,—应)，设面MEC的法向量记=(_x,y,z),

由E.肛="+"低=°，取“鱼，得记=(&,。，-D，

(n-CF=y=0'

设直线ND与平面MEC所成角为。，

_曰而_叵

Amjustn0一而丽I一_反3=屈——•

・•・直线NO与平面MEC所成角的正弦值为唱.

解析：(I)以C为原点，C8为x轴，CE为y轴，过C作平面8CE的垂直CQ为z轴，建立空间直

角坐标系，利用向量法能证明PF1B凡

(口)求出面MEC的法向量，利用向量法能求出直线ND与平面MEC所成角的正弦值.

本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

3.答案：解：⑴DC1BE,理由如下：•••平面ABC1平面ACD,BE14c于点E,平面ABC0平面ACD=

AC,BEu平面A8C,二BEJ■平面AC。，又DCu平面AC。，BE1DC.

(2)证明：:AB1平面BCD,CDBCD,AB1CD.vBELCD,ABCiBE=B,AB,BEu平

面ABC,■■CDJ_平面ABC,又BCu平面ABC,：.CDIBC.

解析：本题考查的线段之间的关系，直线与直线的位置关系，是基础题；

(1)由平面4BC_L平面AC£),BEJ.AC于点E,AC是两平面的交线可得BE1平面4s由此可得结论.

(2)4B1•平面BCD,CDu平面BCD,可得AB1CD.进而可得CD，平面ABC,可得结论.

4.答案：解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱

(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平

面截长方体时形成的截面，截面的形状可

以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行

四边形.

(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的

棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体,

此几何体是棱柱.水比较少时，是三棱柱;水比较多时，可能

是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.

解析：本题考查空间几何体的结构特征，考查平面的性质，属基础题.

(1)长方体的特征及平面的性质，知水面的形状就是用一个与棱平行的平面截长方体时形成的截面,

从而可得出结论.

(2)根据水的形状就是用与棱平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，

即可得结论.

5.答案：解：(1)证明：连接&D,BC

因为&&〃DC且=DC,

所以四边形&B1CD是平行四边形，

所以4O〃BiC,

又因为E,M分别是BC,BBi的中点，

所以ME//B1C,

所以ME〃4D,

所以41，D,M,E四点共面；

(2)由题意，得ABA/N的面积为：

SABMN=3xBMxBC=-X2x4=4,

又易得_L平面BMN,且A/】=4,

所以四面体为BMN的体积为V=ix4x4=y.

解析：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、平面的基本性质及应用，属于基础题.

(1)证出ME〃40,即可证出结果；

(2)利用棱锥的体积公式直接求即可.

6.答案：解：(I)证明：取A8的中点0,连接0。，0P,

由题意知，AABO为等边三角形，

所以4BJL。。，APAB是等边三角形，所以4B10P,

又由。PnOD=。，OP.00u平面P。。，

所以4B1平面POD,PDu平面POO,

所以PD_L4B.

(口)设点C到平面尸瓯的距离为/?,直线PC与平面尸8。所成的角是0,则sin8=2.

因为平面P4B1•平面ABC。，POLAB,^PABn¥ffii4BCD=AB,POu平面PA8,

所以P。！平面488,PD=y/PO2+DO2=V6.

由P0J.48,得PO_LC。，PC=y]PD24-CD2=^10

由'c-PBD=^P-BCDf即3S4P8O,h=]SABCD,P。，

得三.叵・％='遍•6，h=淮，sin0=&=渔.

3235PC5

所以直线PC与平面P8O所成角的正弦值为在.

5

解析：本题主要考查空间几何中两直线垂直的判定以及直线与平面所成角的问题，属于基础题.

(I)观察几何体，通过做辅助线找出直线AB与PD所处平面的垂直关系即可；

(n)利用等体积法求出%_PBD的高h,再通过sin。=合即可求得.

7.答案：证明：(1)连接AC,BD,设4CnBC=0,

连接NO,MO,贝l」N0〃P4.

vPA1平面ABCD,

：.NOJ■平面ABCD,

：.NOLAB,

MOLAB,

•­•ABJ_面MNO,

：.MN1AB,而CD〃AB,

MN1CD；

(2)v/.PDA=45°,

•••PA=AD=BC,由△PAM三△CBM,

得PM=CM,

又N为PC的中点，

MN1PC,

又MNJ.CD,PCCCD=C,

AMN1平面PCD.

解析：

本题考查线面垂直的判定定理；考查线面垂直的性质定理，利用三角形的中位线证明线线平行，属

于中档题.

(1)利用两平行线中的一条垂直于平面另一条也垂直平面判断出N。，平面利用线面垂直的判

定定理与性质定理得到MN1CD.

(2)利用等腰三角形的中线垂直于底边得到MN1PC,由(1)知，MNLCD,利用线面垂直的判定定

理得到

MNJ_平面PCD.

8.答案：解：如下图1,设N为CQ的中点，连接NE,NB,则EN〃BF,

:.B,N,E,F四点共面，

••.EF与N8的延长线相交，设交点为M,连接AM.

•••MeEF,且M6NB,EFu平面AEF,NBu平面ABC。，

•1.M是平面ABC。与平面4EF的公共点，

又•••点A是面ABCD和平面AEF的公共点，

力”为两平面的交线.

如下图2,延长0c到点使CM=DC,连接BM,C】M,则G"〃。修〃&B,

M在平面a$G内，

又M在平面ABCD内，

•••M是平面48cl与平面A3CC的公共点，又8是平面&BC］与平面A3C。的公共点，

•••BM是平面&BC1与平面ABCD的交线.

解析：本题考查平面的基本性质以及交线的画法，考查空间想象能力，属于中档题.

先找出两个平面的两个公共点，再画出过它们的直线，该直线即为两个平面的交线.

9.答案：解：(1);CC_L平面A3。。，

又；ABu平面.ABCO,

AB1CG,

5LAB//CD,6<=平面。。。1。1，

48〃平面CODiG，故AB与CG不相交，

即AB与CG是异面直线；

(2)vDC//AB,A^J/AB,

・•・A1B1//DC9

所以必当与OC是平行直线；

⑶「E,P分别是4遇，AB的中点，所以EF空4B,又A、B&DQ所以EF」

所以E,F,C,劣共面且EF<L)iC,

•••D】E与CF相交.

解析：本题考查空间直线的位置关系，解题时关键弄清直线与直线平行、相交、异面的概念，属于

基础题.

(1)判断ABlCCi，力B〃平面CDCiG，可得A8与CCi是异面直线；

(2)根据平行线的传递性可得为&与。C是平行直线；

(3)先判断与CF共面，又由EF<Z\C,可得与CF相交.

10.答案：(1)证明：在△48。中，vAB=2,AD=20/-DAB=45°,BD2=AB2+AD2-2AB-

AD-cos^DAB=4,JAlmAB2+BD2=AD2,所以ABJ.BD,

又平面EBD_L平面ABD,平面EBDC平面ABD=BD,ABu平面ABD,

AB_L平面EBD,•：DEu平面EBD,AB±DE

(2)解：显然，S^BDE=SABCD=SAABD=3AB-BD=2,

又ABI平面BDE,BEu平面BOE,4B1BE,

•1•BE=BC=AD=2vLSMBE=-BE=2vL

•••DE1BD,且平面BDE_L平面ABD,平面EBDn平面ABO=BD,DEu平面EBD,

DEI5?®ABD,又4。u平面AB。，二EO140,

SMDE='DE—25/2,

综上，三棱锥E-ABD的侧面积为4鱼+2.

解析：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的侧面积的求法，解题时要认真审题，注意空间

思维能力的培养

(1)由勾股定理得481BD,由面面垂直得4BL平面EBD,由此能证明48_L0E.

⑵由已知得SABDE=SABCD=SAAB。―548,BD=2,SMBE=348,BE—2V2,5AXDE=54。'

DE=2企由此能求出三棱锥E的侧面积.

11.答案：(1)证明：取A8的中点。，连接PC,CD.

因为P4=PB,所以AB1PD.

因为底面△ABC是等边三角形，所以4C=BC,所以4B1CD.

因为PDnCD=D,所以431平面「。。/。匚平面~7£),CDu平面PC£>,

因为PCu平面PCD,所以力B1PC;

(2)解：由(1)可知力B_L平面PCD,则以。为原点，丽,配的方向分别为x,y轴的正方向，

垂直平面ABC向上为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

因为AB=2百，AP=用,所以4D=BD=W，所以CO=3,PD=好不=2,

则cosNPDC=誓言=3从而P(0/，B)，4(—旧,0,0)，B(g,0,0)，

C(0,3,0),故定=(0,2,一回AC=(V3,3,0),BC=(-V3,3,0).

设平面尸AC的法向量为五=(x1,y1,z1)f

则E叱=2厂84=。，令…3,得元=(3,-V3,-2).

同•AC=遍/+3y1=0,

设平面P8C的法向量为沆=(x2,y2・Z2),

则伫.竺=2"恁2=。，令右

=3,得3=(3,祗2).

[mBC=-V3X2+3y2=°,

IITXT.—♦―>、记•沅9—3—41

从而cos<n,m>=而而=b9

故二面角4—PC—B的正弦值为萨•

解析：本题考查线面垂直的判定判断线线位置关系以及利用空间向量法求二面角的正弦值，属于中

档题目.

(1)利用线面垂直的判定定理得出AB，平面PCD,进而得出AB1PC；

(2)建立空间直角坐标系求出面APC与面PC8的法向量，进而由公式得出cos〈元,沆〉，求出二面

角A-PC-B的正弦值即可.

12.答案：证明：(1)AC=BC,：.4cl=BG，

•••M为棱为当的中点，GM，&&.

•••CCi1平面ABC,BBJ/CC^,ABBi1平面ABC,即电1

平面A/iG，

又BB、u平面488遇],平面_L平面为当口，

又平面ABB1&n平面力iB1Ci=力道1，GMu平面4B1G，

C-iM1•平面ABB1公,

vB[Du平面ABB1公,

・•・CrM1当0；

解：(2)以C为原点，C4、CB、CCi所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,0,0),8(0,2,0),0(2,0,1),8式0,2,3),E(0,0,2),

=(0,-2,-1).DE=(-2,0,1),

设平面BiE。的法向量为万=(x,y,z),

则[工..=_2y_z=0,令z=2,得记=(1,_1,2),

(jin-DE=-2x+z=0

•••CCI1平面ABC,：.CC11AC,

•••AC1BC,CC'CBC=C,CC、、BCu平面

AC，平面8%,

平面BE%的一个法向量为记=(1,0,0),

.•.cos<—>m—*,n>=1^=V-6>

由图可知，平面/ED与平面SEB1所成角为锐角，

故二面角8-B[E-。的余弦值为

解析：(1)由CC]，平面ABC,可推出SB11平面&B1Q,进而得平面4BB1&_L平面乙当的，易知GM1

①勺，再由面面垂直的性质定理可证得QM_L平面4BB遇1，故C.M1B】D；

(2)以C为原点，以。、CB、CCi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，写出4、B、D、

Bi、E的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量沅；可证得4C1平面BEBi，故平面BEB1的

一个法向量为元=(1,0,0),由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-BiE-D的余弦值.

本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质

定理、面面垂直的性质定理，以及利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学

生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13.答案：证明：若〃，/共面，设该平面为y,

vAEn,ncy,

・•・AGyf

又•.•两luy,.•.平面y经过点A和直线/,

平面y与a重合，

由于a与y重合，且muy,

••・平面经过直线”和小

m与〃是相交直线，

・•.y与0也重合，于是a与£重合，这就与条件平面a与平面£相交于直线机矛盾，

故假设不成立。/是异面直线.

解析：本题考查异面直线的判定，属于中档题.

利用反证法证明直线异面.

14.答案：【证明】••・在矩形44B1B中，E为A声1的中点，

:.441与BE不平行，

则441，BE的延长线相交于一点，设此点为G,

G&AA^>GGBE.

又AAiu平面ACC14,BEu平面BEF,

Ge平面4CG4，Ge¥ffiBEF,

••・平面4CG①与平面BEF相交.

解析：

本题考查平面的基本性质及应用，属于一般题.

根据两平面相交的性质证明即可.

15.答案：解：（I）证明：取。为原点，D4所在直线为x轴，QE所在直线为z轴建立空间直角坐标

系，

如图所示：

则4(1,0,0),8(1,2,0),

E(0,0,g)，F(-l,2,V3).

BE=(-1,-2,V3)-AB=(0,2,0),

设平面ABE的法向量为五=(%,>',z),

(-X—2y+V3z=0

"k2y=0J

y=0,令Z=l,则％=V5，

•・・平面ABE的法向量为记=(V3,0,1),

又丽^(-1,2,V3)，

.-.DFn=-V3+0+V3=0>

:.OF1n>

又...DFC平面ABE,

•••〃平面ABE；

(H)vBF=(-1，-2,V3).BF=(-2,0,回

设平面BEF的法向量为记=(a力，c),

.(—a-2b+V3c=0

I—2a+V3c=0

令c=4,则a=2A/3，b=V3>

则平面8EF的法向量为沅=(2>/3,V3,4).

设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为仇

c1mn.105>/31

•,・处。=|而而|=年=寸

平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是鬻；

(UI)设丽=2加=X(-l,2,V3)

=(-A,2A,V3A)>AG[0,1],

P(-A,2A,V31)，BP=(-A-1,24-2,V3A).

又平面ABE的法向量为五=(V3,0,1),

设直线BP与平面ABE所成角为a,

•-sina=|cos<BP，n>\=

_|一(一；1-1)+6；l|_V3

J(-A-l)2+(2A-2)2+(V3A)2X24，

化简得8"—6A+1=0,

解得;I=Eu=~

当，=9时,BP=(-1,-l,y)，

A1BPI=2;

当，=凯寸,肝=(一|,-|卓，

.-.\BP\=2;

综上，I前I=2.

解析：本题主要考查利用向量方法解决立体几何的应用问题，考查利用空间向量判定线面平行关系

和利用空间向量求线面和面面的夹角，确定平面的法向量是解题的关键，属于难题.

(I)取。为原点，D4所在直线为x轴，QE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE的

法向量成与向量而，根据而•元=0证明而J.元，从而证明DF〃平面A8E；

(II)求平面BEF的法向量沅，再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；

(ID)设笳=2诙，Ae[O,l],求向量而与平面ABE的法向量记所成角的余弦值，列出方程解方程得;I

的值，从而求出|前|的值.

16.答案：(1)证明：-E,尸分别是BC,AC的中点，・•.EF〃4B,

由棱柱性质易得EF〃48i，

E,F,公，Bi四点共面，即直线为尸与BiE共面.

(2)解：如图，设CODE如=0,则ODi=平面4/花/0平面CQDiD,

过。作10D]于H,可得OH即为。到平面&B1EF的距离，

在RtAOOOi中，-AC=BC=1,AC1BC,

AB=V2，CD=—,则0。=—,又DDi=AA=1,

24r

则在RtAOO2中，0%=+。耳=Ji+；净

故DH=等"=1即0到平面4道止尸的距离为"

C

解析：本题考查两直线共面的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间

的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

(1)推导出E/7/4B,由棱柱性质得从而E/7/&B1，由此能证明直线4F与8出共面；

(2)如图，设C£)nEF=。，过。作DHd.0为于，，可得。，即为。到平面力道遂?的距离，从而根

据等也求解即可.

17.答案：证明：(1)在直三棱柱中，四边形/BCG是平行四边形，所以/CJ/BC.

在4ABe中，D,E分别为AB,AC的中点，故8C//DE,

所以BiCJ/DE.

又BiQu平面A、DE,DEu平面A、DE,

所以BiG〃平面4DE.

(2)如图，在平面内,过A作4F1&0于F.

因为平面&DE平面44BB1，平面&DEn平面=&。，AFu平面A[ABB、,

所以4F1平面4DE.

又DEc平面A\DE、所以4F1DE.

在直三棱柱ABC-AiBiG中，平面ABC,DEu平面ABC,所以4遇，DE.

因为4Fn414AFu平面A\ABB»A】Au平面A、ABB\,所以OE_1平面414881.

因为4Bu平面A、ABB\,所以DEJ.AB.

解析:

本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能

力以及逻辑推理能力.

(1)证明BiCJ/BC,推出BiCJ/OE,然后证明BiG〃平面40E.

(2)在平面内，过4作力Fl&D于凡证明AF_L平面4CE,推出2F1DE,证明441CE,

得到DE工平面44B&,即可证明DE1AB.

［易错警示］在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时一定

要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将给予扣分.高考阅卷对立体几何题证明的规范

性要求很高.要适度关注性质定理的使用，因为性质定理的使用往往涉及添置辅助线或辅助平面，

这无疑就增加了试题的难度.

18.答案：解：(I)证明：存在%的中点G满足条件，P

连接GE,GD,则GE是三角形PAB的中位线，

所以GE〃/1B,又由已知力B〃DC,

所以GE〃Z)C,所以G,E,C,。四点共面./二，/'\s

(H)取AB的中点M,连接CM,以点C为坐标原点，/______

以CM,CD,CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0),P(0,0,2),4(1,1,0),FCp-j.l),

所以石？=(1J，0),CP-(0,0,2),CE=C，-1,1),

设记=(Xi，yi，Zi)为平面P4C的法向量，

则沆-CA=x1+y1=0fm-CP=2z1=0，

得Zi=0,令=1,=-1,得记=(1,—1,0),

设记=(%2，丫2,22)平面ACE的法向量，

则元,CA=%2+丫2=°，几CE=­%25y2+Z2=0，

取%2=1，=—2、Z2=—1,即3=(1,—1,—1),

所以COS<而，元>=1X1+(T)1〉)+°X(T)=渔,

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又因为所求二面角为锐角，所以二面角P-A