专题01 正数和负数（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

专题01正数和负数1.通过生活实例认识正数和负数；2.认识0的特殊性；3.会用正负数表示相反意义的量；4.会用正负数表示允许偏差及相关运算；5.本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。

题型探究题型1、正数、负数、零的概念辨析 3题型2、正数、负数的分类 5题型3、正负数表示相反意义的量 6题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 7题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 10题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 11培优精练A组（能力提升） 14B组（培优拓展） 18图1图2【思考1】同学们，图1中的“+”，“-”是什么意思？【思考2】同学们，图2中的“±”是什么意思？【思考3】同学们，0除了可以表示没有，还可以表示些什么呢？【课外阅读】负数的历史可以追溯到古代中国。据史料记载，早在两千多年前，中国就有了正负数的概念，并掌握了正负数的运算法则。在著名的中国古代数学著作《九章算术》中，首次正式引入了负数及其加减运算法则，并给出了名为“正负术”的算法。三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献，他首先给出了正负数的定义，还规定了区分正负数的方法，即使用不同颜色的算筹来表示正数和负数。负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。印度最早使用负数的是婆罗摩笈多，他在公元628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则。然而，在欧洲，由于负数难以被很快赋予现实意义，所以当时许多欧洲人都抵制负数的引入，让负数在欧洲的接受过程变得“寸步难行”。直到公元1545年，意大利数学家卡当写下了一本关于负数概念的《大法》，负数才正式开始在欧洲流传开来。到了公元1637年，法国数学家笛卡尔在几何学中沿用了负数的概念，使得负数能够直观全面地被解释开来。总的来说，负数是人类在数学领域的一项重要发明，它的出现极大地丰富了数学语言，使得人们能够更准确地描述和解决实际问题。1.正数与负数1）正数：像，，+50这样大于的数叫做正数，正数都大于。2）负数：像，，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数，负数都小于。3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号。正数前面的“”号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“”号不可省略。注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0。2.正数和负数的运用：1）“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。2）用正负数表示允许偏差。比如：红双喜的乒乓球产品参数中标注的直径是：40±0.05mm；这表示该乒乓球的标准直径为40mm，偏差为±0.05mm，这就是实际直径最大可以是（40+0.05）mm，最大可以是（40-0.05）mm，直径在这个范围内的乒乓球就是合格的。3.“0”的特殊性1）0既不是正数，也不是负数；2）0是正数与负数的分界；3）0是自然数；4）0的意义：0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；0有时是一个数，比如是一个确定的温度；0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。4.常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数。题型1、正数、负数、零的概念辨析【解题技巧】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。例1．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）中国人最早使用负数，在中国古代一部数学著作中首次正式引入负数及其加减法运算法则，这部数学著作是（

）A．《算法统宗》 B．《算学启蒙》 C．《九章算术》 D．《测圆海镜》例2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．一定是负数B．一个数不是正数就是负数C．0是负数D．在正数前面加“”号，就成了负数变式3.（2023·武汉市七年级期中）下列结论正确的是（）A．0既是.正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最小的整数D．0既不是正数也不是负数变式1．（2024·河南开封·二模）北京冬季里某一天的气温为，的含义是.变式2．（2023·重庆·七年级统考期中）下列语句中错误的有（）个①不带“-”号的数都是正数；②如果a是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度．A．1 B．2 C．3 D．4题型2、正数、负数的分类【解题技巧】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．例1．（23-24七年级上·新疆·期末）在，π，0，11，，3这六个数中，正数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2024·江苏常州·一模）下列实数中，负数是（

）A． B． C． D．2024变式1．（23-24七年级上·青海西宁·阶段练习），0，2，这四个数中是正数的是（

）A． B．0 C．2 D．变式2．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）下列各数是负数的是（

）A．0 B． C． D．题型3、正负数表示相反意义的量【解题技巧】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。例1．（2024·广东深圳·模拟预测）如果节约用电千瓦时记作千瓦时，那么浪费用电千瓦时可以记作（

）A．千瓦时 B．千瓦时 C．千瓦时 D．千瓦时例2．（23-24九年级下·吉林长春·期中）小慧和小谷玩猜字游戏，规则为：胜一次记作“”分，平局记作“0”分，负一次记作“”分．猜字两次后，小慧得分为分，则小谷此时的得分为（

）A． B． C． D．变式1．（2024·湖北荆门·模拟预测）随着智能手机的发展和普及，移动支付越来越盛行，很多人不再随身携带现金，扫二维码等移动支付手段成了许多人首选的支付方式．小明在妈妈微信零钱明细中看到收入180元被记作元，则元表示（

）A．收入40元 B．支出40元 C．收入140元 D．支出140元变式2．（23-24七年级上·山东德州·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果向东走10步记作步，那么向西走9步记作（

）A．步 B．步 C．步 D．步变式3．（2024·福建龙岩·一模）钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作．题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算【解题技巧】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。例1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：城市悉尼纽约时差/时当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（

）A．10月10日1时；10月9日10时B．10月10日1时；10月8日10时C．10月9日21时；10月9日10时D．10月9日21时；10月10日12时例2．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2022年12月16日气象预报截图，预报显示当天最高气温5℃，最低气温℃，这一天我市的温差是______℃．变式1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（

）城市东京北京多伦多纽约国际标准时间A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约变式2．（2023·广东七年级专题练习）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（

）城市时差/h纽约﹣13悉尼+2伦敦﹣8罗马﹣7A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差【解题技巧】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。例1．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期末）图纸上一个零件的标注为，这里的表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是，现有另一零件的标注为，这个标注中零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为：，，，，，，，则该零件的标准尺寸不可能是(

)A． B． C． D．例2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）某零食包装袋上标有如下文字：净含量以下容量中不符合标注的是（

）A．220g B．209g C．210g D．217g变式1．（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度：．变式2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）合格羽毛球的质量是克．下面是4个羽毛球的质量，（

）是合格的．（多选题）A． B． C． D．题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算【解题技巧】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。例1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（

）A．83分 B．85分 C．91分 D．92分例2．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米）(1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？(2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．变式1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（

）A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）武汉市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：与标准质量的差值（单位：克）0134袋数143453若标准质量为400克，则抽样检测的20袋食品的平均质量为（

）A．417 B．399.15 C．400.85 D．401变式3．（2023·浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：班级1班2班3班4班实际购书量（本）a32c22实际购书量与计划购书量的差值（本）b(1)直接写出___，___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．A组（能力提升）1．（2023·内蒙古通辽·七年级统考期中）下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“”号的数才是正数；（4）既不是正数也不是负数．其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个2．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：美国德国英国中国2．8%这一年上述四国中服务出口增长的国家是（

）A．美国 B．德国 C．英国 D．中国3．（2024·河北邯郸·二模）温度由变为，表示温度（

）A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了4．（2023·四川成都·模拟预测）下列各数中，是负数的是（

）A．5 B． C．0 D．5．（2024·广东肇庆·一模）如图，数轴上点表示向东走了，则点表示（

）A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走6．（23-24六年级下·黑龙江绥化·开学考试）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：，．这八位同学中达标的有（

）人．A．4 B．5 C．6 D．87．（23-24七年级上·浙江台州·期末）某品牌水笔笔管直径的合格范围是（单位：），下列笔管直径不符合要求的是（

）A． B． C． D．8．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）绵阳冬季某日的最高气温是3℃，最低气温为-1℃，那么当天的温差是__________℃．9．（2023·江苏七年级期中）举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如__________．10．（23-24七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为，若表示水面高于标准水位，则水面低于标准水位，可记为m．11．（23-24七年级上·江西南昌·期中）世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔记为“米”，表示高出海平面米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”，则“米”表示的意义为．12．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）悉尼、洛杉矶与北京的时差如下表：（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）当北京10月8日18时，想要与两地的亲人通话，适合的城市是．（填“悉尼”或“洛杉矶”）城市悉尼洛杉矶时差13．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负．星期一星期二星期三星期四星期五问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？B组（培优拓展）1．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．如图，以下检测结果中最接近标准质量的是（

）

A． B． C． D．2．（2023·江苏无锡·七年级校联考期中）日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例如：一只杯子的杯口“朝上”可记作“”，杯口“朝下”可记作“”．现在桌子上有11只杯口朝上的茶杯，如果每次翻转3只，能否经过若干次翻转使这11只杯子的杯口全部朝下？若能，至少经过多少次翻转能使这11只茶杯的杯口全部朝下？运用数学知识解决实际问题，你的答案是（）A．不能 B．能，4 C．能，5 D．能，63．（2024·七年级课时练习）我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”．下列算筹表示负数的是（

）．A． B． C． D．4．（2024·河北廊坊·二模）某运动项目比赛规定，胜一场记作“”分，平局记作“0分”，如果某队在一场比赛中得分记作“”分，则该队在这场比赛中（

）A．与对手打成平局 B．输给对手 C．赢得对手 D．无法确定5．（2024·云南·模拟预测）已知一个乒乓球的标准质量为，把质量为的乒乓球记为，则质量为的