(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题02空间向量基本定理易错点专练(原卷版+解析)

专题02空间向量基本定理易错点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（）A．1 B． C．2 D．2．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（）A． B． C． D．3．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．6π B．10π C．8π D．12π5．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（）A． B． C．a2 D．a26．已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（）A． B．1 C． D．27．下列命题中正确的个数是（）．①若与共线，与共线，则与共线．②向量，，共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．A．0 B．1 C．2 D．38．如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则（）A． B．C． D．9．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（）A． B． C．2 D．10．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）A． B． C． D．二、填空题11．在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量＝________.12．在空间四边形ABCD中，，，则________.13．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则________，________，________.14．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．15．在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若=a，=b，=c，则=____________16．已知正方体的棱长为，给出下列四个命题：①；②；③点到面的距离为；④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则的取值范围是其中正确结论的序号是___________．17．已知关于向量的命题，（1）是，共线的充分不必要条件；（2）若，则存在唯一的实数，使；（3），，则；（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；（5）．在以上命题中，所有正确命题的序号是________．18．如图，在平行六面体中，，，，，AC与BD相交于点O，则______．19．下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则②若非零向量，，满足，，，则有③是，共线的充分不必要条件④若，共线，则20．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）三、解答题21．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值．22．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．(1)用，，表示，；(2)设的重心为G，用，，表示；(3)当时，求a的取值范围．23．1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，(1)若，，，求；(2)试用向量，，表示．24．已知是平行六面体．(1)化简，并在图中标出其结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的，，值．25．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，.(1)试用、、表示；(2)求的长度.专题02空间向量基本定理易错点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（）A．1 B． C．2 D．【标准答案】B【思路指引】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.【详解详析】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，则，又，，，则，，因此，.故选：B2．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.【详解详析】依题意，，因为为等边三角形，，，，，所以，，，，所以，.故选：D.3．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】C【思路指引】借助长方体，结合题设向量间的线性关系，将它们转化到长方体中对应线段上，再判断各项向量组中的向量是否共面，即可确定是否可以作为基底.【详解详析】结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，故选：C.4．如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，若G是的中点，，，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．6π B．10π C．8π D．12π【标准答案】C【思路指引】利用已知结合数量积的运算求解，可得为直角三角形，再由为直角三角形，可知为三棱锥的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案．【详解详析】解：，，，又、、两两相互垂直，，即，，，，则为直角三角形，又为直角三角形，为三棱锥的外接球的直径，则三棱锥的外接球的表面积．故选：C．5．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（）A． B． C．a2 D．a2【标准答案】A【思路指引】利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.【详解详析】由题意，正四面体ABCD如图所示，因为E，F分别是BC，AD的中点，所以，，又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以，故(a2cos60°+a2cos60°)a2．故选：A．6．已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（）A． B．1 C． D．2【标准答案】A【思路指引】利用向量为基底表示，再根据数量积求解即可.【详解详析】解：如图，因为为中点，为中点所以，因为正四面体的棱长为，所以故选：A7．下列命题中正确的个数是（）．①若与共线，与共线，则与共线．②向量，，共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．A．0 B．1 C．2 D．3【标准答案】B【思路指引】举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．【详解详析】①当时，与不一定共线，故①错误；②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当，不共线且时，，，共面，故④错误．故选：B．8．如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则（）A． B．C． D．【标准答案】D【思路指引】由得，结合中点公式可得，由线性运算即可求解.【详解详析】由得；由点为线段的中点得，∴，故选：D9．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（）A． B． C．2 D．【标准答案】D【思路指引】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.【详解详析】以向量为基底向量，所以所以故选：D10．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】利用空间向量基本定理逐个判断各个选项即可．【详解详析】解：对于选项A：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项A错误，对于选项B：因为，所以，，共面，不能构成基底，故选项B错误，对于选项C：因为，，，共面，不能构成基底，故选项C错误，对于选项D：若，，共面，则，即，则，无解，所以，，不共面，可以构成空间的另一个基底，故选项D正确.故选：D．二、填空题11．在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量＝________.【标准答案】【思路指引】由空间向量的基本定理求解即可【详解详析】因为BG＝2GD，所以，又，所以故答案为：12．在空间四边形ABCD中，，，则________.【标准答案】【思路指引】利用向量的加法法则，及三点共线的推论即可得解.【详解详析】，，即又，三点共线，，解得故答案为：13．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则________，________，________.【标准答案】【思路指引】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解.【详解详析】取中点N，连接，又故答案为：，，14．正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．【标准答案】1【思路指引】根据给定条件用空间向量的一个基底表示与，再利用空间向量数量积及运算律计算作答.【详解详析】在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，，于是得，所以的值为1.故答案为：115．在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若=a，=b，=c，则=____________【标准答案】【思路指引】根据空间向量的加减法则得到，带入计算化简得到答案.【详解详析】.故答案为：.16．已知正方体的棱长为，给出下列四个命题：①；②；③点到面的距离为；④点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，则的取值范围是其中正确结论的序号是___________．【标准答案】①②④【思路指引】根据空间向量的线性运算结合正方体的结构特征即可判断①；根据空间向量基本定理及向量数量积的运算律即可判断②；求出三棱锥的体积，利用等体积法即可求出点到面的距离，从而判断③；证明，，可得平面，从而可得点的轨迹为线段，即可判断④.【详解详析】解：在正方体中，，故①正确；因为，则，故②正确；设点到面的距离为，则，，又，则，所以，所以，即点到面的距离为，故③错误；对于④，连接，在正方体中，平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以，同理，又，所以平面，又平面，所以，因为点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，所以点的轨迹为线段，所以的取值范围是，故④正确.故答案为：①②④.17．已知关于向量的命题，（1）是，共线的充分不必要条件；（2）若，则存在唯一的实数，使；（3），，则；（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；（5）．在以上命题中，所有正确命题的序号是________．【标准答案】（1）（4）【思路指引】根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．【详解详析】（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；（4）令，则，所以，无解，即，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；（5），即（5）错误．命题（1）（4）正确．故答案为：（1）（4）．18．如图，在平行六面体中，，，，，AC与BD相交于点O，则______．【标准答案】【思路指引】用向量法求解距离，将转换成模长和夹角已知的向量，根据向量平方等于模长的平方进行计算【详解详析】由图可得，，所以所以，故答案为：19．下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则②若非零向量，，满足，，，则有③是，共线的充分不必要条件④若，共线，则【标准答案】①③【思路指引】由空间向量基本定理可判断①；根据空间向量的位置关系可判断②；由向量的数量积以及充分条件和必要条件的定义可判断③；根据共线向量的定义可判断④，进而可得正确答案.【详解详析】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；对于②：若非零向量，，满足，，，则与不一定共线，故②不正确；对于③：由可得：，可得，即，所以，反向共线，故充分性成立，若，共线则，当时，不成立，故是，共线的充分不必要条件，故③正确；对于④：若，共线，则或与重合，故④不正确；所以正确的有①③，故答案为：①③.20．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）【标准答案】【思路指引】利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.【详解详析】，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，因AP＝3PN，，则，所以.故答案为：三、解答题21．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【标准答案】(1)；(2)【思路指引】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.(1)，因为，同理可得，所以(2)因为，所以，因为，所以．所以异面直线与所成角的余弦值为．22．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．(1)用，，表示，；(2)设的重心为G，用，，表示；(3)当时，求a的取值范围．【标准答案】(1)，(2)(3)【思路指引】（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；（2）利用