高等数学教学设计导数

3.1导数概念单元教学设计

、教案头

单元教学学时4

单元标题：导数概念

在整体设计中的位置第15、16次

授课班级上课地点

实力目标学问目标素养目标

①能够变速直线运动速度、切线斜

率

教

学②能够抽象出导数概念导数概念①深刻思维实力

目

标

③能够利用导数概念计算导数左右导数②团结合作实力

④能够计算高阶导数计算导数③语言表达实力

⑤能够总结基本函数的导数运算公

式

任务1理解变速直线运动速度、切线斜率

任务2抽象导数概念

任务3简洁计算导数、高阶导数

实力

训

练任务4总结基本函数的导数运算公式

任

军

及

例案例1(电流强度模型)电流强度模型设在时间这段时间内通过

导线横截面的电流是Q=Q(f),利用导数概念分析电流强度

案例2(细杆的线密度模型)设一根质量非匀称分布的细杆放在x轴上,

在［0］上的质量是x的函数(x),求杆上点x0处的线密度

高等数学教材侯风波主编高等教化出版社

高等数学习题集张天德主编山东科技出版社

髓

高等数学应用205例李心灿主编高等教化出版社

经济数学基础顾静相主编高等教化出版社

二、教学设计

教学教学学生时间

步骤教学内容

方法手段活动安排

1本单元学习目标：

(告瞬时速度，切线斜率陈述板书识记5分钟

知)导数概念，高阶导数

(1)瞬时速度

设一个物体的路程和时间的函数是(t),试探

讨在时刻时的瞬时速度

a)=思芳+；尸⑴

A/WAf学生

(2)切线斜率

2老师仔细

函数(X)在X。处的切线斜率老师

(引入画图听讲50分钟

..f(x+Ax)-/(x)提示

tan«=lim0-------''

任务1)加以Ax讲解分组

研讨

Mx

A

----N-

XQXO+AX

老师

3导数

启发^市生

（任务通过任务2,抽象出随意函数(x)在/的导数概板书50分钟

讲解研讨

2）念

留意

ra)=lim四包幽两个

Ax->oAr

二11m小匕3定义

Xf%X-Xo

公式

f：M=Inn.…)7(x)

右导数：广

=11m，(—

I%'X-Xo

〃X0)=Hm也性士巡

-4-^rziy^rAr->0A%

左导数：rxr、

=lim/((—(°)

XT汇x-xo

例求>=/在2处的导数

例求丁=sinx在/处的导数

例求y=cosx在％处的导数

例设/(x)=x(x+l)(x+2)(x+3)…(x+〃),求J"(0)

例设/(尤)=。加(犬)，其中(p[x)在X=4处连

续，求尸⑷

例设函数f(x)在x=a处可导，且

lim---------------,求/”(a)

高阶导数

在一阶导数的基础上再求导就是二阶导数

老师

4

在二阶导数的基础上再求导就是三阶导数师生

启发

（任务板书40分钟

以此类推研讨

讲解

3）

一阶导数记作：

二阶导数记作：

三阶导数记作：

n阶导数记作：

例计算y=d的二阶导数

例计算y=sinx的二阶导数

例计算y=cosx的二阶导数

总结基本初等函数的导数运算公式

(1)(。'=0(2)(x")'='a"T

⑶

⑷(cos%)'=—sinx

(sin九)'=cos%

⑸(6)

22

5(tanx\=secx(cotx)'=-escx学生

(任务(7)(8)探讨30分钟

4)(secx)'=seextanx(esex)'=-cscxcotx总结

(9)

(10)(")'="

(ax)r=axk\a

(11)(12),

(⑶(14)

(15)(16)

案例应用学生

5

案例1电流强度模型设在时间。t。］这段分组学生

（案35分钟

时间内通过导线横截面的电流是Q=Q⑺，利自主探讨

例）

用导数概念分析电流强度学习

案例2细杆的线密度模型设一根质量非匀法

称分布的细杆放在x轴上，在［0］上的质量是x

的函数（X）,求杆上点X。处的线密度

作业默写基本初等函数导数公式

课后

体会

3.2求导法则单元教学设计

一、教案头

单元教学学时8

单元标题：求导法则

在整体设计中的位置第17-20次

授课班级上课地点

实力目标学问目标素养目标

①能够驾驭导数的四则运算并运用

②能够驾驭复合函数求导数法则并

①深刻思维实力

教学

目标运用

导数运算法则6条②团结合作实力

③能够驾驭反函数求导法则并运用

③语言表达实力

④能够驾驭隐函数求导法则并运用

⑤能够驾驭对数求导法则并运用

⑥能够驾驭参数方程求导法则并运

用

任务1导数的四则运算

任务2复合函数求导数法则

任务3反函数求导法则

任务4隐函数求导法则

任务5对数求导法则

任务6参数方程求导法则

实力

训练案例1，求尸（x）,f"（x）

务

任

及案

例案例2（注水问题）若水以2立方米/分的速度灌入一个高为10米的、

底面半径是5米的圆锥形水槽中，问当水深为6米时，水位的上升速度是

多少？

r

案例3求方程""cos""%）所确定的一阶导数半的值，再求二阶

y=csintax

导数宗

案例4求由方程x+yd'+e>=（）确定的隐函数的导数

高等数学教材侯风波主编高等教化出版社

高等数学习题集张天德主编山东科技出版社

髓

高等数学应用205例李心灿主编高等教化出版社

经济数学基础顾静相主编高等教化出版社

二、教学设计

教学方时间

步骤教学内容教学手段学生活动

法安排

本单元学习目标：

导数的四则运算

1复合函数求导数法则

（告反函数求导法则陈述板书识记10分钟

知）隐函数求导法则

对数求导法则

参数方程求导法则

导数的四则运算

(1)学生阅读教材47页内容

(2)学生总结导数如何四则运算

(3)(M(X)±v(x))=M(x)±M(x)

(w(x)v(x))=+u(x)v\x)

2学生仔细

老师讲

(M(X)|_/(X)U(X)-〃(九)U'(X)

（引入lv(x)JV2(x)老师提示听讲45分钟

解

任务1）分组研讨

例y=2x3+¥+1,求y

例y=xex+2x,求y

例y=\ogax9求学

ax

x

例y=esmx9求◎

dx

例y=Vxcos4x+41nx+siny,

求V

复合函数求导数

(1)学生阅读49页内容总结如何

求复合函数的导数

(2)设y=/[^(x)J,则分解成

y=f(u),u=(p(x)o所以y；=u'x

3(3)例y=sinVx,求了

老师启

（任务例y=yla2-x2,求V板书师生研讨45分钟

发讲解

2）例，求y'

例y=sinInJ2*+1,求y'

例假设气体以100立方厘米/秒的

速度注入气球，假定气体的压力不

变，那么当半径是10厘米时，气

球半径增加的速率是多少？

反函数求导

(1)学生阅读52-53页，总结反

函数求导的方法

4

老师启

(2)

（任务板书师生研讨45分钟

发讲解

例依据x=log“y的导数，求y=a”

3）

的导数

例依据x=siny的导数求

y=arcsinx的导数

例y=arctanx,求y，

例y=arcsin4,求y'

隐函数求导法

(1)学生阅读55页内容总结隐函

数求导法则

(2)方程两侧对x求导，遇到含

有y的项，先对y求导，再对x求

到，这样得到一个含有y的式子，

求出V即可

5学生分

（任务例求由方程孙-e，+e，=O确定的组自主老师提示学生探讨45分钟

4）隐函数的导数y学习法

例设曲线3y2=/(x+l),求在(2,2)

处的切线斜率和切线方程

例求由方程sinx+siny-肛=2确定

的隐函数的导数y。

例求由方程确定的隐函数的导数

dy

dx

6对数求导法则学生分

老师提示学生探讨45分钟

(任务(1)学生阅读56页内容总结对数组自主

5）求导法则学习法

(2)对数求导事实上是把一些通

过乘除乘方开方构成的困难函数

转化成隐函数，然后再运用隐函数

求导法则求出导数

例y=(X-1)V(3X+1)2(X-2),求了

例求y

例y=xv，,求y

例，求.

dx

参数方程求导

(1)学生阅读57页总结参数方程

求导法

7学生分

(2)设参数方程

（任务组自主老师提示学生探讨45分钟

则

6）学习法

例设参数方程，求y

例设1=必-疝。(0金42%),求

y=Q(1-COS/)

y

案例应用

8学生自

案例1，求『(X),f"(x)

(案行探讨50分钟

案例2若水以2立方米/分的速度

例)解决

灌入一个高为10米的、底面半径

是5米的圆锥形水槽中，问当水深

为6米时，水位的上升速度是多

少？

案例3求方程

A=",°"（0«y24）所确定的一阶

[y=hsint

导数电的值，再求二阶导数会

dxdx~

案例4求由方程九+六/1+/=o

确定的隐函数的导数

作业59页123456

课后

体会

3.3微分单元教学设计

、教案头

单元标题：微分单元教学学时4

在整体设计中的位置第21、22次

授课班级上课地点

实力目标学问目标素养目标

①能够驾驭微分的概念

教

学微分概念①深刻思维实力

目

标②能够驾驭微分和导数的关系及公

微分公式②团结合作实力

式表达

微分近似计算公式③语言表达实力

③微分在近似计算公式中的应用

任务1微分的概念及公式表达

任务2微分的近似计算

实力案例1（机械零件加工）有一个球体机械加工零件，要使他的体积从9

训

练

任

军

及72X立方厘米增加到973n立方厘米，试估计其半径的增加了月多少？

例

案例2（机械零件近似）有一个机械零件长是病，现在要加工边长，

但是不知道将详细近似值，请计算出来。

案例3求y=（3x-a°°的微分。并计算/（2）的近似值

高等数学教材侯风波主编高等教化出版社

高等数学习题集张天德主编山东科技出版社

蒲

高等数学应用205例李心灿主编高等教化出版社

经济数学基础顾静相主编高等教化出版社

二、教学设计

教学教学手学生时间

步骤教学内容

方法段活动安排

本单元学习目标：

1

驾驭微分的概念

(告陈述板书识记5分钟

驾驭微分和导数的关系及公式表达

知)

微分在近似计算公式中的应用

微分概念

(1)学生阅读60-61页资料，理解微分的含

义

(2)所谓的微分，就是随着自变量的变更量

Ax,函数值的该变量Ay。4y=r(x)Ar,也即

学生

dy=f\x)dx

2仔细

例计算下列函数的微分老师老师提

(引入听讲40分钟

(1)y=x8+6x2+1讲解示

任务1)分组

(2)y=e*+2sinx

研讨

(3)=siny[x

(4)x2+xy-siny=0

例y-arctan%,求

例y=arcsinVx，求

微分和导数比较：

导致公式敏分公式

(teni),=!ee,rd(aax)=s«Jj(k

(cotr)'="OcLtKco<J)--慎'血

(sw力’:《crunxr)=«ec.r!»nrAr

(cscx)=-<3ircaJdi.c5cz)=-cscrnjdx

年)'"飞。W)"-他

")=3

岫3=总工

(bix)，r—d(!nx)3y<L

i

(gr=Ud!sitsn.r)-yJs-jjdr

/T7

(yca»?-^Jfcsrd(arcct»i)=-/Lqir

(MCIM1"Jd(axunJ-'*jy-ydz

(uaotxY~~~1(Hmxx)5一广即

----------------------------------------------

微分的近似计算

学生总结近似计算

(1)首先要搞清晰设计的关系式，自变量和

因变量

⑵Ay=/"(%)Ax

/(x)«/U)+/，Uo)(-v-^o)

o老师

3

例假设一机械正方形薄片，边长是X厘米，Wlj生