第13讲 一元二次方程的根与系数的关系（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第13讲一元二次方程的根与系数的关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．熟记一元二次方程的根与系数的关系；2．掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用；知识点一.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.知识点二.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．要点：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．考点一：利用一元二次方程根与系数的关系求值例1．（2024·湖南岳阳·二模）已知关于x的一元二次方程两个根，则．【变式1-1】（2024·江西吉安·一模）已知方程的两个根分别为，，则的值为．【变式1-2】（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为．【变式1-3】（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则．考点二：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值例2.（2024·湖南长沙·三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为．【变式2-1】（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则．【变式2-2】（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则.【变式2-3】（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是．考点三：利用一元二次方程根与系数的关系求参数例3.（2024·山东临沂·二模）关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为．【变式3-1】（2024·四川广元·二模）已知关于x的一元二次方程，若方程的两个实数根为、，且，则m的值为．【变式3-2】（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为.【变式3-3】（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则．考点四：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假例4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（

）①若方程的两个根是和2，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【变式4-1】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程有以下命题：①若，则

②若方程的两根为和，则③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；④若是该方程的一个根，则一定是的一个根．其中真命题的个数（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式4-2】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为；②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根；③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，；④若c是方程的一个根，则一定有；⑤若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤【变式4-3】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：．①已知，则，；②若关于的方程有实数根，则且；③若实数、满足，，则．以上结论正确的个数有（

）个．A．0 B．1 C．2 D．3考点五：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小例5.（23-24九年级上·广东深圳·期中）已知，是关于的方程的两根，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．，【变式5-1】（23-24九年级下·湖南娄底·阶段练习）关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（

）A． B．1 C．3 D．9【变式5-2】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为．【变式5-3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）设方程有两个根和，且，那么方程的较大根的范围为（

）A． B． C． D．考点六：与一元二次方程根与系数有关的解答证明题例6.（23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．【变式6-1】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求实数的取值范围，(2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值．【变式6-2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根为，且，求m的值．【变式6-3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料：材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，；根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则；；(2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；(3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值．一、单选题1．（2023·西藏日喀则·一模）如果是一元二次方程的解，则的值为（

）A． B．3 C．2 D．2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（

）A．6， B．， C．6，4 D．，43．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（

）A．2 B．4 C．6 D．84．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（）A．1 B． C．3或 D．1或5．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）下列说法关于x的一元二次方程，其中正确的有（

）（1）当，方程有两个实数根；（2）如果方程的两实数根是，，那么；（3）如果方程的两实数根是，，那么；（4）如果方程的两实数根是，，那么．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则7．（23-24九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为．8．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数．9．（23-24九年级下·广东汕头·期中）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为．10．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题：①若，则；②若该方程的两根为和1，则；③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根；④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根．其中真命题是．（只需填写序号）三、解答题11．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．12．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程．(1)如果方程有实数根，求的取值范围；(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程.(1)当时，解这个方程；(2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；(3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值.14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)记该方程的两个实数根为求代数式的值；(3)若，比较M与N的大小．15．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程