(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题07空间线段点的存在性问题难点专练(原卷版+解析)

专题07空间线段点的存在性问题难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是（）A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD2．如图，正方体的棱长为，为的中点，在侧面上，若，则面积的最小值为（）A． B． C． D．3．已知长方体中，，点在线段上，平面过线段的中点以及点、，现有如下说法：（1），使得；（2）若，则平面截长方体所得截面为平行四边形；（3）若，，则平面截长方体所得截面的面积为以上说法正确的个数为（）A． B． C． D．4．如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，E是的中点，F是上一点，当时，（）A．3 B． C． D．25．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足的点P的个数为（）A．6 B．8 C．12 D．246．在正三棱柱中，，点满足，则（）A．存在点使得B．存在点使得C．存在点使得D．存在点使得二、填空题7．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为_______.8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为_____.

9．正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，为的中点．、分别是、上的动点（含端点），且满足．当运动时，下列结论中正确的是______(填上所有正确命题的序号)．①平面平面；②三棱锥的体积为定值；③可能为直角三角形；④平面与平面所成的锐二面角范围为．10．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是__________________．11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则以下说法错误的是_______（写序号）①N为上一点，则平面与平面所成二面角的大小与点N位置无关；②存在上一点P，使得平面；③三棱锥和体积相等；④上存在一点M，使得12．在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：①点P可以是棱的中点；②线段MP的最大值为；③点P的轨迹是正方形；④点P轨迹的长度为．其中所有正确说法的序号是________．13．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则______．14．如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得；②的面积越来越小；③四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是_____________.三、解答题15．如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，、分别是、的中点.(1)证明：平面；(2)若直线上平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在，求出点的所有可能位置；若不存在，请说明理由.16．如图，在直三棱柱中，，，，.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角为，若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.17．在正方体中，是棱的中点.（1）求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，指明的位置并证明，若不存在，请说明理由.18．如图，正方体，的棱长为2，点为的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）作出过，，三点的平面截正方体所得的截面，并求截面与侧面所成的锐二面角的大小；（3）点为的中点，动点在底面正方形（包括边界）内，若平面，求线段长度的取值范围．19．如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，且．（1）若，直线与所成的角为，求二面角的大小；（2）若E为线段上一点，试确定点E的位置，使得平面平面，并说明理由．20．在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.(1)求证：平面BCDE；(2)求CM与平面所成角的大小；(3)在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.专题07空间线段点的存在性问题难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是（）A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD【标准答案】D【思路指引】以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可【详解详析】以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，则=(1，0，1)，，.设平面A1BD的一个法向量为，则取，则x=2，y=1，所以平面A1BD的一个法向量为.假设DQ⊥平面A1BD，且=λ，则.因为也是平面A1BD的一个法向量，所以与共线，则成立，所以但此关于λ的方程组无解.故不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD.故选：D.【名师指路】此题考查了利用空间向量判断线面垂直的方法，属于中档题.2．如图，正方体的棱长为，为的中点，在侧面上，若，则面积的最小值为（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】作平面，，以为原点建立空间直角坐标系，设，由可得，由此得到关系；从而利用表示出，即的高，利用表示出的面积，利用二次函数最值求得面积的最值.【详解详析】过作平面，垂足为；作于点，连接以为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系则，，，，，设，则，，当时，故选：【名师指路】本题考查立体几何中三角形面积最值的求解问题，关键是能够将所求三角形面积利用一个变量表示出来，得到二次函数的形式，利用二次函数的最值求得面积的最值.3．已知长方体中，，点在线段上，平面过线段的中点以及点、，现有如下说法：（1），使得；（2）若，则平面截长方体所得截面为平行四边形；（3）若，，则平面截长方体所得截面的面积为以上说法正确的个数为（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，由得出求出的值，可判断（1）的正误；确定截面与各棱的交点位置，结合平行四边形的判断方法可判断（2）的正误；计算出截面面积可判断（3）的正误.【详解详析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、，，，若，则，解得，（1）正确；对于（2），在棱找点，由面面平行的性质可知，设点，，，因为，可设，则，则，则，当时，，此时点在棱上，且有，故四边形为平行四边形，（2）正确；对于（3），设截面交棱于点，连接、，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，由图可知，，则，故，所以，点为的中点，则、、、，可求得，，，，取的中点，连接，则，且，，，故，故，所以，截面面积为，（3）正确.故选：D.【名师指路】方法点睛：确定截面形状，一般要结合线面平行、面面平行的性质以及空间向量法确定各交点的位置，也可采用补形法等手段扩展截面，进而确定截面的形状.4．如图，平面平面是等边三角形，四边形是矩形，且，E是的中点，F是上一点，当时，（）A．3 B． C． D．2【标准答案】C【思路指引】分别取的中点O，G，连接，以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，，则其数量积为零，得出答案.【详解详析】分别取的中点O，G，连接，以O为坐标原点，的方向别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则．设，则．因为，所以，解得，所以．故选:C5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点（含顶点），则满足的点P的个数为（）A．6 B．8 C．12 D．24【标准答案】C【思路指引】建立空间直角坐标系，则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为，则由题意可得，，计算即可得出结论．【详解详析】如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为，则由题意可得，．∴故即∵点P是棱上一点（含顶点），∴与正方形A1B1C1D1切于4个点，即上底面每条棱的中点即为所求点；同理P在右侧面的棱上，也有4个点，设点，即与正方形切于个点，即右侧面每条棱的中点即为所求点；同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点的个数有个.故选：C．【名师指路】本题主要考察向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．6．在正三棱柱中，，点满足，则（）A．存在点使得B．存在点使得C．存在点使得D．存在点使得【标准答案】A【思路指引】通过题干条件可得：P点一定在线段上运动，即一定在平面上，所以找到选项中的目标线段的特点，只有A选项中A1C中含有的A1点能够使得A1D（D为B1C1的中点）垂直平面BCC1B1.【详解详析】因为，由平面向量基本定理可得：P点一定在线段上，所以取的中点D，连接，过B作交CD于点H，交于点P，因为⊥，⊥，，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，所以⊥平面，因为平面，所以，其余均不可能．故选：A二、填空题7．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为_______.【标准答案】（0，1，1）以DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据∠ABM＝60°，利用空间向量的数量积可得，从而求出，再由向量的坐标表示即可求解.【详解详析】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，∴DA，DC，DS两两垂直，如图以D为原点，以DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.则D（0，0，0），B（，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），＝（0，﹣2，0）.＝（0，﹣2，2）.，设＝＝（0，﹣2λ，2λ），＝＝（﹣，﹣2λ，2λ）.∠ABM＝60°，可得：cos60°＝＝＝，解得λ＝，＝（0，﹣1，1），＝（0，1，1），M（0，1，1）.故答案为：（0，1，1）.8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为_____.

【标准答案】.【思路指引】由题意可建立分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，设出点P的坐标，然后利用空间向量基本定理可得=λ+μ，从而可求出P的坐标，进而可得AP的长【详解详析】解：如图，建立分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系.设AB=a，P(0，0，b)，则A(0，0，0)，B1(a，0，1)，D(0，1，0)，E.于是=(a，0，1)，=(0，-1，b).∵DP∥平面B1AE，∴存在实数λ，μ，使=λ+μ，即(0，-1，b)=λ(a，0，1)+μ=.∴∴b=λ=，即AP=.故答案为：【名师指路】此题考查在空间几何体中确定点的位置，利用了空间向量基本定量，属于中档题.9．正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，为的中点．、分别是、上的动点（含端点），且满足．当运动时，下列结论中正确的是______(填上所有正确命题的序号)．①平面平面；②三棱锥的体积为定值；③可能为直角三角形；④平面与平面所成的锐二面角范围为．【标准答案】①②④【思路指引】由，得到线段一定过正方形的中心，由平面，可得平面平面；由的面积不变，到平面的距离不变，可得三棱锥的体积为定值；利用反证法思想说明不可能为直角三角形；平面与平面平行时所成角为0，当与重合，与重合，平面与平面所成的锐二面角最大.【详解详析】如图：当、分别是、上的动点（含端点），且满足，则线段一定过正方形的中心，而平面，平面，可得平面平面，故①正确；当、分别是、上的动点（含端点），过点作边上的高的长等于的长，所以的面积不变，由于平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离，则点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；所以②正确；由可得:,若为直角三角形，则一定是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时，的长都大于，故不可能为直角三角形，所以③不正确；当、分别是、的中点，平面与平面平行，所成角为0；当与重合，与重合，平面与平面所成锐二面角最大；延长角于，连接，则平面平面，由于为的中点，，所以，且，故在中，为中点，为中点，在中，为中点，为中点，故，由于平面，所以平面，则，，所以平面与平面所成锐二面角最大为，故④正确；故答案为①②④【名师指路】本题考查命题的真假判断与应用，考查棱柱的结构特征，考查学生空间想象能力和思维能力，属于中档题.10．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是__________________．【标准答案】【思路指引】建立空间直角坐标系，表示所需点的坐标，求出平面D1EF的一个法向量，结合线面平行的向量表示可得动点M的坐标满足的条件，即可得解.【详解详析】因为ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），因为，所以F是CC1四等分点（靠近C），所以F（0,2,1），所以，设平面D1EF的一个法向量为，则，即，令c＝2，则，故，又，平面D1EF，所以，即，所以，所以，故，因为0≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，因为，所以|MD|在上单调递减，所以当x＝时，|MD|取最大值，所以|MD|的最大值为，当x＝2时，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值为，所以|MD|的取值范围是．故答案为：.11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则以下说法错误的是_______（写序号）①N为上一点，则平面与平面所成二面角的大小与点N位置无关；②存在上一点P，使得平面；③三棱锥和体积相等；④上存在一点M，使得【标准答案】②【思路指引】根据正方体的结构特征，①由平面与平面所成二面角为定角即可判断正误；②分析法知要使平面，则有面面得到矛盾结论；③由、，应用棱锥的体积公式求体积即可判断正误；④分析法要使只需找到时，M的位置即可.【详解详析】①由题设，平面与平面所成二面角即为平面与平面所成二面角，故与N位置无关，正确；②如下图，要使平面，即平面，而面，所以有面面，显然上述两面不垂直，故错误；③若正方体的棱长为a，如下图，，，又，，∴，，故体积相等，正确；④在面的射影为，故只要存在即可，当则△△，易知此时，故正确.故答案为：②12．在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：①点P可以是棱的中点；②线段MP的最大值为；③点P的轨迹是正方形；④点P轨迹的长度为．其中所有正确说法的序号是________．【标准答案】②④【思路指引】以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点P不可能是棱的中点，从而判断选项①，又，，可判断选项③和选项④．【详解详析】解：在正方体中，以D为坐标原点，为x轴，y轴，∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，∴，，，，∴，设，则，∵，∴，即当时，，当时，，取，，，，连结EF，FG，，HE，则，，∴四边形EFGH为矩形，则，，即，，又和为平面中的两条相交直线，∴平面EFGH，又，，∴M为EG的中点，则平面EFGH，为使，必有点平面EFGH，又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，因此点P不可能是棱的中点，故选项①错误；又，，∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，故选项③错误，选项④正确；∵，，又，则，即，∴，点在正方体表面运动，则，解，∴，故当或，或1，MP取得最大值为，故②正确.故答案为：②④．13．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，则______．【标准答案】【思路指引】建立空间直角坐标系，设，由与共线，可得，进而结合空间两点的距离公式表示出，然后利用函数的性质求出最值即可.【详解详析】设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点，，，则，设，，由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，，所以，所以，即是动点到直线的距离，由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点．故答案为：.14．如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得；②的面积越来越小；③四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是_____________.【标准答案】①②③【思路指引】建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出（），选项①，列出方程，求出m的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而得到答案；③把作为底，高为点P到上底面的距离，可以判断四面体的体积不变.【详解详析】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，设（），则，，令，解得：，存在点P，使得，①正确；，，，，设点P到直线距离为，则所以，因为，动点沿着棱DC从点D向点C移动，即从0逐渐变到2，随着的变大，变小，的面积越来越小，②正确；以为底，高为点P到上底面的距离，因为∥底面，所以h不变，所以四面体的体积不变，③正确.故答案为：①②③三、解答题15．如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，、分别是、的中点.(1)证明：平面；(2)若直线上平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在，求出点的所有可能位置；若不存在，请说明理由.【标准答案】(1)证明见解析；(2)存在，点与点重合.【思路指引】（1）证明出，利用面面垂直的性质可证得结论成立；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内，分析可知，设点，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论.(1)证明：因为为圆的一条直径，且是圆上异于、的点，故，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.(2)解：存在，理由如下：如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内，则，，，，，，由直线平面且过点，以及平面，得，设，则，，，设平面的法向量为，则则，即，取，得，易知平面的法向量，设直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，则，，由，得，即，解得，所以当点与点重合时，直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等.16．如图，在直三棱柱中，，，，.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角为，若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.【标准答案】（1）证明见解析；（2）存在，【思路指引】（1）易得，同时由直三棱柱的性质可得平面平面，又，所以平面，得，故可得平面；（2）分别以，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，，由空间向量法可得的值.【详解详析】（1）由已知可得四边形为正方形，所以，因为几何体是直三棱柱，所以平面平面，又，所以平面，得，因为，所以平面，（2）如图，由已知，，两两垂直，分别以，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，设，则，所以，，设平面的一个法向量为，则，，取，得，平面的一个法向量为.所以解得，因为，所以，所以线段上存在点，且，使得平面与平面所成的锐二面角为.【名师指路】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理及二面角的求法，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.17．在正方体中，是棱的中点.（1）求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，指明的位置并证明，若不存在，请说明理由.【标准答案】（1）；（2）存在，是棱的中点.【思路指引】（1）设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，由此可求得结果；（2）设点，计算出平面的一个法向量为，分析可得，求出实数的值，即可得出结论.【详解详析】（1）设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，，易知，平面的一个法向量为，因为，因此，直线与平面所成角的大小为；（2）易知点、、、，则，，设平面的法向量为，由，可得，取，可得，设点，则，因为平面，则，解得，此时，.因此，当点为的中点时，平面.18．如图，正方体，的棱长为2，点为的中点．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）作出过，，三点的平面截正方体所得的截面，并求截面与侧面所成的锐二面角的大小；（3）点为的中点，动点在底面正方形（包括边界）内，若平面，求线段长度的取值范围．【标准答案】（1）；（2）作图见解析；；（3）．【思路指引】（1）如图以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）利用空间向量求出平面的法向量和侧面的法向量，利用空间向量求解，或取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接，，可证得为面与侧面所成的锐二面角，然后在中求解即可，（3）设，则，由平面，可得，求出的关系，再用距离公式可表示出，结合的范围可得结果【详解详析】解：以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，（1），，设平面的法向量，直线与平面所成角为则，取∴∴