高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练55　几何概型

课时规范练55几何概型基础巩固组1.(2021山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度,规定每天8:30上班,有15分钟的有效刷卡时间(即8:15~8:30),一名职工在7:50到8:30之间到单位且到达单位的时刻是随机的,则他能正常刷卡上班的概率是()A.23 B.58 C.13 答案:D解析:一名职工在7:50到8:30之间到单位,刷卡时间长度为40分钟,但有效刷卡时间是15分钟,所以该职工能正常刷卡上班的概率P=1540=382.已知α∈[0,π],则满足sinα<cosα的概率为()A.14 B.13 C.12 答案:A解析:∵α∈[0,π],sinα<cosα,∴0≤α<π4,∴满足sinα<cosα的概率为P=π3.(2021福建龙岩质检)在区间-π2,π2上随机取一个实数x,使cosxA.34 B.23 C.12 答案:B解析:不等式cosx≥12在区间-π2,π2上的解为-π3≤x≤π3,故4.在一次试验中,向如图所示的正方形ABCD中随机撒一大把豆子,图中半圆的直径分别为AB,BC.经过统计,发现落在正方形ABCD中的豆子有N粒,其中有m(m<N)粒豆子落在阴影区域内,以此估计mN的值为(A.π-28 C.π-18 答案:A解析:设正方形ABCD的边长为2,则正方形ABCD的面积等于4.因为阴影部分的面积等于2×14π×12-12×1×1=π-22,所以mN5.(2021河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)=sinx+3cosx,当x∈[0,π]时,f(x)≥1的概率为()A.13 B.14 C.15 答案:D解析:由f(x)=2sinx+π3≥1,x∈[0,π]得x∈0,π2,∴所求概率P=π2π=12,6.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3答案:A解析:设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24−127.(2021山西孝义模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(1,0)和圆O:x2+y2=1,在圆O上任取一点Q,连接PQ,则直线PQ的斜率大于-3的概率是()A.16 B.13 C.23 答案:D解析:如图:当直线PM的斜率为-3时,倾斜角为120°,∠POM=60°,当点Q在优弧PM(不含端点)上时,直线PQ的斜率大于-3,优弧PM的长度为2π-π3×1=5π3,圆的周长为2π×1=2π,根据几何概型的概率公式可得所求概率为5π328.在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB≥4π2的概率为答案:1-π解析:在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2π为边长的正方形内及正方形的边上,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB=4a2+4b2.因为OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,点(a,b)在以原点为圆心,以π为半径的圆外及圆上,且在以2π为边长的正方形内及正方形的边上,所以OA·OB≥4π2的概率为P=综合提升组9.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b∈[0,6]时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为()A.23 B.22 C.12 答案:A解析:圆C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.所以当b∈(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-10.设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πC.14−12答案:C解析:∵|z|=(x-1)2+y2≤1,∴(x-1)2+y2≤1,其几何意义表示为以(1,0)为圆心,1为半径的圆面,如图所示,而y≥x所表示的区域如图中阴影部分11.(2021河南商丘、周口、驻马店联考)如图,AC,BD分别是大圆O的两条相互垂直的直径,4个小圆的直径分别为OA,OB,OC,OD,若向大圆内部随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为()A.π4 B.C.1π D.答案:D解析:不妨设大圆的半径为2,则大圆的面积为4π,小圆的半径为1,如图,设图中阴影部分面积为S,由图形的对称性知,题图中的阴影面积S阴影=8S.又S=12π×12-14π×12-12×12×2=1,则所求概率为84π=12.记[m]表示不超过m的最大整数.若在x∈18,12上随机取1个实数,则使得[log2x答案:2解析:若x∈18,12,则log2x∈(-3,-1).要使得[log2x]为偶数,则log2x∈[-2,-1).所以x∈14创新应用组13.在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率;(2)在△ABC的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.解:(1)在等腰直角三角形ABC中,设AC长为1,则AB长为2,在AB上取点C',使AC'=1,若点M在线段AC'上,则满足AM<AC.∵AC'=1,AB=2,∴AM<AC的概率为P1=AC'